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1.下列整式的乘法中,能用平方差公式简便计算的是()
A.$(a+2b)(2b-a)$
B.$(2a+b)(a-2b)$
C.$(a-b)(-a+b)$
D.$(-a-b)(a+b)$
A.$(a+2b)(2b-a)$
B.$(2a+b)(a-2b)$
C.$(a-b)(-a+b)$
D.$(-a-b)(a+b)$
答案
A
解析
【分析】要解决这道题，需先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，存在一项完全相同，另一项互为相反数，形式为$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$。解题时逐一分析选项，判断是否符合该结构即可。
【解析】根据平方差公式的结构特征分析各选项：
选项A：$(a+2b)(2b-a)$可变形为$(2b+a)(2b-a)$，相同项为$2b$，相反项为$a$和$-a$，符合平方差公式，能用简便计算；
选项B：$(2a+b)(a-2b)$中，两项既无完全相同的项，也无互为相反数的项，不符合平方差公式；
选项C：$(a-b)(-a+b)$可变形为$-(a-b)^2$，属于完全平方形式，不符合平方差公式；
选项D：$(-a-b)(a+b)$可变形为$-(a+b)^2$，属于完全平方形式，不符合平方差公式。
综上，答案选A。
【答案】A
【知识点】平方差公式
【点评】本题考查平方差公式的结构识别，属于基础题型，需学生准确区分平方差公式与完全平方公式的结构差异，掌握公式的核心特征。
【难度系数】0.7
【解析】根据平方差公式的结构特征分析各选项：
选项A：$(a+2b)(2b-a)$可变形为$(2b+a)(2b-a)$，相同项为$2b$，相反项为$a$和$-a$，符合平方差公式，能用简便计算；
选项B：$(2a+b)(a-2b)$中，两项既无完全相同的项，也无互为相反数的项，不符合平方差公式；
选项C：$(a-b)(-a+b)$可变形为$-(a-b)^2$，属于完全平方形式，不符合平方差公式；
选项D：$(-a-b)(a+b)$可变形为$-(a+b)^2$，属于完全平方形式，不符合平方差公式。
综上，答案选A。
【答案】A
【知识点】平方差公式
【点评】本题考查平方差公式的结构识别，属于基础题型，需学生准确区分平方差公式与完全平方公式的结构差异，掌握公式的核心特征。
【难度系数】0.7
2.若$a=2024×2026$，$b=2024^2+2×2024+1$，则下列判断正确的是（）
A.$a=b-2024$
B.$a=b$
C.$a=b+1$
D.$a=b-1$
A.$a=b-2024$
B.$a=b$
C.$a=b+1$
D.$a=b-1$
答案
D
解析
【分析】要判断a和b的关系，需先对a、b分别利用乘法公式化简，再比较两者的大小。观察b的表达式符合完全平方公式的结构，a的表达式是两个数的乘积，可利用平方差公式化简，化简后即可得出a与b的关系。
【解析】解：先化简b：
$b=2024^2 + 2×2024 +1=(2024+1)^2=2025^2$；
再化简a：
$a=2024×2026=(2025-1)(2025+1)=2025^2 -1$；
因此$a=2025^2 -1 = b -1$，故答案为D。
【答案】D
【知识点】完全平方公式、平方差公式
【点评】本题考查乘法公式的应用，核心是熟练运用完全平方公式和平方差公式对代数式化简，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】解：先化简b：
$b=2024^2 + 2×2024 +1=(2024+1)^2=2025^2$；
再化简a：
$a=2024×2026=(2025-1)(2025+1)=2025^2 -1$；
因此$a=2025^2 -1 = b -1$，故答案为D。
【答案】D
【知识点】完全平方公式、平方差公式
【点评】本题考查乘法公式的应用，核心是熟练运用完全平方公式和平方差公式对代数式化简，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
3.若$(x^2 - mx - n)(x - 3)$的乘积中不含$x^2$和$x$项，则$m,n$的值为（）
A.$m=0,n=0$
B.$m=-3,n=-9$
C.$m=-3,n=9$
D.$m=3,n=-9$
A.$m=0,n=0$
B.$m=-3,n=-9$
C.$m=-3,n=9$
