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2. (2025 南通市月考)如图,点 A,B 在反比例函数 $y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$ 的图象上,点 C 在反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}(x＞0)$ 的图象上. 若 $AC// y$ 轴,$BC// x$ 轴,且 $AC=BC$,则 $AB$ 的长为 （
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$4$
D.$3\sqrt{2}$
B
）A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$4$
D.$3\sqrt{2}$
答案
B 提示:设点$C(t,\dfrac{1}{t})$,则点$B(3t,\dfrac{1}{t})$,$A(t,\dfrac{3}{t})$.因为$AC=BC$,所以$2t=\dfrac{2}{t}$,解得$t=1$(负值已舍),所以点$C(1,1)$,所以点$B(3,1)$,$A(1,3)$,所以$AC=BC=2$,因为$AC// y$轴,$BC// x$轴.所以$AC⊥ BC$,$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要解决本题，先设点C的坐标，利用AC平行y轴、BC平行x轴的条件，结合反比例函数解析式得到A、B的坐标；再根据AC=BC的等量关系求出参数，进而确定A、B的坐标；最后利用AC与BC垂直的关系，通过勾股定理计算AB的长度。
【解析】
设点$ C(t,\dfrac{1}{t}) $（$ t＞0 $），
因为$ AC// y $轴，点A在$ y=\dfrac{3}{x} $上，所以点A的横坐标与C相同，即$ A(t,\dfrac{3}{t}) $；
因为$ BC// x $轴，点B在$ y=\dfrac{3}{x} $上，所以点B的纵坐标与C相同，即$ B(3t,\dfrac{1}{t}) $。
计算线段长度：$ AC=\dfrac{3}{t}-\dfrac{1}{t}=\dfrac{2}{t} $，$ BC=3t - t=2t $。
由$ AC=BC $得$ \dfrac{2}{t}=2t $，整理得$ t^2=1 $，解得$ t=1 $（$ t=-1 $舍去，因$ x＞0 $）。
因此，$ A(1,3) $，$ B(3,1) $，又$ AC// y $轴、$ BC// x $轴，故$ AC⊥ BC $，$ △ ACB $为直角三角形。
根据勾股定理：$ AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2} $。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数坐标特征、勾股定理
【点评】
本题是反比例函数与平面几何结合的典型题，核心是利用平行关系转化点的坐标，通过方程求解参数，再结合勾股定理计算线段长度，需掌握坐标与线段长度的转化方法，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，先设点C的坐标，利用AC平行y轴、BC平行x轴的条件，结合反比例函数解析式得到A、B的坐标；再根据AC=BC的等量关系求出参数，进而确定A、B的坐标；最后利用AC与BC垂直的关系，通过勾股定理计算AB的长度。
【解析】
设点$ C(t,\dfrac{1}{t}) $（$ t＞0 $），
因为$ AC// y $轴，点A在$ y=\dfrac{3}{x} $上，所以点A的横坐标与C相同，即$ A(t,\dfrac{3}{t}) $；
因为$ BC// x $轴，点B在$ y=\dfrac{3}{x} $上，所以点B的纵坐标与C相同，即$ B(3t,\dfrac{1}{t}) $。
计算线段长度：$ AC=\dfrac{3}{t}-\dfrac{1}{t}=\dfrac{2}{t} $，$ BC=3t - t=2t $。
由$ AC=BC $得$ \dfrac{2}{t}=2t $，整理得$ t^2=1 $，解得$ t=1 $（$ t=-1 $舍去，因$ x＞0 $）。
因此，$ A(1,3) $，$ B(3,1) $，又$ AC// y $轴、$ BC// x $轴，故$ AC⊥ BC $，$ △ ACB $为直角三角形。
根据勾股定理：$ AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2} $。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数坐标特征、勾股定理
【点评】
本题是反比例函数与平面几何结合的典型题，核心是利用平行关系转化点的坐标，通过方程求解参数，再结合勾股定理计算线段长度，需掌握坐标与线段长度的转化方法，难度适中。
