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1.有6名同学参加体能测试，测试成绩(单位:分)分别是80,80,90,75,75,80.这组数据的离差平方和是()
A.5
B.25
C.125
D.150
A.5
B.25
C.125
D.150
答案
D
解析
1. 计算这组数据的平均数：$\bar{x}=\frac{80+80+90+75+75+80}{6}=\frac{480}{6}=80$。2. 离差平方和为所有数据与平均数的差的平方之和，代入计算得：$(80-80)^2+(80-80)^2+(90-80)^2+(75-80)^2+(75-80)^2+(80-80)^2=0+0+100+25+25+0=150$。
2.若一组数据$x_{1},x_{2},x_{3},···,x_{n}$的平均数为2,方差为1,则另一组数据$3x_{1}+3,3x_{2}+3,3x_{3}+3,···,3x_{n}+3$的平均数和方差分别为()
A.3和9
B.6和9
C.9和9
D.9和12
A.3和9
B.6和9
C.9和9
D.9和12
答案
C
解析
已知原数据的平均数为2，根据平均数的运算规律：若新数据形如$ax_i + b$，则新平均数为$a×$原平均数$+b$，代入a=3，b=3，可得新数据平均数为$3×2+3=9$。
已知原数据方差为1，根据方差的运算规律：若新数据形如$ax_i + b$，则新方差为$a^2×$原方差，加减常数不会改变方差大小，代入a=3，可得新方差为$3^2×1=9$。
已知原数据方差为1，根据方差的运算规律：若新数据形如$ax_i + b$，则新方差为$a^2×$原方差，加减常数不会改变方差大小，代入a=3，可得新方差为$3^2×1=9$。
3. 甲、乙、丙、丁四名选手进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9环，射击成绩的方差分别是$s^{2}_{甲}=0.56$，$s^{2}_{乙}=0.13$，$s^{2}_{丙}=0.34$，$s^{2}_{丁}=1.2$，则四人中成绩最稳定的是（）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
B
解析
四人的平均成绩相同，根据方差的性质：方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定。对比四个方差的大小可得：$s^{2}_{乙}＜s^{2}_{丙}＜s^{2}_{甲}＜s^{2}_{丁}$，乙的方差最小，因此四人中成绩最稳定的是乙。
4.已知一组数据4,4,4,6,7,则它的方差为.
答案
1.6（或$\frac{8}{5}$）
解析
首先计算这组数据的平均数：
$\overline{x}=\frac{4+4+4+6+7}{5}=\frac{25}{5}=5$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$代入计算：
$s^2=\frac{1}{5}×[3×(4-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2]=\frac{1}{5}×(3+1+4)=1.6$
$\overline{x}=\frac{4+4+4+6+7}{5}=\frac{25}{5}=5$
再根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$代入计算：
$s^2=\frac{1}{5}×[3×(4-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2]=\frac{1}{5}×(3+1+4)=1.6$
5. 求一组数据的方差算式为 $ s^2 = \frac{1}{5}[(3 - \overline{x})^2 + (5 - \overline{x})^2 + (8 - \overline{x})^2 + (8 - \overline{x})^2 + (11 - \overline{x})^2] $，则这组数据的方差是 ______。
答案
7.6（或$\frac{38}{5}$）
解析
首先根据给出的方差算式，确定这组数据为3、5、8、8、11。
1. 计算该组数据的平均数：
$\overline{x}=\frac{3+5+8+8+11}{5}=7$
2. 将$\overline{x}=7$代入方差公式计算：
$s^2=\frac{1}{5}[(3-7)^2+(5-7)^2+(8-7)^2+(8-7)^2+(11-7)^2]=\frac{1}{5}×(16+4+1+1+16)=\frac{38}{5}=7.6$
1. 计算该组数据的平均数：
$\overline{x}=\frac{3+5+8+8+11}{5}=7$
2. 将$\overline{x}=7$代入方差公式计算：
$s^2=\frac{1}{5}[(3-7)^2+(5-7)^2+(8-7)^2+(8-7)^2+(11-7)^2]=\frac{1}{5}×(16+4+1+1+16)=\frac{38}{5}=7.6$
6.一次芭蕾舞比赛中,甲、乙两支芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》,参加表演的女演员们的身高(单位:cm)如下表所示:
数据分析:
根据以上信息,解答下列问题:
(1)填空:$a=$,$b=$;
(2)求乙芭蕾舞团女演员身高的方差,并判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐.
数据分析:
根据以上信息,解答下列问题:
(1)填空:$a=$,$b=$;
(2)求乙芭蕾舞团女演员身高的方差,并判断哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐.
答案
(1) $165$，$165.5$；(2) 乙芭蕾舞团女演员身高的方差为$3.25$，甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐。
解析
(1) 计算甲团女演员身高的平均数$a$：
甲的8个身高数据总和为$163+164+164+165+165+166+166+167=1320$，因此$a=\frac{1320}{8}=165$。
计算乙团女演员身高的中位数$b$：
乙的身高数据已从小到大排列，共8个数据，中位数为第4个和第5个数据的平均数，第4个数据是165，第5个数据是166，因此$b=\frac{165+166}{2}=165.5$。
(2) 已知乙团女演员身高的平均数为166，根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
$\begin{aligned}m&=\frac{1}{8}×[(163-166)^2 + 3×(165-166)^2 + (166-166)^2 + (167-166)^2 + (168-166)^2 + (169-166)^2]\\&=\frac{1}{8}×(9+3+0+1+4+9)\\&=3.25\end{aligned}$
比较两团方差：$1.5＜3.25$，方差越小数据波动越小、身高越整齐，因此甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐。
甲的8个身高数据总和为$163+164+164+165+165+166+166+167=1320$，因此$a=\frac{1320}{8}=165$。
计算乙团女演员身高的中位数$b$：
乙的身高数据已从小到大排列，共8个数据，中位数为第4个和第5个数据的平均数，第4个数据是165，第5个数据是166，因此$b=\frac{165+166}{2}=165.5$。
(2) 已知乙团女演员身高的平均数为166，根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算方差：
$\begin{aligned}m&=\frac{1}{8}×[(163-166)^2 + 3×(165-166)^2 + (166-166)^2 + (167-166)^2 + (168-166)^2 + (169-166)^2]\\&=\frac{1}{8}×(9+3+0+1+4+9)\\&=3.25\end{aligned}$
比较两团方差：$1.5＜3.25$，方差越小数据波动越小、身高越整齐，因此甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐。
