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7.分形的概念是由数学家本华·曼德博提出的.如图是分形的一种,第1个图案有2个三角形;第2个图案有4个三角形;第3个图案有8个三角形;第4个图案有16个三角形,…,下列数据中是按此规律分形得到的三角形的个数的是
（
A.126
B.513
C.980
D.1024
（
D
）A.126
B.513
C.980
D.1024
答案
7.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要观察给出的图案对应的三角形数量，找出数量和图案序号之间的规律。先列出每个序号对应的三角形个数：第1个是2，第2个是4，第3个是8，第4个是16，观察这些数的特征，发现它们都是2的幂次，接下来只需判断选项中的数哪个是2的正整数次幂即可得到答案。
【解析】
观察已知图案的三角形个数：
第1个图案：$2=2^1$
第2个图案：$4=2^2$
第3个图案：$8=2^3$
第4个图案：$16=2^4$
由此可归纳规律：第$n$个图案的三角形个数为$2^n$（$n$为正整数），即三角形个数一定是2的正整数次幂。
分析选项：
A. 126不是2的正整数次幂；
B. 513不是2的正整数次幂（$2^9=512$）；
C. 980不是2的正整数次幂；
D. $1024=2^{10}$，符合规律。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
图形规律探究、有理数的乘方
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察已知的几组数据，归纳出数量和序号之间的乘方关系，再结合乘方的运算判断选项即可，要求具备基本的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要观察给出的图案对应的三角形数量，找出数量和图案序号之间的规律。先列出每个序号对应的三角形个数：第1个是2，第2个是4，第3个是8，第4个是16，观察这些数的特征，发现它们都是2的幂次，接下来只需判断选项中的数哪个是2的正整数次幂即可得到答案。
【解析】
观察已知图案的三角形个数：
第1个图案：$2=2^1$
第2个图案：$4=2^2$
第3个图案：$8=2^3$
第4个图案：$16=2^4$
由此可归纳规律：第$n$个图案的三角形个数为$2^n$（$n$为正整数），即三角形个数一定是2的正整数次幂。
分析选项：
A. 126不是2的正整数次幂；
B. 513不是2的正整数次幂（$2^9=512$）；
C. 980不是2的正整数次幂；
D. $1024=2^{10}$，符合规律。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
图形规律探究、有理数的乘方
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察已知的几组数据，归纳出数量和序号之间的乘方关系，再结合乘方的运算判断选项即可，要求具备基本的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.8
8.(2025·南京开学)用“•”摆如图所示的三角形,第4次时,围成三角形共需“•”
12
个.第n次时,围成三角形共需“•”$3n$
个.第40
次时,围成三角形共需“•”120个.答案
8.12；$3n$；40
解析
【分析】
解决本题先从已知的前3个图形入手，数出每次的“•”数量，观察数量和次数的对应关系：先数得第1次有3个，第2次有6个，第3次有9个，可发现总点数是次数的3倍，再根据这个规律分别计算第4次的数量、第n次的通用表达式，最后列方程求解总点数为120时对应的次数。
【解析】
首先统计前3次的“•”总数：
第1次：共3个，可写为$3×1=3$；
第2次：共6个，可写为$3×2=6$；
第3次：共9个，可写为$3×3=9$；
由此归纳规律：第$k$次围成三角形需要的“•”总数为$3k$。
1. 第4次时，总个数为$3×4=12$；
2. 第$n$次时，总个数为$3×n=3n$；
3. 当总个数为120时，列方程：$3n=120$，解得$n=40$。
【答案】
12；$3n$；40
【知识点】
图形规律探究，列代数式，一元一次方程应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察前几个图形的数量特征，归纳出通用的数量规律，再利用规律求解具体问题，有助于提升观察归纳和代数应用能力。
【难度系数】
0.75
解决本题先从已知的前3个图形入手，数出每次的“•”数量，观察数量和次数的对应关系：先数得第1次有3个，第2次有6个，第3次有9个，可发现总点数是次数的3倍，再根据这个规律分别计算第4次的数量、第n次的通用表达式，最后列方程求解总点数为120时对应的次数。
【解析】
首先统计前3次的“•”总数：