【难度系数】
0.5
3. 如图,点$A$在$x$轴正半轴上,点$B(5,4)$,四边形$AOCB$为平行四边形,反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$的图象经过点$C$,交边$AB$于点$D$,则点$D$的坐标为（
A.$(2,4)$
B.$(4,2)$
C.$(\dfrac{8}{3},3)$
D.$(3,\dfrac{8}{3})$
B
）A.$(2,4)$
B.$(4,2)$
C.$(\dfrac{8}{3},3)$
D.$(3,\dfrac{8}{3})$
答案
B 提示:因为点$B(5,4)$,四边形$AOCB$为平行四边形,所以$y_C=y_B=4$.因为反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$的图象经过点 C,所以点$C(2,4)$,$OA=BC=5-2=3$,所以点$A(3,0)$.设直线 AB 的函数表达式为$y=kx+b$,代入点$A(3,0)$,$B(5,4)$,得$\begin{cases}0=3k+b,\\4=5k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=-6,\end{cases}$所以直线 AB 的函数表达式为$y=2x-6$,由$\begin{cases}y=2x-6,\\y=\dfrac{8}{x},\end{cases}$得$\begin{cases}x=-1,\\y=-8\end{cases}$或$\begin{cases}x=4,\\y=2,\end{cases}$所以点 D 的坐标为$(4,2)$.
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形性质、反比例函数与一次函数的知识逐步推导：首先利用平行四边形对边平行的性质，确定点C的纵坐标，结合反比例函数解析式求出点C坐标；再利用平行四边形对边相等得到OA长度，确定点A坐标；接着用待定系数法求出直线AB的解析式；最后联立直线AB与反比例函数的解析式，解方程组得到交点，筛选出在AB边上的点D即可。
【解析】
1. 求点C的坐标：
因为四边形AOCB是平行四边形，所以CB//OA（x轴），故点C的纵坐标与点B的纵坐标相等，即$y_C = y_B = 4$。
又点C在反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$上，将$y=4$代入得：$4=\dfrac{8}{x}$，解得$x=2$，因此点C坐标为$(2,4)$。
2. 求点A的坐标：
平行四边形对边相等，故$BC=OA$。点B横坐标为5，点C横坐标为2，所以$BC=5-2=3$，即$OA=3$。因点A在x轴正半轴，故点A坐标为$(3,0)$。
3. 求直线AB的解析式：
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(3,0)$、$B(5,4)$代入得方程组：
$\begin{cases}0=3k+b \\4=5k+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2 \\b=-6\end{cases}$，因此直线AB的解析式为$y=2x-6$。
4. 求点D的坐标：
点D是直线AB与反比例函数的交点，联立解析式：
$\begin{cases}y=2x-6 \\y=\dfrac{8}{x}\end{cases}$
将$y=2x-6$代入$y=\dfrac{8}{x}$，整理得$x^2-3x-4=0$，解得$x=4$或$x=-1$。
当$x=4$时，$y=2×4-6=2$，对应点$(4,2)$在AB边上；当$x=-1$时，$y=-8$，不在AB边上，故点D坐标为$(4,2)$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形性质、反比例函数、一次函数解析式
【点评】
本题是平行四边形与函数的综合题，核心是利用平行四边形性质确定关键点坐标，再通过待定系数法求函数解析式，联立方程求交点，考查了函数与几何结合的解题思路，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合平行四边形性质、反比例函数与一次函数的知识逐步推导：首先利用平行四边形对边平行的性质，确定点C的纵坐标，结合反比例函数解析式求出点C坐标；再利用平行四边形对边相等得到OA长度，确定点A坐标；接着用待定系数法求出直线AB的解析式；最后联立直线AB与反比例函数的解析式，解方程组得到交点，筛选出在AB边上的点D即可。
【解析】
1. 求点C的坐标：
因为四边形AOCB是平行四边形，所以CB//OA（x轴），故点C的纵坐标与点B的纵坐标相等，即$y_C = y_B = 4$。
