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1. 观察下列各数:3,8,18,38,…,按此规律,第5~7个数可能为 （
A.48,58,68
B.58,78,98
C.76,156,316
D.778,1558,3118
D
）A.48,58,68
B.58,78,98
C.76,156,316
D.778,1558,3118
答案
1.D
解析
【分析】
这是一道数字规律探究题，我们可以结合已知数列的特征，用排除法快速解题：第一步先计算相邻两数的差，观察差的变化规律，排除差不符合变化特征的选项；第二步观察数字的个位特征，排除个位不符合规律的选项，即可锁定正确答案。
【解析】
我们先分析已知数列$3,8,18,38$的特征：
1. 计算相邻两数的差：$8-3=5$，$18-8=10$，$38-18=20$，可发现差依次为$5、10、20$，呈现逐次翻倍、越来越大的特征，后续差不会固定不变：
选项A中相邻数的差固定为10，不符合规律，排除A；
选项B中相邻数的差固定为20，不符合规律，排除B；
2. 观察个位特征：除第一个数3外，其余数$8、18、38$的个位都是8：
选项C中三个数的个位都是6，不符合个位特征，排除C；
综上只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究，排除法应用
【点评】
本题是规律探究类常见题型，解题时既可以直接推导数列的通项公式求解，也可以通过观察数列的局部特征（差的变化、数字个位特征等）快速排除错误选项，方法灵活，平时练习可以多尝试不同思路。
【难度系数】
0.6
这是一道数字规律探究题，我们可以结合已知数列的特征，用排除法快速解题：第一步先计算相邻两数的差，观察差的变化规律，排除差不符合变化特征的选项；第二步观察数字的个位特征，排除个位不符合规律的选项，即可锁定正确答案。
【解析】
我们先分析已知数列$3,8,18,38$的特征：
1. 计算相邻两数的差：$8-3=5$，$18-8=10$，$38-18=20$，可发现差依次为$5、10、20$，呈现逐次翻倍、越来越大的特征，后续差不会固定不变：
选项A中相邻数的差固定为10，不符合规律，排除A；
选项B中相邻数的差固定为20，不符合规律，排除B；
2. 观察个位特征：除第一个数3外，其余数$8、18、38$的个位都是8：
选项C中三个数的个位都是6，不符合个位特征，排除C；
综上只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
数字规律探究，排除法应用
【点评】
本题是规律探究类常见题型，解题时既可以直接推导数列的通项公式求解，也可以通过观察数列的局部特征（差的变化、数字个位特征等）快速排除错误选项，方法灵活，平时练习可以多尝试不同思路。
【难度系数】
0.6
2. 1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数:1,1,2,3,5,…,这一列数满足:从第三个数开始,每一个数都等于它的前两个数之和,则在这一列数的前2024个数中,奇数的个数为
1350
.答案
2.1350
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先从数列的奇偶性规律入手：已知数列从第三项起每一项等于前两项之和，结合奇偶性的加法运算规则（奇+奇=偶，奇+偶=奇，偶+奇=奇），我们可以先列举出前几项的奇偶性，找到其中的循环周期；再计算前2024个数包含多少个完整周期，加上余下部分的奇数个数，即可求出总奇数个数。
【解析】
首先列出数列前几项的奇偶性：
第1项：1（奇），第2项：1（奇），第3项：1+1=2（偶），第4项：1+2=3（奇），第5项：2+3=5（奇），第6项：3+5=8（偶）……
可发现数列的奇偶性按“奇、奇、偶”每3个为一个周期循环，每个周期内有2个奇数、1个偶数。
计算2024个数包含的周期数：
$2024÷3=674$（个）$\dots\dots2$（个）
即有674个完整周期，余下2个数，对应周期的前2项，均为奇数。
总奇数个数为：
$674×2+2=1350$
【答案】
1350
【知识点】
数字规律探究；周期问题；奇偶性判断
【点评】
本题是规律探究类的常考题，解题关键是通过奇偶性运算特征找到数列的循环周期，计算时要注意余数对应部分的奇偶性不要判断错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以先从数列的奇偶性规律入手：已知数列从第三项起每一项等于前两项之和，结合奇偶性的加法运算规则（奇+奇=偶，奇+偶=奇，偶+奇=奇），我们可以先列举出前几项的奇偶性，找到其中的循环周期；再计算前2024个数包含多少个完整周期，加上余下部分的奇数个数，即可求出总奇数个数。