第1次：共3个，可写为$3×1=3$；
第2次：共6个，可写为$3×2=6$；
第3次：共9个，可写为$3×3=9$；
由此归纳规律：第$k$次围成三角形需要的“•”总数为$3k$。
1. 第4次时，总个数为$3×4=12$；
2. 第$n$次时，总个数为$3×n=3n$；
3. 当总个数为120时，列方程：$3n=120$，解得$n=40$。
【答案】
12；$3n$；40
【知识点】
图形规律探究，列代数式，一元一次方程应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察前几个图形的数量特征，归纳出通用的数量规律，再利用规律求解具体问题，有助于提升观察归纳和代数应用能力。
【难度系数】
0.75
9. 按如图所示的方法搭1个三角形需要3根小棒，搭2个三角形需要5根小棒，那么搭10个三角形需要
21
根小棒，搭n个三角形需要$(2n+1)$
根小棒。答案
9.21；$(2n+1)$
解析
【分析】
我们可以先从已知的数量入手找规律：搭1个三角形需要3根小棒，搭2个三角形时，第2个三角形和第1个共用1条边，所以仅需要额外增加2根小棒，总共有5根；搭3个三角形时，第3个三角形和前一个也共用1条边，再额外加2根，共7根。可以发现规律：每多搭1个三角形，就增加2根小棒。搭n个三角形时，第一个用3根，剩下(n-1)个每个加2根，据此推导通用公式，再代入n=10即可求出对应数量。
【解析】
先观察已知条件的小棒数量规律：
搭1个三角形：$ 3 = 2 × 1 + 1 $（根）
搭2个三角形：$ 5 = 2 × 2 + 1 $（根）
搭3个三角形：$ 7 = 2 × 3 + 1 $（根）
……
由此归纳可得：搭$ n $个三角形需要的小棒数量为$ 2n + 1 $根。
当$ n=10 $时，代入公式得：$ 2 × 10 + 1 = 21 $（根）。
【答案】
21；$ 2n+1 $
【知识点】
图形规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于图形类规律探究的基础题型，核心是找到每新增一个三角形时小棒的增量规律，理解新增三角形与原有图形共用边会减少小棒使用量的特点，运用从特殊到一般的归纳方法即可推导出通用规律。
【难度系数】
0.7
我们可以先从已知的数量入手找规律：搭1个三角形需要3根小棒，搭2个三角形时，第2个三角形和第1个共用1条边，所以仅需要额外增加2根小棒，总共有5根；搭3个三角形时，第3个三角形和前一个也共用1条边，再额外加2根，共7根。可以发现规律：每多搭1个三角形，就增加2根小棒。搭n个三角形时，第一个用3根，剩下(n-1)个每个加2根，据此推导通用公式，再代入n=10即可求出对应数量。
【解析】
先观察已知条件的小棒数量规律：
搭1个三角形：$ 3 = 2 × 1 + 1 $（根）
搭2个三角形：$ 5 = 2 × 2 + 1 $（根）
搭3个三角形：$ 7 = 2 × 3 + 1 $（根）
……
由此归纳可得：搭$ n $个三角形需要的小棒数量为$ 2n + 1 $根。
当$ n=10 $时，代入公式得：$ 2 × 10 + 1 = 21 $（根）。
【答案】
21；$ 2n+1 $
【知识点】
图形规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题属于图形类规律探究的基础题型，核心是找到每新增一个三角形时小棒的增量规律，理解新增三角形与原有图形共用边会减少小棒使用量的特点，运用从特殊到一般的归纳方法即可推导出通用规律。
【难度系数】
0.7
10.由边长为1的灰白两种颜色的小正方形组成大正方形如图所示，图①是由1个灰色正方形和3个白色正方形组成的一个面积为4的大正方形，图②是由4个灰色正方形和5个白色正方形组成的一个面积为9的大正方形，图③是由9个灰色正方形和7个白色正方形组成的一个面积为16的大正方形，……
观察图形可以得到以下对应的等式：
第1个等式：$2^2 - 1^2 = 2×1 + 1$，
第2个等式：$3^2 - 2^2 = 2×2 + 1$，
第3个等式：$4^2 - 3^2 = 2×3 + 1$，
第4个等式：$5^2 - 4^2 = 2×4 + 1$，
……
(1)写出图⑥对应的等式：
(2)猜想第$n$个图形对应的等式：
(3)请计算出从图①到图⑳中白色正方形的总个数.
观察图形可以得到以下对应的等式：
第1个等式：$2^2 - 1^2 = 2×1 + 1$，
第2个等式：$3^2 - 2^2 = 2×2 + 1$，
第3个等式：$4^2 - 3^2 = 2×3 + 1$，
第4个等式：$5^2 - 4^2 = 2×4 + 1$，
……
(1)写出图⑥对应的等式：
$7^2 - 6^2 = 2×6 + 1$
；(2)猜想第$n$个图形对应的等式：
$(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1$
；(用含$n$的式子表示)(3)请计算出从图①到图⑳中白色正方形的总个数.
