登录
4. 如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是$a,b$,斜边长为$c$)和一个正方形(边长为$c$).请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形.
(1)画出拼成的这个图形的示意图；
(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理.
(1)画出拼成的这个图形的示意图；
(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理.
答案
4.(1)(答案不唯一)如图
。(2)验证:因为大正方形的面积可表示为$(a + b)^2$,也可表示为$c^2 + 4 × \frac{1}{2}ab$,所以$(a + b)^2 = c^2 + 4 × \frac{1}{2}ab$,即$a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 2ab$,所以$a^2 + b^2 = c^2$,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
解析
【分析】
要验证勾股定理，我们可以采用面积法，利用同一图形面积的两种不同表示方式建立等式，化简后得到$a^2+b^2=c^2$的结论。
对于（1）的拼图：可以把边长为$c$的正方形放在中间，将四个全等直角三角形的斜边分别和正方形的四条边对齐，直角朝向外侧，让相邻两个直角三角形的直角边$a$、$b$依次拼接，最终得到边长为$(a+b)$的大正方形即可。
对于（2）的验证：分别用两种方法计算大正方形的面积，第一种直接用边长平方计算，第二种用中间正方形的面积加四个直角三角形的面积计算，两个面积相等，展开化简后就能推导出勾股定理。
【解析】
（1）拼法：将边长为$c$的正方形放在中间，四个全等直角三角形的斜边分别与正方形的四条边重合，直角均朝向外侧，相邻直角三角形的短直角边$a$和长直角边$b$依次相接，即可拼成边长为$(a+b)$的大正方形，示意图见答案所示。
（2）验证步骤：
① 拼成的大正方形边长为$a+b$，因此面积可表示为：$S=(a+b)^2$；
② 大正方形的面积也等于中间边长为$c$的正方形面积加上4个直角三角形的面积和，每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，因此面积也可表示为：$S=c^2+4×\frac{1}{2}ab$；
③ 两种表示的是同一图形的面积，因此相等：$(a+b)^2 = c^2 + 4×\frac{1}{2}ab$，展开得$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$，两边同时减去$2ab$，可得$a^2+b^2=c^2$，即验证了勾股定理。
【答案】
(1)(答案不唯一)如图。
(2)验证:因为大正方形的面积可表示为$(a + b)^2$,也可表示为$c^2 + 4 × \frac{1}{2}ab$,所以$(a + b)^2 = c^2 + 4 × \frac{1}{2}ab$,即$a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 2ab$,所以$a^2 + b^2 = c^2$,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
【知识点】
勾股定理的验证，面积法求面积，完全平方公式
【点评】
本题是勾股定理验证的经典题型，通过拼图操作和面积法推导，既考查了图形拼接的空间思考能力，也考查了利用等式变形推导结论的逻辑能力，能帮助大家更好地理解勾股定理的几何意义。
【难度系数】
0.7
要验证勾股定理，我们可以采用面积法，利用同一图形面积的两种不同表示方式建立等式，化简后得到$a^2+b^2=c^2$的结论。
对于（1）的拼图：可以把边长为$c$的正方形放在中间，将四个全等直角三角形的斜边分别和正方形的四条边对齐，直角朝向外侧，让相邻两个直角三角形的直角边$a$、$b$依次拼接，最终得到边长为$(a+b)$的大正方形即可。
对于（2）的验证：分别用两种方法计算大正方形的面积，第一种直接用边长平方计算，第二种用中间正方形的面积加四个直角三角形的面积计算，两个面积相等，展开化简后就能推导出勾股定理。
【解析】
（1）拼法：将边长为$c$的正方形放在中间，四个全等直角三角形的斜边分别与正方形的四条边重合，直角均朝向外侧，相邻直角三角形的短直角边$a$和长直角边$b$依次相接，即可拼成边长为$(a+b)$的大正方形，示意图见答案所示。
（2）验证步骤：
① 拼成的大正方形边长为$a+b$，因此面积可表示为：$S=(a+b)^2$；
② 大正方形的面积也等于中间边长为$c$的正方形面积加上4个直角三角形的面积和，每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，因此面积也可表示为：$S=c^2+4×\frac{1}{2}ab$；
③ 两种表示的是同一图形的面积，因此相等：$(a+b)^2 = c^2 + 4×\frac{1}{2}ab$，展开得$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$，两边同时减去$2ab$，可得$a^2+b^2=c^2$，即验证了勾股定理。
【答案】
(1)(答案不唯一)如图
。(2)验证:因为大正方形的面积可表示为$(a + b)^2$,也可表示为$c^2 + 4 × \frac{1}{2}ab$,所以$(a + b)^2 = c^2 + 4 × \frac{1}{2}ab$,即$a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 2ab$,所以$a^2 + b^2 = c^2$,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
