专题(6) 一元二次方程 综合与实践
1.综合与实践
| | 制定某品牌新能源汽车的销售方案 |
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| 背景 | 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具. 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少汽车尾气的排放，从而达到保护环境的目的. 在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升. |
| 素材1 | 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月增加，3月份的销售量达到5.07万辆. |
| 素材2 | 新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量. |
| 素材3 | 中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周能售出8辆；售价每降低0.5万元/辆，平均每周能多售出1辆. 若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元. |
| | 问题解决 |
| 任务1 | 求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率. |
| 任务2 | 若按此月平均增长率，从几月份开始，该品牌新能源汽车销售量会超过1月份销售量的两倍. |
| 任务3 | 根据素材3，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价. |
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2. 阅读背景材料，解决问题.
| | 用硬纸板制作无盖纸盒 |
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| 背景 | 在一次劳动课上，老师准备了一些长为80 cm，宽为40 cm的长方形硬纸板(如图①)，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒(接头处忽略不计).
第2题图① |
| 素材 | 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，例如，求$-2x^2+4x+3$的最大值，过程如下：
$\because -2x^2+4x+3=-2(x^2-2x+1)+3+2=-2(x-1)^2+5,$
$\therefore$ 当$x=1$时，$-2x^2+4x+3$有最大值5. |
| 方案1 | 如图②，甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为$x$ cm的正方形，再线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形$ABCD$.
第2题图② |
| 方案2 | 如图③，乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为$x$ cm的正方形，再在中间裁掉一块正方形$BCFE$，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形$ABCD$.
第2题图③ |
| 任务1 | 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为$\mathrm{cm}^2$(用含$x$的代数式表示)，并判断底面积能否达到$900\ \mathrm{cm}^2$. |
| 任务2 | 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面$AB$边的长. |
| 任务3 | 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小. |
| 任务4 | 利用配方法求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值. |

1. 解:任务1:设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x,
根据题意,得$3(1+x)^2=5.07$,
解得$x_1=0.3=30\%,x_2=-2.3$(不符合题意,舍去).
答:从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%.
任务2:根据题意,得4月份的销售量是$5.07×(1+30\%)=6.591$(万辆).
$\because 6.591＞3×2,\therefore$从4月份开始,该品牌新能源汽车销售量会超过1月份销售量的两倍.
任务3:设下调后每辆汽车的售价为y万元,
根据题意,得$(y-15)(8+\frac{25-y}{0.5})=96$,
整理,得$y^2-44y+483=0$,
解得$y_1=21,y_2=23$.
又$\because$要尽量让利于顾客,$\therefore y=21$.
答:下调后每辆汽车的售价为21万元.
2. 解:任务1:$(40-2x)^2$
令$(40-2x)^2=900$,解得$x_1=5,x_2=35$(不符合题意,舍去),
所以底面积能达到$900\ \mathrm{cm}^2$.
任务2:根据题意,得$AB=\frac{1}{2}[80-2x-(40-2x)]=\frac{1}{2}×(80-2x-40+2x)=\frac{1}{2}×40=20(\mathrm{cm}).$
任务3:因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等,所以底面积大的方案的纸盒的体积就大.
由任务1可知方案1中纸盒的底面积为$(40-2x)^2\mathrm{cm}^2$.
由任务2可知方案2中纸盒的底面积为$20(40-2x)\mathrm{cm}^2$.
根据题意,得$\begin{cases}x＞0,\\40-2x＞0,\end{cases}$故$0＜x＜20$.
当$(40-2x)^2＞20(40-2x)$时,解得$0＜x＜10$;
当$(40-2x)^2=20(40-2x)$时,解得$x=10$;
当$(40-2x)^2＜20(40-2x)$时,解得$10＜x＜20$.
故当$0＜x＜10$时,方案1的纸盒体积大;当$x=10$时,方案1与方案2的纸盒体积一样大;当$10＜x＜20$时,方案2的纸盒体积大.
任务4:方案2中制作的单个无盖纸盒的体积为$20×(40-2x)x=-40x^2+800x=-40(x-10)^2+4000$,
$\therefore$当$x=10$时,单个无盖纸盒体积的最大值为$4000\mathrm{cm}^3$.