又点C在反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$上，将$y=4$代入得：$4=\dfrac{8}{x}$，解得$x=2$，因此点C坐标为$(2,4)$。
2. 求点A的坐标：
平行四边形对边相等，故$BC=OA$。点B横坐标为5，点C横坐标为2，所以$BC=5-2=3$，即$OA=3$。因点A在x轴正半轴，故点A坐标为$(3,0)$。
3. 求直线AB的解析式：
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将$A(3,0)$、$B(5,4)$代入得方程组：
$\begin{cases}0=3k+b \\4=5k+b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=2 \\b=-6\end{cases}$，因此直线AB的解析式为$y=2x-6$。
4. 求点D的坐标：
点D是直线AB与反比例函数的交点，联立解析式：
$\begin{cases}y=2x-6 \\y=\dfrac{8}{x}\end{cases}$
将$y=2x-6$代入$y=\dfrac{8}{x}$，整理得$x^2-3x-4=0$，解得$x=4$或$x=-1$。
当$x=4$时，$y=2×4-6=2$，对应点$(4,2)$在AB边上；当$x=-1$时，$y=-8$，不在AB边上，故点D坐标为$(4,2)$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形性质、反比例函数、一次函数解析式
【点评】
本题是平行四边形与函数的综合题，核心是利用平行四边形性质确定关键点坐标，再通过待定系数法求函数解析式，联立方程求交点，考查了函数与几何结合的解题思路，属于中等难度题型。
【难度系数】
0.6
4. 已知 $P(a,b)$ 是反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象上异于点 $(-1,-1)$ 的一个动点, 则 $\dfrac{2}{1+a}+\dfrac{2}{1+b}=$
2
.答案
2 提示:由题可知$ab=1$,所以$\dfrac{2}{1+a}+\dfrac{2}{1+b}=\dfrac{2(1+b)+2(1+a)}{(1+a)(1+b)}=\dfrac{2(2+a+b)}{2+a+b}=2$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用反比例函数图象上点的坐标特征，得出点P(a,b)满足ab=1，这是解题的核心条件。接下来对所求的分式和进行通分化简，再将ab=1代入化简后的式子，结合题目中“异于点(-1,-1)”的条件，保证分式分母不为0，即可求出结果。
【解析】
解：
∵点P(a,b)在反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$的图象上，
∴根据反比例函数的性质，横纵坐标乘积等于比例系数，得$ab=1$。
对所求式子通分计算：
$\dfrac{2}{1+a}+\dfrac{2}{1+b} = \dfrac{2(1+b) + 2(1+a)}{(1+a)(1+b)}$
展开分子：$2 + 2b + 2 + 2a = 2a + 2b + 4 = 2(a + b + 2)$
展开分母：$1 + a + b + ab$，将$ab=1$代入，得分母为$1 + a + b + 1 = a + b + 2$
因此原式$= \dfrac{2(a + b + 2)}{a + b + 2}$
又
∵点P异于$(-1,-1)$，
∴$a≠-1$，$b≠-1$，即$a + b + 2≠0$，
∴原式$=2$。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数的性质、分式的化简求值
【点评】
本题是反比例函数与分式化简的基础综合题，解题关键是利用反比例函数上点的坐标特征得到$ab=1$，再通过通分化简分式代入求值，整体难度不大，注重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.3
要解决这个问题，首先利用反比例函数图象上点的坐标特征，得出点P(a,b)满足ab=1，这是解题的核心条件。接下来对所求的分式和进行通分化简，再将ab=1代入化简后的式子，结合题目中“异于点(-1,-1)”的条件，保证分式分母不为0，即可求出结果。
【解析】
解：
∵点P(a,b)在反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$的图象上，
∴根据反比例函数的性质，横纵坐标乘积等于比例系数，得$ab=1$。
对所求式子通分计算：
$\dfrac{2}{1+a}+\dfrac{2}{1+b} = \dfrac{2(1+b) + 2(1+a)}{(1+a)(1+b)}$
展开分子：$2 + 2b + 2 + 2a = 2a + 2b + 4 = 2(a + b + 2)$
