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5. 一元一次不等式组$\begin{cases}x+8＜4x-1, \\ x＞a\end{cases}$的解集为$x＞3$，那么$a$的取值范围是（ ）
A.$a＜3$
B.$a≤3$
C.$a=3$
D.$a≥3$
A.$a＜3$
B.$a≤3$
C.$a=3$
D.$a≥3$
答案
B
解析
【分析】
解题时先求解不等式组中第一个不含参数的不等式，得到其解集后，结合已知的不等式组总解集，根据一元一次不等式组“同大取大”的解集判定规则，分析参数a的取值范围，重点要验证临界值a=3是否满足题意。
【解析】
第一步：解不等式$x+8＜4x-1$
移项得：$x-4x＜-1-8$
合并同类项得：$-3x＜-9$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x＞3$
第二步：结合第二个不等式$x＞a$，已知不等式组的解集为$x＞3$
根据不等式组解集“同大取大”的规则：
若$a＞3$，则不等式组的解集为$x＞a$，不符合题意；
若$a=3$，两个不等式解集均为$x＞3$，不等式组解集仍为$x＞3$，符合题意；
若$a＜3$，两个解集的公共部分为$x＞3$，符合题意。
因此$a$的取值范围是$a≤3$，选B。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集
【点评】
本题考查一元一次不等式组解集的判定，解题关键是掌握解集判定的口诀，同时注意验证临界值是否符合要求，避免遗漏等号的情况。
【难度系数】
0.7
解题时先求解不等式组中第一个不含参数的不等式，得到其解集后，结合已知的不等式组总解集，根据一元一次不等式组“同大取大”的解集判定规则，分析参数a的取值范围，重点要验证临界值a=3是否满足题意。
【解析】
第一步：解不等式$x+8＜4x-1$
移项得：$x-4x＜-1-8$
合并同类项得：$-3x＜-9$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x＞3$
第二步：结合第二个不等式$x＞a$，已知不等式组的解集为$x＞3$
根据不等式组解集“同大取大”的规则：
若$a＞3$，则不等式组的解集为$x＞a$，不符合题意；
若$a=3$，两个不等式解集均为$x＞3$，不等式组解集仍为$x＞3$，符合题意；
若$a＜3$，两个解集的公共部分为$x＞3$，符合题意。
因此$a$的取值范围是$a≤3$，选B。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集
【点评】
本题考查一元一次不等式组解集的判定，解题关键是掌握解集判定的口诀，同时注意验证临界值是否符合要求，避免遗漏等号的情况。
【难度系数】
0.7
6. 不等式组$\begin{cases}\dfrac{1}{3}x -1 ≤ 0, \\3 - x ＜ 9\end{cases}$的解集为 ______ 。
答案
-6＜x≤3
解析
【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解每个不等式的解集，再找两个解集的公共部分。解题时先分别处理两个一元一次不等式，注意解不等式时如果两边同时乘除负数，不等号方向要改变，最后根据解集取公共部分的规则确定最终解集即可。
【解析】
分别求解两个不等式：
1. 解不等式$\dfrac{1}{3}x -1 ≤ 0$：
移项得：$\dfrac{1}{3}x ≤ 1$，
两边同时乘3，不等号方向不变，得：$x ≤ 3$。
2. 解不等式$3 - x ＜ 9$：
移项得：$-x ＜ 9 - 3$，
计算得：$-x ＜ 6$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$x ＞ -6$。
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-6 ＜ x ≤ 3$。
【答案】
$-6＜x≤3$
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集
【点评】