【知识点】
勾股定理的验证，面积法求面积，完全平方公式
【点评】
本题是勾股定理验证的经典题型，通过拼图操作和面积法推导，既考查了图形拼接的空间思考能力，也考查了利用等式变形推导结论的逻辑能力，能帮助大家更好地理解勾股定理的几何意义。
【难度系数】
0.7
5.小亮准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5 m远的水底,竹竿高出水面0.5 m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为 （
A.2 m
B.2.5 m
C.2.25 m
D.3 m
A
）A.2 m
B.2.5 m
C.2.25 m
D.3 m
答案
5.A
解析
【分析】
这是一道结合实际场景的几何应用题，解题思路如下：第一步先将实际问题转化为直角三角形模型：岸边水面点、竹竿水底插入点、竹竿原水面处的点三个点构成直角三角形，两条直角边分别对应河水深度、岸边到竹竿入水处的水平距离1.5m，斜边为竹竿的总长度；第二步设河水深度为未知数，用含未知数的式子表示竹竿总长度；第三步根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设河水的深度为$ x $ m，由题意可知竹竿的总长度为$ (x + 0.5) $ m。
将场景转化为直角三角形后，两条直角边分别为河水深度$ x $ m、水平距离1.5 m，斜边为竹竿总长度，根据勾股定理可得：
$x^2 + 1.5^2 = (x + 0.5)^2$
展开等式右侧：
$x^2 + 2.25 = x^2 + x + 0.25$
两边消去$ x^2 $，移项计算得：
$x = 2.25 - 0.25 = 2$
即河水深度为2m。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，解题核心是准确将生活场景抽象为直角三角形数学模型，理清各边长对应的数量关系，再列方程求解即可，对建模能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
这是一道结合实际场景的几何应用题，解题思路如下：第一步先将实际问题转化为直角三角形模型：岸边水面点、竹竿水底插入点、竹竿原水面处的点三个点构成直角三角形，两条直角边分别对应河水深度、岸边到竹竿入水处的水平距离1.5m，斜边为竹竿的总长度；第二步设河水深度为未知数，用含未知数的式子表示竹竿总长度；第三步根据勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设河水的深度为$ x $ m，由题意可知竹竿的总长度为$ (x + 0.5) $ m。
将场景转化为直角三角形后，两条直角边分别为河水深度$ x $ m、水平距离1.5 m，斜边为竹竿总长度，根据勾股定理可得：
$x^2 + 1.5^2 = (x + 0.5)^2$
展开等式右侧：
$x^2 + 2.25 = x^2 + x + 0.25$
两边消去$ x^2 $，移项计算得：
$x = 2.25 - 0.25 = 2$
即河水深度为2m。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，解题核心是准确将生活场景抽象为直角三角形数学模型，理清各边长对应的数量关系，再列方程求解即可，对建模能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
6.如图所示的是一段楼梯，高BC是3 m，斜边AB是5 m，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长为
7 m
。答案
6.7 m
解析
【分析】
要计算楼梯铺地毯的最小长度，不需要单独测量每一级台阶的长和宽，可利用平移法求解：把所有台阶的水平边沿水平方向向下平移，它们的总长度恰好等于直角三角形的水平直角边AC的长度；把所有台阶的竖直边沿竖直方向向右平移，它们的总长度恰好等于直角三角形的竖直直角边BC的长度。因此地毯总长度就是AC与BC的长度和，我们只需要先根据勾股定理算出AC的长度，再求和即可。
【解析】
由题意可知△ABC是直角三角形，∠C=90°。
已知BC=3m，AB=5m，根据勾股定理：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\mathrm{m}$
根据平移的性质，地毯的总长度等于所有台阶水平长度和加竖直长度和，即：
$\mathrm{地毯长度} = AC + BC = 4 + 3 = 7\mathrm{m}$
【答案】
7 m
【知识点】
平移的应用，勾股定理，转化思想
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，核心是通过平移将分散的线段整合为直角三角形的两条直角边，大大简化了计算过程，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
要计算楼梯铺地毯的最小长度，不需要单独测量每一级台阶的长和宽，可利用平移法求解：把所有台阶的水平边沿水平方向向下平移，它们的总长度恰好等于直角三角形的水平直角边AC的长度；把所有台阶的竖直边沿竖直方向向右平移，它们的总长度恰好等于直角三角形的竖直直角边BC的长度。因此地毯总长度就是AC与BC的长度和，我们只需要先根据勾股定理算出AC的长度，再求和即可。
【解析】
由题意可知△ABC是直角三角形，∠C=90°。
已知BC=3m，AB=5m，根据勾股定理：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\mathrm{m}$
根据平移的性质，地毯的总长度等于所有台阶水平长度和加竖直长度和，即：
$\mathrm{地毯长度} = AC + BC = 4 + 3 = 7\mathrm{m}$
【答案】
7 m
【知识点】
平移的应用，勾股定理，转化思想