展开分母：$1 + a + b + ab$，将$ab=1$代入，得分母为$1 + a + b + 1 = a + b + 2$
因此原式$= \dfrac{2(a + b + 2)}{a + b + 2}$
又
∵点P异于$(-1,-1)$，
∴$a≠-1$，$b≠-1$，即$a + b + 2≠0$，
∴原式$=2$。
【答案】
2
【知识点】
反比例函数的性质、分式的化简求值
【点评】
本题是反比例函数与分式化简的基础综合题，解题关键是利用反比例函数上点的坐标特征得到$ab=1$，再通过通分化简分式代入求值，整体难度不大，注重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.3
5. 设$△ ABC$的一边长为$x$,这条边上的高为$y$,$y$与$x$之间满足的反比例函数关系如图所示,则当$△ ABC$为等腰直角三角形时,$x+y$的值为
$3\sqrt{2}$或4
.答案
$3\sqrt{2}$或4 提示:由题图,得$xy=4$.分以下两种情况讨论:①当等腰直角三角形 ABC 的斜边长为 x 时,易得$x=2y$,所以$2y^2=4$,解得$y=\sqrt{2}$,$x=2\sqrt{2}$(负值已舍),所以$x+y=3\sqrt{2}$;②当等腰直角三角形 ABC 的一条直角边的长为 x 时,易知该边上的高为另一条直角边,所以$x=y$,所以$y^2=4$,解得$y=2$,$x=2$(负值已舍),所以$x+y=4$.
解析
【分析】首先根据反比例函数图像上的点求出xy的乘积，再结合等腰直角三角形的性质，分两种情况（x为斜边、x为直角边）讨论x与y的关系，进而计算x+y的值。
【解析】设反比例函数解析式为$ y = \frac{k}{x} $，由图像可知函数过点$(2,2)$，代入得$ k = 2×2 = 4 $，故$ xy = 4 $。
等腰直角三角形分两种情况：
① 当$ x $为等腰直角三角形的斜边时，斜边上的高等于斜边的一半，即$ y = \frac{1}{2}x $，代入$ xy = 4 $得：$ x·\frac{1}{2}x = 4 $，即$ x^2 = 8 $，解得$ x = 2\sqrt{2} $（长度为正，舍去负根），则$ y = \frac{1}{2}×2\sqrt{2} = \sqrt{2} $，故$ x + y = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} $；
② 当$ x $为等腰直角三角形的直角边时，该边上的高为另一条直角边，即$ y = x $，代入$ xy = 4 $得：$ x^2 = 4 $，解得$ x = 2 $（舍去负根），则$ y = 2 $，故$ x + y = 2 + 2 = 4 $。
【答案】$ 3\sqrt{2} $或4
【知识点】反比例函数、等腰直角三角形性质、分类讨论
【点评】本题将反比例函数与等腰直角三角形结合，核心是利用反比例函数性质确定xy的值，关键在于对等腰直角三角形的边分类讨论，避免漏解，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】0.5
【解析】设反比例函数解析式为$ y = \frac{k}{x} $，由图像可知函数过点$(2,2)$，代入得$ k = 2×2 = 4 $，故$ xy = 4 $。
等腰直角三角形分两种情况：
① 当$ x $为等腰直角三角形的斜边时，斜边上的高等于斜边的一半，即$ y = \frac{1}{2}x $，代入$ xy = 4 $得：$ x·\frac{1}{2}x = 4 $，即$ x^2 = 8 $，解得$ x = 2\sqrt{2} $（长度为正，舍去负根），则$ y = \frac{1}{2}×2\sqrt{2} = \sqrt{2} $，故$ x + y = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} $；
② 当$ x $为等腰直角三角形的直角边时，该边上的高为另一条直角边，即$ y = x $，代入$ xy = 4 $得：$ x^2 = 4 $，解得$ x = 2 $（舍去负根），则$ y = 2 $，故$ x + y = 2 + 2 = 4 $。
【答案】$ 3\sqrt{2} $或4
【知识点】反比例函数、等腰直角三角形性质、分类讨论
【点评】本题将反比例函数与等腰直角三角形结合，核心是利用反比例函数性质确定xy的值，关键在于对等腰直角三角形的边分类讨论，避免漏解，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】0.5
6.（2025 宿迁市期末）定义：如图 1，在平面直角坐标系中，$P$ 是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点 $P$ 分别作 $x$ 轴、$y$ 轴的垂线，若由点 $P$、原点 $O$、两个垂足 $A,B$ 为顶点的矩形 $OAPB$ 的周长与面积的数值相等，则称 $P$ 是平面直角坐标系中的“美好点”.