本题属于不等式组的基础考查题，易错点是解第二个不等式时，两边同时乘负数忘记改变不等号方向，以及判断解集边界是否包含等号，解题时结合数轴或解集口诀判断公共部分能降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解每个不等式的解集，再找两个解集的公共部分。解题时先分别处理两个一元一次不等式，注意解不等式时如果两边同时乘除负数，不等号方向要改变，最后根据解集取公共部分的规则确定最终解集即可。
【解析】
分别求解两个不等式：
1. 解不等式$\dfrac{1}{3}x -1 ≤ 0$：
移项得：$\dfrac{1}{3}x ≤ 1$，
两边同时乘3，不等号方向不变，得：$x ≤ 3$。
2. 解不等式$3 - x ＜ 9$：
移项得：$-x ＜ 9 - 3$，
计算得：$-x ＜ 6$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$x ＞ -6$。
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-6 ＜ x ≤ 3$。
【答案】
$-6＜x≤3$
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解集
【点评】
本题属于不等式组的基础考查题，易错点是解第二个不等式时，两边同时乘负数忘记改变不等号方向，以及判断解集边界是否包含等号，解题时结合数轴或解集口诀判断公共部分能降低出错概率。
【难度系数】
0.8
7. 关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x+1-\dfrac{x-2}{3}≤ \dfrac{25}{6}, \\x-a＞0\end{cases}$恰有3个整数解，则$a$的取值范围是 ______ 。
答案
-2≤a＜-1
解析
【分析】
解题时先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集；再根据“恰有3个整数解”的条件，确定这3个整数解的具体值；最后结合解集的边界，分析参数a的取值范围，重点注意边界值是否可取，避免出现多解或漏解的问题。
【解析】
第一步：解第一个不等式$2x+1-\dfrac{x-2}{3}≤ \dfrac{25}{6}$
不等式两边同时乘6消去分母，得：
$6(2x+1)-2(x-2)≤25$
展开括号：
$12x+6-2x+4≤25$
合并同类项：
$10x+10≤25$
移项化简得：
$10x≤15$，即$x≤1.5$
第二步：解第二个不等式$x-a＞0$
移项得：$x＞a$
第三步：确定不等式组的解集
结合两个不等式的解，可得不等式组的解集为$a＜x≤1.5$
第四步：根据整数解的个数求a的范围
因为不等式组恰有3个整数解，小于等于1.5的整数从大到小依次为1、0、-1，刚好3个，说明解集不包含-2，且不能排除-1：若$a＜-2$，解集就会包含-2，整数解变为4个；若$a≥-1$，解集就会排除-1，整数解少于3个。
因此a的取值范围是$-2≤a＜-1$
【答案】
$-2≤a＜-1$
【知识点】
1. 一元一次不等式组解法
2. 不等式组整数解应用
【点评】
本题是不等式组含参问题的常见题型，核心是先正确求解不等式组的公共解集，再结合整数解的个数反向推导参数的取值范围，解题的易错点是边界值的取舍，需要通过代入验证确认边界是否符合要求。
【难度系数】
0.6
解题时先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集；再根据“恰有3个整数解”的条件，确定这3个整数解的具体值；最后结合解集的边界，分析参数a的取值范围，重点注意边界值是否可取，避免出现多解或漏解的问题。
【解析】
第一步：解第一个不等式$2x+1-\dfrac{x-2}{3}≤ \dfrac{25}{6}$
不等式两边同时乘6消去分母，得：
$6(2x+1)-2(x-2)≤25$
展开括号：
$12x+6-2x+4≤25$
合并同类项：
$10x+10≤25$
移项化简得：
$10x≤15$，即$x≤1.5$
第二步：解第二个不等式$x-a＞0$
移项得：$x＞a$
第三步：确定不等式组的解集
结合两个不等式的解，可得不等式组的解集为$a＜x≤1.5$
第四步：根据整数解的个数求a的范围
因为不等式组恰有3个整数解，小于等于1.5的整数从大到小依次为1、0、-1，刚好3个，说明解集不包含-2，且不能排除-1：若$a＜-2$，解集就会包含-2，整数解变为4个；若$a≥-1$，解集就会排除-1，整数解少于3个。
因此a的取值范围是$-2≤a＜-1$
【答案】
$-2≤a＜-1$
