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1. 给出下列式子:①$(-2y-1)^{2}$;②$(-2y-1)(-2y+1)$;③$(-2y+1)(2y+1)$;④$(2y-1)^{2}$;⑤$(2y+1)^{2}$。其中计算结果相等的式子是()
A.①④
B.②③
C.①⑤
D.②④
A.①④
B.②③
C.①⑤
D.②④
答案
C
解析
【分析】要找出计算结果相等的式子，需分别计算每个式子的结果，可利用完全平方公式和平方差公式展开式子，再对比结果。
【解析】
分别计算各式子：
① $(-2y -1)^2 = [-(2y +1)]^2 = (2y +1)^2 = 4y^2 +4y +1$；
② $(-2y -1)(-2y +1) = (-2y)^2 -1^2 =4y^2 -1$；
③ $(-2y +1)(2y +1) = (1 -2y)(1 +2y)=1^2 -(2y)^2=1 -4y^2$；
④ $(2y -1)^2 = (2y)^2 -2×2y×1 +1^2=4y^2 -4y +1$；
⑤ $(2y +1)^2 = (2y)^2 +2×2y×1 +1^2=4y^2 +4y +1$；
对比可知，①和⑤的计算结果相等，故答案选C。
【答案】C
【知识点】完全平方公式、平方差公式
【点评】本题考查整式乘法公式的应用，关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式，展开时注意符号的处理，避免计算错误。
【难度系数】0.6
【解析】
分别计算各式子：
① $(-2y -1)^2 = [-(2y +1)]^2 = (2y +1)^2 = 4y^2 +4y +1$；
② $(-2y -1)(-2y +1) = (-2y)^2 -1^2 =4y^2 -1$；
③ $(-2y +1)(2y +1) = (1 -2y)(1 +2y)=1^2 -(2y)^2=1 -4y^2$；
④ $(2y -1)^2 = (2y)^2 -2×2y×1 +1^2=4y^2 -4y +1$；
⑤ $(2y +1)^2 = (2y)^2 +2×2y×1 +1^2=4y^2 +4y +1$；
对比可知，①和⑤的计算结果相等，故答案选C。
【答案】C
【知识点】完全平方公式、平方差公式
【点评】本题考查整式乘法公式的应用，关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式，展开时注意符号的处理，避免计算错误。
【难度系数】0.6
2. 形如$a^2\pm2ab+b^2$的式子称为完全平方式。若$x^2+2mx+49$是一个完全平方式,则$m$的值为()
A.$7$
B.$\pm7$
C.$14$
D.$\pm14$
A.$7$
B.$\pm7$
C.$14$
D.$\pm14$
答案
B
解析
【分析】首先回忆完全平方式的结构为$a^2\pm2ab+b^2$，解题时需将给定式子与该结构对应，确定各部分的对应关系：首项对应$a^2$，末项对应$b^2$，中间项对应$\pm2ab$，据此建立等式求解$m$的值，注意中间项存在正负两种情况。
【解析】对于式子$x^2+2mx+49$，结合完全平方式$a^2\pm2ab+b^2$的结构：
1. 首项$x^2 = a^2$，得$a = x$；
2. 末项$49 = b^2$，得$b = \pm7$；
3. 中间项应为$\pm2ab = \pm2· x·7 = \pm14x$，而题目中中间项为$2mx$，因此$2m = \pm14$；
4. 解得$m = \pm7$。
【答案】B
【知识点】完全平方式
【点评】本题考查完全平方式的结构特征，核心是掌握完全平方式中间项的正负性，需注意避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】对于式子$x^2+2mx+49$，结合完全平方式$a^2\pm2ab+b^2$的结构：
1. 首项$x^2 = a^2$，得$a = x$；
2. 末项$49 = b^2$，得$b = \pm7$；
3. 中间项应为$\pm2ab = \pm2· x·7 = \pm14x$，而题目中中间项为$2mx$，因此$2m = \pm14$；
4. 解得$m = \pm7$。
【答案】B
【知识点】完全平方式
【点评】本题考查完全平方式的结构特征，核心是掌握完全平方式中间项的正负性，需注意避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】0.7
3.若$(a-b)^2=7,(a+b)^2=13$，则$ab=$______。
答案
$\frac{3}{2}$（或1.5）
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路是先利用完全平方公式将已知的两个等式展开，再通过两式相减消去$a^2$和$b^2$项，进而求出$ab$的值。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，将已知条件展开：