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，核心是通过平移将分散的线段整合为直角三角形的两条直角边，大大简化了计算过程，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
7. 在$△ ABC$中,$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别是$a,b,c$,那么下面不能判定$△ ABC$是直角三角形的是 （
A.$∠ B=∠ C-∠ A$
B.$a^2=(b+c)(b-c)$
C.$∠ A:∠ B:∠ C=5:4:3$
D.$a:b:c=5:4:3$
C
）A.$∠ B=∠ C-∠ A$
B.$a^2=(b+c)(b-c)$
C.$∠ A:∠ B:∠ C=5:4:3$
D.$a:b:c=5:4:3$
答案
7.C
解析
【分析】
这道题考查直角三角形的判定，我们可以从两个维度判断：一是利用三角形内角和为180°，验证是否存在90°的内角；二是利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足“较小两边的平方和等于最长边的平方”。我们只需逐个验证每个选项，找出不能判定为直角三角形的选项即可。
【解析】
我们依次分析每个选项：
1. 分析选项A：已知∠B=∠C-∠A，移项可得∠A+∠B=∠C。结合三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，代入得∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
2. 分析选项B：对$a^2=(b+c)(b-c)$右侧展开得$a^2=b^2-c^2$，移项得$a^2+c^2=b^2$，满足勾股定理逆定理，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
3. 分析选项C：已知∠A:∠B:∠C=5:4:3，设三个角分别为$5x$、$4x$、$3x$，根据内角和列方程：$5x+4x+3x=180°$，解得$x=15°$，最大角∠A=$5×15°=75°＜90°$，是锐角三角形，不能判定为直角三角形，符合题意。
4. 分析选项D：已知$a:b:c=5:4:3$，设三边长分别为$5k$、$4k$、$3k$（$k＞0$），计算较小两边平方和：$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2$，最长边平方为$(5k)^2=25k^2$，满足勾股定理逆定理，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的判定，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题，全面覆盖了直角三角形的两种判定思路，解题时要注意区分角的比例和边的比例的不同计算逻辑，熟练掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
这道题考查直角三角形的判定，我们可以从两个维度判断：一是利用三角形内角和为180°，验证是否存在90°的内角；二是利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足“较小两边的平方和等于最长边的平方”。我们只需逐个验证每个选项，找出不能判定为直角三角形的选项即可。
【解析】
我们依次分析每个选项：
1. 分析选项A：已知∠B=∠C-∠A，移项可得∠A+∠B=∠C。结合三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，代入得∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
2. 分析选项B：对$a^2=(b+c)(b-c)$右侧展开得$a^2=b^2-c^2$，移项得$a^2+c^2=b^2$，满足勾股定理逆定理，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
3. 分析选项C：已知∠A:∠B:∠C=5:4:3，设三个角分别为$5x$、$4x$、$3x$，根据内角和列方程：$5x+4x+3x=180°$，解得$x=15°$，最大角∠A=$5×15°=75°＜90°$，是锐角三角形，不能判定为直角三角形，符合题意。
4. 分析选项D：已知$a:b:c=5:4:3$，设三边长分别为$5k$、$4k$、$3k$（$k＞0$），计算较小两边平方和：$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2$，最长边平方为$(5k)^2=25k^2$，满足勾股定理逆定理，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的判定，勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题，全面覆盖了直角三角形的两种判定思路，解题时要注意区分角的比例和边的比例的不同计算逻辑，熟练掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
8.五根小木棒,其长度(单位:cm)分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是 (
C
) 答案
8.C
解析
【分析】
要判断哪个摆法正确，核心是利用直角三角形的判定规则：若三角形的三条边中，两条较短边的平方和等于最长边的平方，这个三角形就是直角三角形。解题时先计算所有木棒长度的平方，找出能构成直角三角形的三边组合，再核对选项中的两个三角形是否都符合直角三角形要求，且5根木棒无重复使用即可。
【解析】
首先计算各木棒长度的平方：
$7^2=49$，$15^2=225$，$20^2=400$，$24^2=576$，$25^2=625$。
寻找符合直角三角形条件的三边组合：
1. $15^2+20^2=225+400=625=25^2$，因此15cm、20cm、25cm可构成直角三角形；