【知识点】
1. 一元一次不等式组解法
2. 不等式组整数解应用
【点评】
本题是不等式组含参问题的常见题型，核心是先正确求解不等式组的公共解集，再结合整数解的个数反向推导参数的取值范围，解题的易错点是边界值的取舍，需要通过代入验证确认边界是否符合要求。
【难度系数】
0.6
8. 对于实数x，我们规定$[x]$表示不大于x的最大整数，例如$[1.1]=1$，$[3]=3$，$[-2.2]=-3$，若$[\frac{x+4}{3}]=5$，则x的取值范围是
11≤x＜14
。答案
11≤x＜14
解析
【分析】首先明确题目中$[x]$的含义：$[x]$表示不大于$x$的最大整数，由此可得规律：若$[a]=k$（$k$为整数），则$a$的取值范围是$k≤ a＜k+1$。本题已知$[\frac{x+4}{3}]=5$，我们先根据上述规律列出关于$\frac{x+4}{3}$的不等式组，再解一元一次不等式组就能求出$x$的取值范围。
【解析】根据题中$[x]$的定义，由$[\frac{x+4}{3}]=5$可得不等式：
$5≤ \frac{x+4}{3}＜6$
不等式三边同时乘3，得：
$15≤ x+4＜18$
不等式三边同时减4，得：
$11≤ x＜14$
【答案】$11≤ x＜14$
【知识点】新定义运算，解一元一次不等式组
【点评】本题解题关键是正确理解新定义的取整运算，将取整等式转化为对应的不等式组，求解时注意不等号方向和边界值的取舍即可。
【难度系数】0.7
【解析】根据题中$[x]$的定义，由$[\frac{x+4}{3}]=5$可得不等式：
$5≤ \frac{x+4}{3}＜6$
不等式三边同时乘3，得：
$15≤ x+4＜18$
不等式三边同时减4，得：
$11≤ x＜14$
【答案】$11≤ x＜14$
【知识点】新定义运算，解一元一次不等式组
【点评】本题解题关键是正确理解新定义的取整运算，将取整等式转化为对应的不等式组，求解时注意不等号方向和边界值的取舍即可。
【难度系数】0.7
9. 如图所示为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出. 已知当电梯乘载的质量超过 300 kg 时警示音响起，且小丽、小欧的体重分别为 55 kg、70 kg. 若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的质量为 x kg，则满足题意的 x 的范围是
175＜x≤245
.答案
175＜x≤245
解析
【分析】
要确定x的取值范围，需要从题目给出的两个场景提取不等关系：①小丽进入电梯后电梯未响起警示音，说明此时电梯总质量不超过300kg；②小欧随后进入电梯后警示音响起，说明两人都进入后的总质量超过300kg。根据这两个不等关系列出不等式组，求解即可得到x的范围。
【解析】
根据题意可列不等式组：
1. 小丽进入后电梯未超重：$ x + 55 ≤ 300 $
解不等式得：$ x ≤ 300 - 55 = 245 $
2. 小欧进入后电梯超重：$ x + 55 + 70 ＞ 300 $
解不等式得：$ x ＞ 300 - 125 = 175 $
综合两个不等式的解，可得x的取值范围。
【答案】
175＜x≤245
【知识点】
一元一次不等式组的应用，解一元一次不等式
【点评】
本题结合生活中的电梯超重场景，考查学生从实际问题中抽象出不等关系、建立不等式组求解的能力，解题的核心是准确把握不同场景下的载重限制条件。
【难度系数】
0.7
要确定x的取值范围，需要从题目给出的两个场景提取不等关系：①小丽进入电梯后电梯未响起警示音，说明此时电梯总质量不超过300kg；②小欧随后进入电梯后警示音响起，说明两人都进入后的总质量超过300kg。根据这两个不等关系列出不等式组，求解即可得到x的范围。
【解析】
根据题意可列不等式组：
1. 小丽进入后电梯未超重：$ x + 55 ≤ 300 $
解不等式得：$ x ≤ 300 - 55 = 245 $
2. 小欧进入后电梯超重：$ x + 55 + 70 ＞ 300 $
解不等式得：$ x ＞ 300 - 125 = 175 $
综合两个不等式的解，可得x的取值范围。
【答案】
175＜x≤245
【知识点】
一元一次不等式组的应用，解一元一次不等式
【点评】
本题结合生活中的电梯超重场景，考查学生从实际问题中抽象出不等关系、建立不等式组求解的能力，解题的核心是准确把握不同场景下的载重限制条件。
【难度系数】
0.7