$(a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2=7$ ①
$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2=13$ ②
用②式减去①式，可得：
$(a^2 + 2ab + b^2)-(a^2 - 2ab + b^2)=13 - 7$
化简左边：$4ab=6$
解得：$ab=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式，整式的加减
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用，通过展开公式后两式相减消元，即可快速求出$ab$的值，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题思路是先利用完全平方公式将已知的两个等式展开，再通过两式相减消去$a^2$和$b^2$项，进而求出$ab$的值。
【解析】
根据完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，将已知条件展开：
$(a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2=7$ ①
$(a+b)^2=a^2 + 2ab + b^2=13$ ②
用②式减去①式，可得：
$(a^2 + 2ab + b^2)-(a^2 - 2ab + b^2)=13 - 7$
化简左边：$4ab=6$
解得：$ab=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
完全平方公式，整式的加减
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用，通过展开公式后两式相减消元，即可快速求出$ab$的值，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
4.计算:$(3+1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)(3^{16}+1)=$$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
$\frac{3^{32}-1}{2}$
解析
【分析】
本题是多个多项式相乘的计算，直接展开运算繁琐，需利用平方差公式简化。观察原式因式结构，可通过乘以(3-1)构造平方差的形式，逐步化简后再处理多乘的系数，即可快速得到结果。
【解析】
解：原式 = [(3 - 1)(3 + 1)(3² + 1)(3⁴ + 1)(3⁸ + 1)(3¹⁶ + 1)] ÷ (3 - 1)
因为(3 - 1) = 2，所以除以2；再依次应用平方差公式：
(3 - 1)(3 + 1) = 3² - 1；
(3² - 1)(3² + 1) = 3⁴ - 1；
(3⁴ - 1)(3⁴ + 1) = 3⁸ - 1；
(3⁸ - 1)(3⁸ + 1) = 3¹⁶ - 1；
(3¹⁶ - 1)(3¹⁶ + 1) = 3³² - 1；
因此原式 = (3³² - 1) ÷ 2 = $\frac{3^{32}-1}{2}$。
【答案】
$\frac{3^{32}-1}{2}$
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，通过构造平方差的形式简化复杂的多项式乘法，避免了直接展开的大量计算，是公式简化运算的典型题目，需学生熟练掌握平方差公式的结构特征并能灵活变形。
【难度系数】
0.5
本题是多个多项式相乘的计算，直接展开运算繁琐，需利用平方差公式简化。观察原式因式结构，可通过乘以(3-1)构造平方差的形式，逐步化简后再处理多乘的系数，即可快速得到结果。
【解析】
解：原式 = [(3 - 1)(3 + 1)(3² + 1)(3⁴ + 1)(3⁸ + 1)(3¹⁶ + 1)] ÷ (3 - 1)
因为(3 - 1) = 2，所以除以2；再依次应用平方差公式：
(3 - 1)(3 + 1) = 3² - 1；
(3² - 1)(3² + 1) = 3⁴ - 1；
(3⁴ - 1)(3⁴ + 1) = 3⁸ - 1；
(3⁸ - 1)(3⁸ + 1) = 3¹⁶ - 1；
(3¹⁶ - 1)(3¹⁶ + 1) = 3³² - 1；
因此原式 = (3³² - 1) ÷ 2 = $\frac{3^{32}-1}{2}$。
【答案】
$\frac{3^{32}-1}{2}$
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题考查平方差公式的灵活应用，通过构造平方差的形式简化复杂的多项式乘法，避免了直接展开的大量计算，是公式简化运算的典型题目，需学生熟练掌握平方差公式的结构特征并能灵活变形。
【难度系数】
0.5
5.某同学在计算一个多项式乘$-3x^{2}$时,因抄错运算符号,算成了加上$-3x^{2}$,得到的结果是$x^{2}-4x+1$,则正确的计算结果应该是多少?