D.$m=3,n=-9$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，需先利用多项式乘多项式法则展开原式，再合并同类项；由于乘积中不含$x^2$和$x$项，说明这两项的系数为0，据此列出关于$m$、$n$的方程，求解后对应选项即可。
【解析】
根据多项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}&(x^2 - mx - n)(x - 3)\\=&x^3 - 3x^2 - mx^2 + 3mx - nx + 3n\end{aligned}$
合并同类项得：
$x^3 + (-3 - m)x^2 + (3m - n)x + 3n$
因为乘积不含$x^2$和$x$项，所以这两项的系数为0，列方程：
$\begin{cases}-3 - m = 0 \\ 3m - n = 0\end{cases}$
解第一个方程得：$m=-3$；
将$m=-3$代入第二个方程得：$3×(-3)-n=0 \implies n=-9$。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，一元一次方程
【点评】
本题考查整式乘法的基础应用，核心是掌握多项式的展开与同类项合并，利用“不含某一项则该项系数为0”的条件建立方程求解，属于常规基础题。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先利用多项式乘多项式法则展开原式，再合并同类项；由于乘积中不含$x^2$和$x$项，说明这两项的系数为0，据此列出关于$m$、$n$的方程，求解后对应选项即可。
【解析】
根据多项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}&(x^2 - mx - n)(x - 3)\\=&x^3 - 3x^2 - mx^2 + 3mx - nx + 3n\end{aligned}$
合并同类项得：
$x^3 + (-3 - m)x^2 + (3m - n)x + 3n$
因为乘积不含$x^2$和$x$项，所以这两项的系数为0，列方程：
$\begin{cases}-3 - m = 0 \\ 3m - n = 0\end{cases}$
解第一个方程得：$m=-3$；
将$m=-3$代入第二个方程得：$3×(-3)-n=0 \implies n=-9$。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，一元一次方程
【点评】
本题考查整式乘法的基础应用，核心是掌握多项式的展开与同类项合并，利用“不含某一项则该项系数为0”的条件建立方程求解，属于常规基础题。
【难度系数】
0.6
4.计算：$(-255)^2 - 2×5×255 + (-5)^2 = \underline{\hspace{5em}}$。
答案
62500
解析
【分析】
本题可观察式子结构，发现其符合完全平方公式的形式，利用完全平方公式简化计算，避免直接计算大数的平方，提高解题效率。先将式子转化为完全平方公式的对应项，再代入公式计算结果。
【解析】
解：原式$=255^2 - 2×255×5 + 5^2$，
根据完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$（其中$a=255$，$b=5$），
可得原式$=(255 - 5)^2=250^2=62500$。
【答案】
62500
【知识点】
完全平方公式、有理数的乘方
【点评】
本题考查完全平方公式的应用，通过公式简化了复杂运算，体现了数学公式的便捷性，解题时需准确识别公式结构，注意符号处理，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
本题可观察式子结构，发现其符合完全平方公式的形式，利用完全平方公式简化计算，避免直接计算大数的平方，提高解题效率。先将式子转化为完全平方公式的对应项，再代入公式计算结果。
【解析】
解：原式$=255^2 - 2×255×5 + 5^2$，
根据完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$（其中$a=255$，$b=5$），
可得原式$=(255 - 5)^2=250^2=62500$。
【答案】
62500
【知识点】
完全平方公式、有理数的乘方
【点评】