【尝试初探】
(1) $C(2,3)$
【深入探究】
(2) 若“美好点”$E(m,4)(m＞0)$ 在双曲线$y=\dfrac{k}{x}\ (k≠0$ 且 $k$ 为常数$)$上，求 $k$的值.
(3) 在(2)的条件下，点 $F(2,n)$ 在双曲线$y=\dfrac{k}{x}$上，求 $S_{△ EOF}$ 的值.
【尝试初探】
(1) $C(2,3)$
不是
“美好点”（填“是”或“不是”）；若 $D(6,b)$ 是第一象限内的一个“美好点”，则 $b=$3
.【深入探究】
(2) 若“美好点”$E(m,4)(m＞0)$ 在双曲线$y=\dfrac{k}{x}\ (k≠0$ 且 $k$ 为常数$)$上，求 $k$的值.
(3) 在(2)的条件下，点 $F(2,n)$ 在双曲线$y=\dfrac{k}{x}$上，求 $S_{△ EOF}$ 的值.
答案
(1) 不是 3 提示:因为$(2+3)×2=10≠2×3=6$,所以$C(2,3)$不是“美好点”.因为$D(6,b)$是第一象限内的一个“美好点”,所以$2×(6+b)=6b$,解得$b=3$.
(2) 因为$E(m,4)(m＞0)$是“美好点”,所以$2×(m+4)=4m$,解得$m=4$,所以点$E(4,4)$,将点$E(4,4)$代入双曲线$y=\dfrac{k}{x}$,得$k=16$.
(3) 如图,因为点$F(2,n)$在双曲线$y=\dfrac{k}{x}$上,所以$n=\dfrac{16}{2}=8$,所以点$F(2,8)$,设直线 EF 的函数表达式为$y=ax+c$,所以$\begin{cases}2a+c=8,\\4a+c=4,\end{cases}$所以$\begin{cases}a=-2,\\c=12,\end{cases}$所以直线 EF 的函数表达式为$y=-2x+12$,设直线 EF 与 x 轴交于点 G,当$y=0$时,$-2x+12=0$,所以$x=6$,所以点$G(6,0)$,所以$S_{△ EOF}=S_{△ FOG}-S_{△ EOG}=\dfrac{1}{2}×6×8-\dfrac{1}{2}×6×4=12$.