答案
$-12x^4 +12x^3 -3x^2$
解析
【分析】
要解决这道题，需先根据错误的运算结果求出原来的多项式，再用该多项式进行正确的乘法运算。具体思路：1. 设原多项式为$A$，根据错误运算（加$-3x^2$得$x^2-4x+1$），求出$A$；2. 用$A$乘以$-3x^2$，即可得到正确结果。
【解析】
设原来的多项式为$A$，根据题意，错误运算满足：$A + (-3x^2) = x^2 - 4x + 1$，因此：
$A = (x^2 - 4x + 1) - (-3x^2) = x^2 - 4x + 1 + 3x^2 = 4x^2 - 4x + 1$
正确计算为多项式$A$乘以$-3x^2$，根据单项式乘多项式法则展开计算：
$(4x^2 - 4x + 1) · (-3x^2)$
$= 4x^2 · (-3x^2) + (-4x) · (-3x^2) + 1 · (-3x^2)$
$= -12x^4 + 12x^3 - 3x^2$
【答案】
$-12x^4 +12x^3 -3x^2$
【知识点】
整式的加减、单项式乘多项式
【点评】
本题考查整式的加减与单项式乘多项式的运算，核心是先通过错误运算求出原多项式，再进行正确计算，需注意符号处理，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先根据错误的运算结果求出原来的多项式，再用该多项式进行正确的乘法运算。具体思路：1. 设原多项式为$A$，根据错误运算（加$-3x^2$得$x^2-4x+1$），求出$A$；2. 用$A$乘以$-3x^2$，即可得到正确结果。
【解析】
设原来的多项式为$A$，根据题意，错误运算满足：$A + (-3x^2) = x^2 - 4x + 1$，因此：
$A = (x^2 - 4x + 1) - (-3x^2) = x^2 - 4x + 1 + 3x^2 = 4x^2 - 4x + 1$
正确计算为多项式$A$乘以$-3x^2$，根据单项式乘多项式法则展开计算：
$(4x^2 - 4x + 1) · (-3x^2)$
$= 4x^2 · (-3x^2) + (-4x) · (-3x^2) + 1 · (-3x^2)$
$= -12x^4 + 12x^3 - 3x^2$
【答案】
$-12x^4 +12x^3 -3x^2$
【知识点】
整式的加减、单项式乘多项式
【点评】
本题考查整式的加减与单项式乘多项式的运算，核心是先通过错误运算求出原多项式，再进行正确计算，需注意符号处理，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
6. 已知$(a+2)^0$无意义，且$2a+4b=0$。先化简，再求$(a-2b)(2a+b)+2b^2$的值。
答案
14
解析
【分析】
要解决这道题，需先利用零指数幂的性质求出a的值，再结合已知方程求出b的值；接着对所求代数式化简，最后代入a、b的值计算结果。具体思路：1. 根据零指数幂无意义的条件确定a；2. 代入方程求b；3. 化简代数式；4. 代入求值。
【解析】
解：
1. 求a的值：
零指数幂的底数不能为0，若$(a+2)^0$无意义，则底数$a+2=0$，解得$a=-2$。
2. 求b的值：
将$a=-2$代入$2a+4b=0$，得：
$2×(-2)+4b=0$
$-4+4b=0$，解得$b=1$。
3. 化简代数式：
$(a-2b)(2a+b)+2b^2$
$=2a^2 +ab -4ab -2b^2 +2b^2$
$=2a^2 -3ab$。
4. 代入求值：
把$a=-2$，$b=1$代入$2a^2 -3ab$，得：
$2×(-2)^2 -3×(-2)×1$
$=8 +6=14$。
【答案】
14
【知识点】
零指数幂的意义；整式的化简求值
【点评】
本题综合考查零指数幂性质与整式化简求值，解题关键是先根据零指数幂条件求出a、b的值，再正确化简后代入计算，步骤清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先利用零指数幂的性质求出a的值，再结合已知方程求出b的值；接着对所求代数式化简，最后代入a、b的值计算结果。具体思路：1. 根据零指数幂无意义的条件确定a；2. 代入方程求b；3. 化简代数式；4. 代入求值。