本题考查完全平方公式的应用，通过公式简化了复杂运算，体现了数学公式的便捷性，解题时需准确识别公式结构，注意符号处理，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
5. 如果$(2a+2b+1)(2a+2b-1)=15$，那么$(a+b)^2$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
4
解析
【分析】这道题可通过换元法简化计算，观察式子结构发现两个因式含相同部分2a+2b，符合平方差公式的形式。先将2a+2b看作整体，利用平方差公式展开求解，再推导(a+b)的值，最终计算其平方。
【解析】设$x=2(a+b)$，则原式转化为：$(x+1)(x-1)=15$，根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，展开得$x^2 -1^2=15$，即$x^2 -1=15$，移项得$x^2=16$，解得$x=\pm4$。因为$x=2(a+b)$，所以$2(a+b)=\pm4$，两边同除以2得$a+b=\pm2$，因此$(a+b)^2=(\pm2)^2=4$。
【答案】4
【知识点】平方差公式，代数式求值
【点评】本题核心考查平方差公式的应用，通过换元简化了复杂代数式，解题思路清晰，步骤简洁，属于基础题型，能有效锻炼学生对公式的灵活运用能力。
【难度系数】0.7
【解析】设$x=2(a+b)$，则原式转化为：$(x+1)(x-1)=15$，根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，展开得$x^2 -1^2=15$，即$x^2 -1=15$，移项得$x^2=16$，解得$x=\pm4$。因为$x=2(a+b)$，所以$2(a+b)=\pm4$，两边同除以2得$a+b=\pm2$，因此$(a+b)^2=(\pm2)^2=4$。
【答案】4
【知识点】平方差公式，代数式求值
【点评】本题核心考查平方差公式的应用，通过换元简化了复杂代数式，解题思路清晰，步骤简洁，属于基础题型，能有效锻炼学生对公式的灵活运用能力。
【难度系数】0.7
6.设$a,b$是实数,定义关于“$*$”的一种运算如下:$a*b=(a+b)^2-(a-b)^2$。有下列结论:①若$a*b=0$,则$a=0$或$b=0$;②不存在实数$a,b$满足$a*b=a^2+4b^2$;③$a*(b+c)=a*b+a*c$;④若$a*b=8$,则$10ab^3÷5b^2=4$。其中正确的是$\underline{\hspace{5em}}$(填序号)。
答案
①③④
解析
【分析】首先利用完全平方公式化简题目定义的新运算“*”，将其转化为熟悉的整式运算形式，得到$a*b=4ab$，这是解题的核心；再针对每个结论，结合化简后的表达式逐一分析判断，验证结论是否成立。
【解析】先化简新运算：
$\begin{aligned}a*b&=(a+b)^2-(a-b)^2\\&=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)\\&=4ab\end{aligned}$
据此逐一分析结论：
①若$a*b=0$，则$4ab=0$，解得$a=0$或$b=0$，故①正确；
②若$a*b=a^2+4b^2$，则$4ab=a^2+4b^2$，整理得$a^2-4ab+4b^2=0$，即$(a-2b)^2=0$，当$a=2b$时等式成立（例如$a=2,b=1$时，左边$4×2×1=8$，右边$2^2+4×1^2=8$），故存在这样的实数$a,b$，②错误；
③左边$a*(b+c)=4a(b+c)=4ab+4ac$，右边$a*b+a*c=4ab+4ac$，左右两边相等，故③正确；
④若$a*b=8$，则$4ab=8$，得$ab=2$；计算$10ab^3÷5b^2=2ab$，代入$ab=2$得$2×2=4$，故④正确。
综上，正确结论为①③④。
【答案】①③④
【知识点】新定义运算、整式的混合运算、代数式求值
【点评】本题是新定义运算类题目，关键是先通过公式化简新运算，将陌生运算转化为熟悉的整式运算，再逐一验证结论，考查学生对整式运算的掌握和新定义的应用能力，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】先化简新运算：
$\begin{aligned}a*b&=(a+b)^2-(a-b)^2\\&=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)\\&=4ab\end{aligned}$
