5.(2025·崇川区月考)某商店将进价为8元的商品按每件10元售出,每天可售出200件,如果这种商品每件的销售价每提高1元,其销售量就减少20件.
(1)该店主将每件商品售价定为多少元时,才能使该商品每天的利润为640元,同时要让利于顾客?
(2)店主想要使该商品每天的利润为800元,小红同学认为不可能.你同意小红同学的说法吗?请说明理由.

解:(1)设每件商品售价定为x元,根据题意,得
(x-8)[200-20(x-10)]=640,
解得x₁=16,x₂=12,
∵要让利于顾客,
∴x=12.
答:该店主将每件商品售价定为12元时,才能使该商品每天的利润为640元,同时让利于顾客.
(2)同意小红同学的说法,理由如下:
设每件商品售价定为x元,根据题意,得
(x-8)[200-20(x-10)]=800,
整理,得x²-28x+200=0,
∵(-28)²-4×200=-16＜0,
∴方程无实数根,
∴店主不能使该商品每天的利润为800元,
故同意小红同学的说法.

6. (2025·通州区月考)如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90^{ \circ }$,$AB=12\ {cm}$,$BC=24\ {cm}$,动点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以$2\ {cm/s}$的速度移动,动点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向点$C$以$4\ {cm/s}$的速度移动. 如果$P$,$Q$两点分别从$A$,$B$两点同时出发,设运动时间为$t\ {s}(0 ＜ t ＜ 6)$,四边形$APQC$的面积为$S\ {cm^{2}}$.
(1)求$S$与$t$满足的函数表达式;
(2)四边形$APQC$的面积能不能达到$104\ {cm^{2}}$?请说明理由.

解:(1)
∵动点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动,
∴AP=2t cm,BQ=4t cm,
所以BP=AB-AP=(12-2t)cm,
∴S△PBQ=1/2 BP·BQ=1/2×(12-2t)×4t=-4t²+24t.
∵S四边形APQC=S△ABC - S△PBQ,
∴S四边形APQC=1/2×12×24 - (-4t²+24t)=4t²-24t+144(0＜t＜6).
(2)四边形APQC的面积不能等于104 cm²,理由如下:
假设四边形APQC的面积等于104 cm²,
∴4t²-24t+144=104,即t²-6t+10=0,
∴b²-4ac=(-6)²-4×10=-4,
∴方程t²-6t+10=0无解,
∴四边形APQC的面积不可能等于104 cm².

7. 如图,在矩形$ABCD$中,$BC=20\ \mathrm{cm}$,点$P,Q,M,N$分别从点$A,B,C,D$出发,沿$AD,BC,CB$,$DA$方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止. 已知在相同时间内,若$BQ=x\ \mathrm{cm}(x≠0)$,则$AP=2x\ \mathrm{cm}$,$CM=3x\ \mathrm{cm}$,$DN=x^2\ \mathrm{cm}$.
(1)当$x$为何值时,点$P,N$重合?
(2)当$x$为何值时,以$P,Q,M,N$为顶点的四边形是平行四边形?

解:(1)
∵点P,N重合,
∴2x+x²=20,
解得x₁=√21 -1,x₂=-√21 -1(舍去),
∴当x=√21 -1时,点P,N重合.
(2)
∵当点N到达点A时,x=2√5,此时点M和点Q还未相遇,
∴点Q只能在点M的左侧.
①当点P在点N的左侧时,根据题意,得
20-(x+3x)=20-(2x+x²),
解得x₁=0(舍去),x₂=2.
∴当x=2时,四边形PQMN是平行四边形.
②当点P在点N的右侧时,根据题意,得
20-(x+3x)=(2x+x²)-20,
解得x₁=-10(舍去),x₂=4,
∴当x=4时,四边形NQMP是平行四边形.
综上,当x=2或x=4时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形.