解析
【分析】
首先明确“美好点”的定义：对于平面内非坐标轴上的点$P(x,y)$，以$P$、原点$O$、两个垂足为顶点的矩形周长与面积数值相等，即第一象限内满足$2(x+y)=xy$。
(1) 代入点$C(2,3)$验证是否符合等式，再代入$D(6,b)$列方程求$b$；
(2) 利用“美好点”定义列方程求$E$点坐标，再代入双曲线求$k$；
(3) 由双曲线求$F$点坐标，用割补法（找直线$EF$与$x$轴交点）计算$△ EOF$的面积。
【解析】
(1) 对$C(2,3)$，矩形周长为$2×(2+3)=10$，面积为$2×3=6$，$10≠6$，故$C$不是“美好点”；
对$D(6,b)$（第一象限，$b＞0$），根据定义：$2×(6+b)=6b$，
解方程得：$12+2b=6b→4b=12→b=3$；
(2) 因$E(m,4)(m＞0)$是“美好点”，故$2×(m+4)=4m$，
解方程得：$2m+8=4m→m=4$，即$E(4,4)$；
将$E(4,4)$代入双曲线$y=\frac{k}{x}$，得$k=4×4=16$；
(3) 因$F(2,n)$在双曲线$y=\frac{16}{x}$上，故$n=\frac{16}{2}=8$，即$F(2,8)$；
设直线$EF$的表达式为$y=ax+c$，代入$E(4,4)$、$F(2,8)$：
$\begin{cases}2a+c=8\\4a+c=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-2\\c=12\end{cases}$，即直线$EF:y=-2x+12$；
令$y=0$，得$-2x+12=0→x=6$，即直线$EF$与$x$轴交于$G(6,0)$；
$S_{△EOF}=S_{△FOG}-S_{△EOG}=\frac{1}{2}×6×8-\frac{1}{2}×6×4=24-12=12$；
【答案】
(1) 不是；3 (2) $k=16$ (3) $12$
【知识点】
平面直角坐标系中点的坐标；反比例函数；三角形面积计算
【点评】
本题结合新定义“美好点”，考查坐标与图形性质、反比例函数应用及三角形面积计算，核心是将新定义转化为数学等式，第三问用割补法求面积是常用技巧，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
首先明确“美好点”的定义：对于平面内非坐标轴上的点$P(x,y)$，以$P$、原点$O$、两个垂足为顶点的矩形周长与面积数值相等，即第一象限内满足$2(x+y)=xy$。
(1) 代入点$C(2,3)$验证是否符合等式，再代入$D(6,b)$列方程求$b$；
(2) 利用“美好点”定义列方程求$E$点坐标，再代入双曲线求$k$；
(3) 由双曲线求$F$点坐标，用割补法（找直线$EF$与$x$轴交点）计算$△ EOF$的面积。
【解析】
(1) 对$C(2,3)$，矩形周长为$2×(2+3)=10$，面积为$2×3=6$，$10≠6$，故$C$不是“美好点”；
对$D(6,b)$（第一象限，$b＞0$），根据定义：$2×(6+b)=6b$，
解方程得：$12+2b=6b→4b=12→b=3$；
(2) 因$E(m,4)(m＞0)$是“美好点”，故$2×(m+4)=4m$，
解方程得：$2m+8=4m→m=4$，即$E(4,4)$；
将$E(4,4)$代入双曲线$y=\frac{k}{x}$，得$k=4×4=16$；
(3) 因$F(2,n)$在双曲线$y=\frac{16}{x}$上，故$n=\frac{16}{2}=8$，即$F(2,8)$；
设直线$EF$的表达式为$y=ax+c$，代入$E(4,4)$、$F(2,8)$：
$\begin{cases}2a+c=8\\4a+c=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-2\\c=12\end{cases}$，即直线$EF:y=-2x+12$；
令$y=0$，得$-2x+12=0→x=6$，即直线$EF$与$x$轴交于$G(6,0)$；
$S_{△EOF}=S_{△FOG}-S_{△EOG}=\frac{1}{2}×6×8-\frac{1}{2}×6×4=24-12=12$；
【答案】
(1) 不是；3 (2) $k=16$ (3) $12$
【知识点】
平面直角坐标系中点的坐标；反比例函数；三角形面积计算
【点评】
本题结合新定义“美好点”，考查坐标与图形性质、反比例函数应用及三角形面积计算，核心是将新定义转化为数学等式，第三问用割补法求面积是常用技巧，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