据此逐一分析结论：
①若$a*b=0$，则$4ab=0$，解得$a=0$或$b=0$，故①正确；
②若$a*b=a^2+4b^2$，则$4ab=a^2+4b^2$，整理得$a^2-4ab+4b^2=0$，即$(a-2b)^2=0$，当$a=2b$时等式成立（例如$a=2,b=1$时，左边$4×2×1=8$，右边$2^2+4×1^2=8$），故存在这样的实数$a,b$，②错误；
③左边$a*(b+c)=4a(b+c)=4ab+4ac$，右边$a*b+a*c=4ab+4ac$，左右两边相等，故③正确；
④若$a*b=8$，则$4ab=8$，得$ab=2$；计算$10ab^3÷5b^2=2ab$，代入$ab=2$得$2×2=4$，故④正确。
综上，正确结论为①③④。
【答案】①③④
【知识点】新定义运算、整式的混合运算、代数式求值
【点评】本题是新定义运算类题目，关键是先通过公式化简新运算，将陌生运算转化为熟悉的整式运算，再逐一验证结论，考查学生对整式运算的掌握和新定义的应用能力，难度适中。
【难度系数】0.6
7. 计算：
(1)$(x+2y-z)(x-2y+z)$；
(2)$(5a+2b-3c)^2$。
(1)$(x+2y-z)(x-2y+z)$；
(2)$(5a+2b-3c)^2$。
答案
(1) $\boldsymbol{x^2-4y^2+4yz-z^2}$
(2) $\boldsymbol{25a^2+4b^2+9c^2+20ab-30ac-12bc}$
(2) $\boldsymbol{25a^2+4b^2+9c^2+20ab-30ac-12bc}$
解析
【分析】
本题考查整式的乘法运算，需运用乘法公式简化计算。对于(1)，观察两个因式，将后两项视为整体，可转化为平方差公式的形式；对于(2)，直接运用三项式的完全平方公式展开，注意各项符号的处理。
【解析】
(1) 原式变形为：
$[x + (2y - z)][x - (2y - z)]$
根据平方差公式 $(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，得：
$x^2 - (2y - z)^2$
再根据完全平方公式 $(m-n)^2=m^2 - 2mn + n^2$，展开 $(2y - z)^2$：
$x^2 - (4y^2 - 4yz + z^2) = x^2 - 4y^2 + 4yz - z^2$
(2) 根据三项式的完全平方公式 $(a+b+c)^2=a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$，代入 $a=5a$，$b=2b$，$c=-3c$，得：
$(5a)^2 + (2b)^2 + (-3c)^2 + 2×5a×2b + 2×5a×(-3c) + 2×2b×(-3c)$
计算各项：
$25a^2 + 4b^2 + 9c^2 + 20ab - 30ac - 12bc$
【答案】
(1) $x^2 - 4y^2 + 4yz - z^2$；(2) $25a^2 + 4b^2 + 9c^2 + 20ab - 30ac - 12bc$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式乘法
【点评】
本题为整式乘法的基础题型，核心是灵活运用乘法公式简化运算，需准确记忆公式并注意符号处理，避免展开出错，适合巩固公式应用能力。
【难度系数】
0.6
本题考查整式的乘法运算，需运用乘法公式简化计算。对于(1)，观察两个因式，将后两项视为整体，可转化为平方差公式的形式；对于(2)，直接运用三项式的完全平方公式展开，注意各项符号的处理。
【解析】
(1) 原式变形为：
$[x + (2y - z)][x - (2y - z)]$
根据平方差公式 $(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，得：
$x^2 - (2y - z)^2$
再根据完全平方公式 $(m-n)^2=m^2 - 2mn + n^2$，展开 $(2y - z)^2$：
$x^2 - (4y^2 - 4yz + z^2) = x^2 - 4y^2 + 4yz - z^2$
(2) 根据三项式的完全平方公式 $(a+b+c)^2=a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$，代入 $a=5a$，$b=2b$，$c=-3c$，得：
$(5a)^2 + (2b)^2 + (-3c)^2 + 2×5a×2b + 2×5a×(-3c) + 2×2b×(-3c)$