2. $7^2+24^2=49+576=625=25^2$，因此7cm、24cm、25cm可构成直角三角形。
两组组合共用25cm的木棒，接下来核对选项：
A选项：右侧三角形三边为15、20、24，$15^2+20^2≠24^2$，不是直角三角形，排除；
B选项：右侧三角形三边为15、20、24，$15^2+20^2≠24^2$，不是直角三角形，排除；
C选项：两个三角形分别对应上述两组勾股数，均为直角三角形，且5根木棒全部使用无重复，符合要求；
D选项：两组三角形均不满足直角三角形的三边平方关系，排除。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理，直角三角形判定
【点评】
本题考查勾股定理逆定理的实际应用，解题关键是先通过平方计算找到符合条件的直角三角形三边组合，再结合选项验证即可，需注意所有木棒要全部使用且不重复。
【难度系数】
0.7
要判断哪个摆法正确，核心是利用直角三角形的判定规则：若三角形的三条边中，两条较短边的平方和等于最长边的平方，这个三角形就是直角三角形。解题时先计算所有木棒长度的平方，找出能构成直角三角形的三边组合，再核对选项中的两个三角形是否都符合直角三角形要求，且5根木棒无重复使用即可。
【解析】
首先计算各木棒长度的平方：
$7^2=49$，$15^2=225$，$20^2=400$，$24^2=576$，$25^2=625$。
寻找符合直角三角形条件的三边组合：
1. $15^2+20^2=225+400=625=25^2$，因此15cm、20cm、25cm可构成直角三角形；
2. $7^2+24^2=49+576=625=25^2$，因此7cm、24cm、25cm可构成直角三角形。
两组组合共用25cm的木棒，接下来核对选项：
A选项：右侧三角形三边为15、20、24，$15^2+20^2≠24^2$，不是直角三角形，排除；
B选项：右侧三角形三边为15、20、24，$15^2+20^2≠24^2$，不是直角三角形，排除；
C选项：两个三角形分别对应上述两组勾股数，均为直角三角形，且5根木棒全部使用无重复，符合要求；
D选项：两组三角形均不满足直角三角形的三边平方关系，排除。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理，直角三角形判定
【点评】
本题考查勾股定理逆定理的实际应用，解题关键是先通过平方计算找到符合条件的直角三角形三边组合，再结合选项验证即可，需注意所有木棒要全部使用且不重复。
【难度系数】
0.7
9. 下列各组数中,是勾股数的是 (
A.14,36,39
B.8,24,25
C.8,15,17
D.10,20,26
C
)A.14,36,39
B.8,24,25
C.8,15,17
D.10,20,26
答案
9.C
解析
【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先需要明确勾股数的定义：三个正整数，如果满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，那么这三个数就是勾股数。解题时我们可以先找出每组数中的最大数，再分别计算另外两个数的平方和、最大数的平方，对比二者是否相等，逐一验证选项即可得出答案。
【解析】
首先明确勾股数的判定条件：①三个数均为正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方。本题四个选项的数均为正整数，只需验证第二个条件：
A选项：最大数为39，计算得$14^2+36^2=196+1296=1492$，$39^2=1521$，$1492≠1521$，不是勾股数；
B选项：最大数为25，计算得$8^2+24^2=64+576=640$，$25^2=625$，$640≠625$，不是勾股数；
C选项：最大数为17，计算得$8^2+15^2=64+225=289$，$17^2=289$，$289=289$，满足条件，是勾股数；
D选项：最大数为26，计算得$10^2+20^2=100+400=500$，$26^2=676$，$500≠676$，不是勾股数。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股数的定义、乘方运算
【点评】
本题考查勾股数的判定，解题核心是牢记勾股数的两个判定条件，逐一验证即可得出正确结果，是对基础概念的常规考查。
【难度系数】
0.8
要判断一组数是不是勾股数，首先需要明确勾股数的定义：三个正整数，如果满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，那么这三个数就是勾股数。解题时我们可以先找出每组数中的最大数，再分别计算另外两个数的平方和、最大数的平方，对比二者是否相等，逐一验证选项即可得出答案。
【解析】
首先明确勾股数的判定条件：①三个数均为正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方。本题四个选项的数均为正整数，只需验证第二个条件：
A选项：最大数为39，计算得$14^2+36^2=196+1296=1492$，$39^2=1521$，$1492≠1521$，不是勾股数；
B选项：最大数为25，计算得$8^2+24^2=64+576=640$，$25^2=625$，$640≠625$，不是勾股数；
C选项：最大数为17，计算得$8^2+15^2=64+225=289$，$17^2=289$，$289=289$，满足条件，是勾股数；
D选项：最大数为26，计算得$10^2+20^2=100+400=500$，$26^2=676$，$500≠676$，不是勾股数。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股数的定义、乘方运算
【点评】
本题考查勾股数的判定，解题核心是牢记勾股数的两个判定条件，逐一验证即可得出正确结果，是对基础概念的常规考查。
【难度系数】
0.8