答案
10.(1)$7^2 - 6^2 = 2×6 + 1$
(2)$(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1$
(3)解:由题知,
图①中白色正方形的总数为$2^2 - 1^2$,
图②中白色正方形的总数为$3^2 - 2^2$,
图③中白色正方形的总数为$4^2 - 3^2$,
……
所以图$n$中白色正方形的总数为$(n+1)^2 - n^2$,
当$n=20$时,图㉑中白色正方形的总数为$21^2 - 20^2$,
所以从图①到图㉑中白色正方形的总个数为$2^2 - 1^2 + 3^2 - 2^2 + 4^2 - 3^2 + … + 21^2 - 20^2 = 21^2 - 1^2 = 440.$
(2)$(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1$
(3)解:由题知,
图①中白色正方形的总数为$2^2 - 1^2$,
图②中白色正方形的总数为$3^2 - 2^2$,
图③中白色正方形的总数为$4^2 - 3^2$,
……
所以图$n$中白色正方形的总数为$(n+1)^2 - n^2$,
当$n=20$时,图㉑中白色正方形的总数为$21^2 - 20^2$,
所以从图①到图㉑中白色正方形的总个数为$2^2 - 1^2 + 3^2 - 2^2 + 4^2 - 3^2 + … + 21^2 - 20^2 = 21^2 - 1^2 = 440.$
解析
【分析】
首先观察已知等式和对应图形的关联：第k个图形对应的等式左边为$(k+1)^2 -k^2$，右边为$2k+1$。
(1)求图⑥对应的等式，即取k=6代入规律即可；
(2)将k替换为n，就能得到第n个图形对应的通用等式；
(3)每个图形的白色正方形个数就是对应等式左边的差，将图①到图⑳的白色正方形个数相加时，中间项可相互抵消，仅剩余首尾两项，计算即可得到总个数。
【解析】
(1)观察已知等式规律：第m个等式对应左边是$(m+1)^2 - m^2$，右边是$2m+1$。图⑥对应第6个等式，取m=6，可得等式：$7^2 - 6^2 = 2×6 + 1$。
(2)第n个图形对应m=n，代入规律可得等式：$(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1$。
(3)根据题意：
图①白色正方形个数：$2^2 -1^2$
图②白色正方形个数：$3^2 -2^2$
……
图⑳白色正方形个数：$21^2 -20^2$
总个数求和：
$\begin{aligned}&(2^2 -1^2)+(3^2 -2^2)+(4^2 -3^2)+\dots+(21^2 -20^2)\\=&21^2 -1^2\\=&441-1\\=&440\end{aligned}$
【答案】
(1)$7^2 - 6^2 = 2×6 + 1$
(2)$(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1$
(3)$440$
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律，有理数混合运算
【点评】
本题需要结合图形和已知等式归纳通用规律，最后一问求和时利用相邻项抵消的技巧简化计算，既考查观察归纳能力，也考查运算的灵活性。
【难度系数】
0.7
首先观察已知等式和对应图形的关联：第k个图形对应的等式左边为$(k+1)^2 -k^2$，右边为$2k+1$。
(1)求图⑥对应的等式，即取k=6代入规律即可；
(2)将k替换为n，就能得到第n个图形对应的通用等式；
(3)每个图形的白色正方形个数就是对应等式左边的差，将图①到图⑳的白色正方形个数相加时，中间项可相互抵消，仅剩余首尾两项，计算即可得到总个数。
【解析】
(1)观察已知等式规律：第m个等式对应左边是$(m+1)^2 - m^2$，右边是$2m+1$。图⑥对应第6个等式，取m=6，可得等式：$7^2 - 6^2 = 2×6 + 1$。
(2)第n个图形对应m=n，代入规律可得等式：$(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1$。
(3)根据题意：
图①白色正方形个数：$2^2 -1^2$
图②白色正方形个数：$3^2 -2^2$
……
图⑳白色正方形个数：$21^2 -20^2$
总个数求和：
$\begin{aligned}&(2^2 -1^2)+(3^2 -2^2)+(4^2 -3^2)+\dots+(21^2 -20^2)\\=&21^2 -1^2\\=&441-1\\=&440\end{aligned}$
【答案】
(1)$7^2 - 6^2 = 2×6 + 1$
(2)$(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1$
(3)$440$
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律，有理数混合运算
【点评】
本题需要结合图形和已知等式归纳通用规律，最后一问求和时利用相邻项抵消的技巧简化计算，既考查观察归纳能力，也考查运算的灵活性。
【难度系数】
0.7