计算各项：
$25a^2 + 4b^2 + 9c^2 + 20ab - 30ac - 12bc$
【答案】
(1) $x^2 - 4y^2 + 4yz - z^2$；(2) $25a^2 + 4b^2 + 9c^2 + 20ab - 30ac - 12bc$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式乘法
【点评】
本题为整式乘法的基础题型，核心是灵活运用乘法公式简化运算，需准确记忆公式并注意符号处理，避免展开出错，适合巩固公式应用能力。
【难度系数】
0.6
8. 先化简,再求值:$(3x+2)(3x-2)-5x(x-1)-(2x-1)^2$,其中 $x=-\dfrac{1}{3}$。
答案
$-8$
解析
【分析】
本题是整式的化简求值题，解题思路为：先利用平方差公式、单项式乘多项式法则、完全平方公式将原式展开，再合并同类项得到最简式，最后代入给定的$x$值计算结果。
【解析】
1. 展开各项：
利用平方差公式：$(3x+2)(3x-2)=(3x)^2 - 2^2=9x^2 -4$；
利用单项式乘多项式法则：$-5x(x-1)=-5x^2 +5x$；
利用完全平方公式：$-(2x-1)^2=-(4x^2 -4x +1)=-4x^2 +4x -1$；
2. 合并同类项：
原式$=(9x^2 -4)+(-5x^2 +5x)+(-4x^2 +4x -1)$
$=(9x^2 -5x^2 -4x^2)+(5x +4x)+(-4 -1)$
$=9x -5$；
3. 代入$x=-\dfrac{1}{3}$求值：
当$x=-\dfrac{1}{3}$时，$9x -5=9×(-\dfrac{1}{3})-5=-3 -5=-8$。
【答案】
$-8$
【知识点】
整式的化简求值、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查整式的混合运算，需熟练掌握相关公式及运算法则，计算时注意符号的处理，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是整式的化简求值题，解题思路为：先利用平方差公式、单项式乘多项式法则、完全平方公式将原式展开，再合并同类项得到最简式，最后代入给定的$x$值计算结果。
【解析】
1. 展开各项：
利用平方差公式：$(3x+2)(3x-2)=(3x)^2 - 2^2=9x^2 -4$；
利用单项式乘多项式法则：$-5x(x-1)=-5x^2 +5x$；
利用完全平方公式：$-(2x-1)^2=-(4x^2 -4x +1)=-4x^2 +4x -1$；
2. 合并同类项：
原式$=(9x^2 -4)+(-5x^2 +5x)+(-4x^2 +4x -1)$
$=(9x^2 -5x^2 -4x^2)+(5x +4x)+(-4 -1)$
$=9x -5$；
3. 代入$x=-\dfrac{1}{3}$求值：
当$x=-\dfrac{1}{3}$时，$9x -5=9×(-\dfrac{1}{3})-5=-3 -5=-8$。
【答案】
$-8$
【知识点】
整式的化简求值、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查整式的混合运算，需熟练掌握相关公式及运算法则，计算时注意符号的处理，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
9. 观察下列各式：
$(x-1)(x+1)=x^2-1;(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1;(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1$。
根据上面的规律，解答下列问题。
(1)$(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+\dots +x+1)=$$\underline{\hspace{5cm}}$(用含$n$的代数式表示，$n$为正整数)。
(2)计算$1+2+2^2+2^3+2^4+\dots +2^{29}+2^{30}$的值。
$(x-1)(x+1)=x^2-1;(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1;(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1$。