【解析】
解：
1. 求a的值：
零指数幂的底数不能为0，若$(a+2)^0$无意义，则底数$a+2=0$，解得$a=-2$。
2. 求b的值：
将$a=-2$代入$2a+4b=0$，得：
$2×(-2)+4b=0$
$-4+4b=0$，解得$b=1$。
3. 化简代数式：
$(a-2b)(2a+b)+2b^2$
$=2a^2 +ab -4ab -2b^2 +2b^2$
$=2a^2 -3ab$。
4. 代入求值：
把$a=-2$，$b=1$代入$2a^2 -3ab$，得：
$2×(-2)^2 -3×(-2)×1$
$=8 +6=14$。
【答案】
14
【知识点】
零指数幂的意义；整式的化简求值
【点评】
本题综合考查零指数幂性质与整式化简求值，解题关键是先根据零指数幂条件求出a、b的值，再正确化简后代入计算，步骤清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
7.阅读下面的材料,并解答下列问题。
材料一:比较$3^{22}$和$4^{11}$的大小。
解:$4^{11}=(2^{2})^{11}=2^{22}$。因为$3＞2$,所以$3^{22}＞2^{22}$,即$3^{22}＞4^{11}$。
总结:在指数相同的情况下,通过比较底数(底数大于1)的大小,来确定两个幂的大小。
材料二:若$a-b＞0$,则$a＞b$;若$a-b=0$,则$a=b$;若$a-b＜0$,则$a＜b$。这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小。
(1)比较大小:$4^{30}$(填“＞”“＜”或“=”)$5^{20}$。
(2)试比较$81^{15},27^{21},9^{31}$的大小。
(3)若$M=a(a+2),N=a-\frac{1}{4}$,请说明:不论$a$取何值,始终有$M≥N$。
(4)已知$2^{a}=5^{b}=10$,猜想$a+b$和$ab$的大小,并说明理由。
材料一:比较$3^{22}$和$4^{11}$的大小。
解:$4^{11}=(2^{2})^{11}=2^{22}$。因为$3＞2$,所以$3^{22}＞2^{22}$,即$3^{22}＞4^{11}$。
总结:在指数相同的情况下,通过比较底数(底数大于1)的大小,来确定两个幂的大小。
材料二:若$a-b＞0$,则$a＞b$;若$a-b=0$,则$a=b$;若$a-b＜0$,则$a＜b$。这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小。
(1)比较大小:$4^{30}$(填“＞”“＜”或“=”)$5^{20}$。
(2)试比较$81^{15},27^{21},9^{31}$的大小。
(3)若$M=a(a+2),N=a-\frac{1}{4}$,请说明:不论$a$取何值,始终有$M≥N$。
(4)已知$2^{a}=5^{b}=10$,猜想$a+b$和$ab$的大小,并说明理由。
答案
(1) $\boldsymbol{＞}$；(2) $\boldsymbol{81^{15}＜9^{31}＜27^{21}}$；(3) 证明成立，不论a取何值都有$M≥ N$；(4) $\boldsymbol{a+b=ab}$，理由如上。
解析
【分析】
本题主要考查幂的大小比较和作差法比较代数式大小，解题思路如下：
1. 第(1)题：利用幂的乘方性质，将两个幂的指数化为相同，再根据“底数大于1时，指数相同，底数大的幂更大”的规律比较；
2. 第(2)题：把三个幂的底数统一转化为3，计算出各自的指数，再根据“底数相同且大于1时，指数大的幂更大”的规律比较；
3. 第(3)题：采用材料二的作差法，计算M-N并配方，利用平方的非负性判断差的符号，得出M与N的大小关系；
4. 第(4)题：结合指数运算性质，通过变形推导a+b与ab的关系。
【解析】
(1) 解：将两个幂的指数化为相同：
$4^{30}=(4^3)^{10}=64^{10}$，$5^{20}=(5^2)^{10}=25^{10}$，
因为$64＞25$，且指数相同（10），底数均大于1，所以$64^{10}＞25^{10}$，即$4^{30}＞5^{20}$；
(2) 解：将三个幂的底数统一为3：