【解析】
首先列出数列前几项的奇偶性：
第1项：1（奇），第2项：1（奇），第3项：1+1=2（偶），第4项：1+2=3（奇），第5项：2+3=5（奇），第6项：3+5=8（偶）……
可发现数列的奇偶性按“奇、奇、偶”每3个为一个周期循环，每个周期内有2个奇数、1个偶数。
计算2024个数包含的周期数：
$2024÷3=674$（个）$\dots\dots2$（个）
即有674个完整周期，余下2个数，对应周期的前2项，均为奇数。
总奇数个数为：
$674×2+2=1350$
【答案】
1350
【知识点】
数字规律探究；周期问题；奇偶性判断
【点评】
本题是规律探究类的常考题，解题关键是通过奇偶性运算特征找到数列的循环周期，计算时要注意余数对应部分的奇偶性不要判断错误。
【难度系数】
0.7
3. 观察下列一组数：$2,\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{7},\dots$，它们按一定规律排列，第$n$个数记为$a_n$，且满足$\dfrac{1}{a_n}+\dfrac{1}{a_{n+2}}=\dfrac{2}{a_{n+1}}$，则$a_4=\_\_\_\_\_\_,a_{2025}=\_\_\_\_\_\_$。
答案
3.$a_4=\dfrac{1}{5}$，$a_{2025}=\dfrac{2}{6073}$
解析
【分析】
首先从给出的关系式$\dfrac{1}{a_n}+\dfrac{1}{a_{n+2}}=\dfrac{2}{a_{n+1}}$入手，可发现将原数列各项取倒数后，相邻三项满足中间项的2倍等于前后两项的和，说明倒数组成的新数列相邻两项的差是固定值。我们先计算已知项的倒数，找到这个固定差值，先推导$a_4$，再总结第$n$项的通用表达式，最后代入$n=2025$计算即可。
【解析】
1. 计算已知项的倒数：
已知$a_1=2$，则$\dfrac{1}{a_1}=\dfrac{1}{2}$；
$a_2=\dfrac{1}{2}$，则$\dfrac{1}{a_2}=2$；
$a_3=\dfrac{2}{7}$，则$\dfrac{1}{a_3}=\dfrac{7}{2}$。
2. 验证倒数数列的差值固定：
$\dfrac{1}{a_2}-\dfrac{1}{a_1}=2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$，
$\dfrac{1}{a_3}-\dfrac{1}{a_2}=\dfrac{7}{2}-2=\dfrac{3}{2}$，
可得倒数数列中每一项比前一项大$\dfrac{3}{2}$。
3. 求$a_4$：
$\dfrac{1}{a_4}=\dfrac{1}{a_3}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{7}{2}+\dfrac{3}{2}=5$，因此$a_4=\dfrac{1}{5}$。
4. 推导$a_n$的通用公式：
观察倒数数列的规律：
第1项：$\dfrac{1}{a_1}=\dfrac{1}{2}$
第2项：$\dfrac{1}{a_2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}×1$
第3项：$\dfrac{1}{a_3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}×2$
……
第n项：$\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}×(n-1)=\dfrac{3n-2}{2}$
因此$a_n=\dfrac{2}{3n-2}$。
5. 计算$a_{2025}$：
将$n=2025$代入公式得：
$a_{2025}=\dfrac{2}{3×2025 -2}=\dfrac{2}{6073}$。
【答案】
$\dfrac{1}{5}$；$\dfrac{2}{6073}$
【知识点】
数列规律探究，代数式化简，分数运算
【点评】
本题是典型的规律探究题，解题核心是通过给出的关系式想到将原数列转化为倒数数列，发现倒数数列的等差特征后即可快速推导通项求解，很好地考查了观察转化能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