根据上面的规律，解答下列问题。
(1)$(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+\dots +x+1)=$$\underline{\hspace{5cm}}$(用含$n$的代数式表示，$n$为正整数)。
(2)计算$1+2+2^2+2^3+2^4+\dots +2^{29}+2^{30}$的值。
答案
(1) $\boldsymbol{x^n - 1}$
(2) $\boldsymbol{2^{31}-1}$
(2) $\boldsymbol{2^{31}-1}$
解析
【分析】
首先观察题目给出的三个等式，寻找等式左右两边的结构规律：等式左边均为$(x-1)$乘以按$x$降幂排列、从最高次到0次的多项式，等式右边为$x$的最高次加1次幂减1。据此总结通用规律，再将规律应用到两个问题中：第(1)问直接套用规律写出结果；第(2)问将所求的和转化为符合规律的乘积形式，再计算结果。
【解析】
(1) 观察已知等式：
$(x-1)(x+1)=x^2 -1$，对应多项式最高次为1，结果为$x^{1+1}-1$；
$(x-1)(x^2+x+1)=x^3 -1$，对应多项式最高次为2，结果为$x^{2+1}-1$；
$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4 -1$，对应多项式最高次为3，结果为$x^{3+1}-1$；
由此总结规律：若多项式为$x^{k}+x^{k-1}+\dots+x+1$，则$(x-1)(x^{k}+x^{k-1}+\dots+x+1)=x^{k+1}-1$。
题目中多项式为$x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1$，即$k=n-1$，代入规律得结果为$x^{(n-1)+1}-1=x^n -1$。
(2) 计算$1+2+2^2+\dots+2^{30}$，将其变形为符合上述规律的形式：
原式$=(2-1)(1+2+2^2+\dots+2^{30})$，这里$x=2$，多项式最高次为30，根据(1)的规律，结果为$2^{30+1}-1=2^{31}-1$，又因$2-1=1$，故原式的值为$2^{31}-1$。
【答案】
(1) $x^n -1$；(2) $2^{31}-1$
【知识点】
规律探究，整式乘法
【点评】
本题是典型的规律探究题，通过观察已知等式归纳通用公式，再迁移应用到具体计算中，重点考查学生的观察、归纳与知识迁移能力，题目设计巧妙，难度适中。
【难度系数】
0.4
首先观察题目给出的三个等式，寻找等式左右两边的结构规律：等式左边均为$(x-1)$乘以按$x$降幂排列、从最高次到0次的多项式，等式右边为$x$的最高次加1次幂减1。据此总结通用规律，再将规律应用到两个问题中：第(1)问直接套用规律写出结果；第(2)问将所求的和转化为符合规律的乘积形式，再计算结果。
【解析】
(1) 观察已知等式：
$(x-1)(x+1)=x^2 -1$，对应多项式最高次为1，结果为$x^{1+1}-1$；
$(x-1)(x^2+x+1)=x^3 -1$，对应多项式最高次为2，结果为$x^{2+1}-1$；
$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4 -1$，对应多项式最高次为3，结果为$x^{3+1}-1$；
由此总结规律：若多项式为$x^{k}+x^{k-1}+\dots+x+1$，则$(x-1)(x^{k}+x^{k-1}+\dots+x+1)=x^{k+1}-1$。
题目中多项式为$x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1$，即$k=n-1$，代入规律得结果为$x^{(n-1)+1}-1=x^n -1$。
(2) 计算$1+2+2^2+\dots+2^{30}$，将其变形为符合上述规律的形式：
原式$=(2-1)(1+2+2^2+\dots+2^{30})$，这里$x=2$，多项式最高次为30，根据(1)的规律，结果为$2^{30+1}-1=2^{31}-1$，又因$2-1=1$，故原式的值为$2^{31}-1$。
【答案】
(1) $x^n -1$；(2) $2^{31}-1$
【知识点】
规律探究，整式乘法
【点评】
本题是典型的规律探究题，通过观察已知等式归纳通用公式，再迁移应用到具体计算中，重点考查学生的观察、归纳与知识迁移能力，题目设计巧妙，难度适中。
【难度系数】
0.4
