知识梳理
勾股定理
勾股定理
勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么①.即直角边的平方和等于斜边的平方.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.因此我们称上述定理为②
勾股定理的验证:勾股定理的验证方法很多,一般是对图形进行割、补、拼、接后利用图形面积不变来证明
勾股定理的应用:勾股定理的基本关系式 $a^2 + b^2 = c^2$在具体的应用过程中可作多种变形.例如③,④等
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足⑤,那么这个三角形是直角三角形
勾股数:能够构成直角三角形三边长的三个⑥称为勾股数,即$a^2 + b^2 = c^2$中,a,b,c为正整数时,称⑦为一组勾股数,常用的几组勾股数有⑧,⑨,⑩等

①$a^2 + b^2 = c^2$ ②勾股定理 ③$b^2 = c^2 - a^2$ ④$a^2 = c^2 - b^2$ ⑤$a^2 + b^2 = c^2$ ⑥正整数 ⑦$a、b、c$ ⑧3、4、5 ⑨6、8、10 ⑩5、12、13

【分析】
这是一道勾股定理相关的基础概念填空题，解题时只需结合课本上学过的勾股定理、勾股定理逆定理的定义、公式变形，以及勾股数的概念和常见勾股数的记忆，逐一对应填空即可。首先回忆勾股定理的核心表达式，再推导其变形公式，接着回忆逆定理的判定条件，最后根据勾股数的定义和常见例子完成剩余填空。
【解析】
①根据勾股定理的内容，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，已知直角边为a、b，斜边为c，因此填$\boldsymbol{a^2 + b^2 = c^2}$；
②结合我国古代对直角三角形三边“勾、股、弦”的称呼，该定理被命名为勾股定理，因此填$\boldsymbol{勾股定理}$；
③④对基本关系式$a^2 + b^2 = c^2$移项变形，将$a^2$移到等号右侧可得$b^2 = c^2 - a^2$，将$b^2$移到等号右侧可得$a^2 = c^2 - b^2$，因此分别填$\boldsymbol{b^2 = c^2 - a^2}$、$\boldsymbol{a^2 = c^2 - b^2}$；
⑤勾股定理的逆定理为：若三角形三边长满足两短边的平方和等于最长边的平方，即$a^2 + b^2 = c^2$，则该三角形为直角三角形，因此填$\boldsymbol{a^2 + b^2 = c^2}$；
⑥根据勾股数的定义，能够构成直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数，因此填$\boldsymbol{正整数}$；
⑦当$a^2 + b^2 = c^2$中a、b、c均为正整数时，a、b、c就为一组勾股数，因此填$\boldsymbol{a、b、c}$；
⑧⑨⑩常用的勾股数有3、4、5；6、8、10；5、12、13等，因此分别填$\boldsymbol{3、4、5}$、$\boldsymbol{6、8、10}$、$\boldsymbol{5、12、13}$。
【答案】
①$a^2 + b^2 = c^2$ ②勾股定理 ③$b^2 = c^2 - a^2$ ④$a^2 = c^2 - b^2$ ⑤$a^2 + b^2 = c^2$ ⑥正整数 ⑦$a、b、c$ ⑧3、4、5 ⑨6、8、10 ⑩5、12、13
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股数
【点评】
本题属于基础概念考察题，重点考查对勾股定理相关基础概念、公式变形的识记掌握程度，这些内容是后续运用勾股定理解决边长计算、直角三角形判定等实际问题的基础，需要牢固记忆。
【难度系数】
0.9

1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°,a=13\ \mathrm{cm},b=5\ \mathrm{cm}$,则第三边长$c$为（）

A.18 cm
B.12 cm
C.8 cm
D.6 cm

1.B

【分析】
这是直角三角形求边长的基础题，解题思路分为两步：第一步先确定斜边，直角所对的边是斜边，本题中∠A=90°，因此∠A对应的边a是斜边，b、c为两条直角边；第二步运用勾股定理变形计算第三边长度，注意不要误将a当作直角边代入计算，避免出错。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$
∴边$a$是斜边，符合勾股定理：$b^2+c^2=a^2$
将$a=13\ \mathrm{cm}$，$b=5\ \mathrm{cm}$代入公式变形得：
$c^2=a^2-b^2=13^2-5^2=169-25=144$
∵三角形边长为正数，
∴$c=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；直角三角形性质
【点评】
本题是勾股定理应用的基础题型，解题核心是先根据直角的位置准确判断斜边，再代入公式计算，易错点为混淆斜边和直角边的对应关系。
【难度系数】
0.8

2. 如图所示，以$Rt△ ABC$的三边为边向外作正方形，其面积分别为$S_1=81$，$S_3=625$，则$S_2=$（）

A.544
B.534
C.516
D.517

2.A

【分析】
这道题是勾股定理与正方形面积的结合题，解题思路如下：1、先明确直角三角形三边和三个正方形面积的对应关系：正方形的面积等于边长的平方，因此三个正方形的面积实际分别对应直角三角形三条边的平方；2、结合直角三角形的勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，就能得到三个正方形面积的数量关系，代入已知数值计算即可得到$S_2$的值。
【解析】
解：由图可知$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$BC^2 + AC^2 = AB^2$
因为正方形的面积等于边长的平方，所以$S_1=BC^2=81$，$S_2=AC^2$，$S_3=AB^2=625$。
将面积关系代入勾股定理公式得：
$S_1 + S_2 = S_3$
因此$S_2 = S_3 - S_1 = 625 - 81 = 544$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理、正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题的核心是建立正方形面积与直角三角形边长平方的对应关系，再利用勾股定理列等式计算即可。
【难度系数】
0.8

3.如图,在长方形ABCD中,AD=4,DC=3,将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF(点A,B,E在同一直线上),连接CF,则$CF^2$=.

3.50

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先利用长方形的性质和勾股定理求出对角线AC的平方；再结合旋转的性质，得到AF与AC相等，∠FAE与∠DAC相等；接下来通过角的等量代换推出∠FAC是直角，得到△FAC是等腰直角三角形，最后再次用勾股定理计算CF²即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=∠DAB=90°，
在Rt△ADC中，AD=4，DC=3，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2+DC^2=4^2+3^2=25$，
∵△ADC绕点A逆时针旋转得到△AEF，
∴$AF=AC$，$∠FAE=∠DAC$，
∵$∠DAC+∠CAB=∠DAB=90°$，
∴$∠FAE+∠CAB=90°$，即$∠FAC=90°$，
在Rt△FAC中，由勾股定理得：
$CF^2=AC^2+AF^2=25+25=50$。
【答案】
50
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，核心是通过旋转性质得到边和角的等量关系，构造出直角三角形后用勾股定理求解，需要同学们熟练掌握图形变换的性质，学会找角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7