$81^{15}=(3^4)^{15}=3^{60}$，
$27^{21}=(3^3)^{21}=3^{63}$，
$9^{31}=(3^2)^{31}=3^{62}$，
因为底数$3＞1$，指数$60＜62＜63$，所以$3^{60}＜3^{62}＜3^{63}$，即$81^{15}＜9^{31}＜27^{21}$；
(3) 证明：计算$M-N$：
$M=a(a+2)=a^2+2a$，$N=a-\frac{1}{4}$，
则$M-N=a^2+2a-(a-\frac{1}{4})=a^2+a+\frac{1}{4}=(a+\frac{1}{2})^2$，
因为任何数的平方均为非负数，所以$(a+\frac{1}{2})^2≥0$，即$M-N≥0$，故$M≥N$；
(4) 解：猜想$a+b=ab$，理由如下：
已知$2^a=5^b=10$，则$2^{ab}=(2^a)^b=10^b$，$5^{ab}=(5^b)^a=10^a$，
所以$(2×5)^{ab}=10^{ab}$，即$10^{ab}=10^a×10^b=10^{a+b}$，
因为底数$10＞1$，指数函数单调，故$ab=a+b$。
【答案】
(1) $＞$；(2) $81^{15}＜9^{31}＜27^{21}$；(3) 证明成立；(4) $a+b=ab$
【知识点】
幂的乘方、作差法比较大小、指数运算性质
【点评】
本题综合考查幂的大小比较方法和作差法的应用，解题关键是灵活运用幂的乘方统一指数或底数，作差后配方判断符号，需掌握指数运算的基本性质，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
本题主要考查幂的大小比较和作差法比较代数式大小，解题思路如下：
1. 第(1)题：利用幂的乘方性质，将两个幂的指数化为相同，再根据“底数大于1时，指数相同，底数大的幂更大”的规律比较；
2. 第(2)题：把三个幂的底数统一转化为3，计算出各自的指数，再根据“底数相同且大于1时，指数大的幂更大”的规律比较；
3. 第(3)题：采用材料二的作差法，计算M-N并配方，利用平方的非负性判断差的符号，得出M与N的大小关系；
4. 第(4)题：结合指数运算性质，通过变形推导a+b与ab的关系。
【解析】
(1) 解：将两个幂的指数化为相同：
$4^{30}=(4^3)^{10}=64^{10}$，$5^{20}=(5^2)^{10}=25^{10}$，
因为$64＞25$，且指数相同（10），底数均大于1，所以$64^{10}＞25^{10}$，即$4^{30}＞5^{20}$；
(2) 解：将三个幂的底数统一为3：
$81^{15}=(3^4)^{15}=3^{60}$，
$27^{21}=(3^3)^{21}=3^{63}$，
$9^{31}=(3^2)^{31}=3^{62}$，
因为底数$3＞1$，指数$60＜62＜63$，所以$3^{60}＜3^{62}＜3^{63}$，即$81^{15}＜9^{31}＜27^{21}$；
(3) 证明：计算$M-N$：
$M=a(a+2)=a^2+2a$，$N=a-\frac{1}{4}$，
则$M-N=a^2+2a-(a-\frac{1}{4})=a^2+a+\frac{1}{4}=(a+\frac{1}{2})^2$，
因为任何数的平方均为非负数，所以$(a+\frac{1}{2})^2≥0$，即$M-N≥0$，故$M≥N$；
(4) 解：猜想$a+b=ab$，理由如下：
已知$2^a=5^b=10$，则$2^{ab}=(2^a)^b=10^b$，$5^{ab}=(5^b)^a=10^a$，
所以$(2×5)^{ab}=10^{ab}$，即$10^{ab}=10^a×10^b=10^{a+b}$，
因为底数$10＞1$，指数函数单调，故$ab=a+b$。
【答案】
(1) $＞$；(2) $81^{15}＜9^{31}＜27^{21}$；(3) 证明成立；(4) $a+b=ab$
【知识点】
幂的乘方、作差法比较大小、指数运算性质
【点评】
本题综合考查幂的大小比较方法和作差法的应用，解题关键是灵活运用幂的乘方统一指数或底数，作差后配方判断符号，需掌握指数运算的基本性质，属于中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