首先从给出的关系式$\dfrac{1}{a_n}+\dfrac{1}{a_{n+2}}=\dfrac{2}{a_{n+1}}$入手，可发现将原数列各项取倒数后，相邻三项满足中间项的2倍等于前后两项的和，说明倒数组成的新数列相邻两项的差是固定值。我们先计算已知项的倒数，找到这个固定差值，先推导$a_4$，再总结第$n$项的通用表达式，最后代入$n=2025$计算即可。
【解析】
1. 计算已知项的倒数：
已知$a_1=2$，则$\dfrac{1}{a_1}=\dfrac{1}{2}$；
$a_2=\dfrac{1}{2}$，则$\dfrac{1}{a_2}=2$；
$a_3=\dfrac{2}{7}$，则$\dfrac{1}{a_3}=\dfrac{7}{2}$。
2. 验证倒数数列的差值固定：
$\dfrac{1}{a_2}-\dfrac{1}{a_1}=2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$，
$\dfrac{1}{a_3}-\dfrac{1}{a_2}=\dfrac{7}{2}-2=\dfrac{3}{2}$，
可得倒数数列中每一项比前一项大$\dfrac{3}{2}$。
3. 求$a_4$：
$\dfrac{1}{a_4}=\dfrac{1}{a_3}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{7}{2}+\dfrac{3}{2}=5$，因此$a_4=\dfrac{1}{5}$。
4. 推导$a_n$的通用公式：
观察倒数数列的规律：
第1项：$\dfrac{1}{a_1}=\dfrac{1}{2}$
第2项：$\dfrac{1}{a_2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}×1$
第3项：$\dfrac{1}{a_3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}×2$
……
第n项：$\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}×(n-1)=\dfrac{3n-2}{2}$
因此$a_n=\dfrac{2}{3n-2}$。
5. 计算$a_{2025}$：
将$n=2025$代入公式得：
$a_{2025}=\dfrac{2}{3×2025 -2}=\dfrac{2}{6073}$。
【答案】
$\dfrac{1}{5}$；$\dfrac{2}{6073}$
【知识点】
数列规律探究，代数式化简，分数运算
【点评】
本题是典型的规律探究题，解题核心是通过给出的关系式想到将原数列转化为倒数数列，发现倒数数列的等差特征后即可快速推导通项求解，很好地考查了观察转化能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.6
4. 按一定规律排列的单项式：$x,3x^{2},5x^{3},7x^{4},9x^{5},···$,第$n$个单项式是 （
A.$(2n-1)x^{n}$
B.$(2n+1)x^{n}$
C.$(n-1)x^{n}$
D.$(n+1)x^{n}$
A
）A.$(2n-1)x^{n}$
B.$(2n+1)x^{n}$
C.$(n-1)x^{n}$
D.$(n+1)x^{n}$
答案
4.A
解析
【分析】
要找第n个单项式的规律，我们可以把单项式拆成系数和含x的部分两部分分别分析：
1. 先观察系数：1、3、5、7、9……是连续的正奇数，思考第n个正奇数的表示方法；
2. 再观察x的指数：1、2、3、4、5……和单项式的序号一致，很容易得到第n个的指数；
3. 也可以用代入法：把n=1代入各个选项，排除不符合第一个单项式x的选项，快速得到答案。
【解析】
方法一：拆分找规律
① 系数规律：第1个系数是$1=2×1-1$，第2个系数是$3=2×2-1$，第3个系数是$5=2×3-1$……以此类推，第n个单项式的系数为$2n-1$；
② x的指数规律：第1个单项式x的指数是1，第2个是2，第3个是3……第n个单项式x的指数为$n$；
综上，第n个单项式为$(2n-1)x^n$。
方法二：特殊值排除法
当n=1时，第1个单项式是x：
代入B选项得$3x^1=3x$，不符合，排除；
代入C选项得$0·x^1=0$，不符合，排除；
代入D选项得$2x^1=2x$，不符合，排除；
只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
单项式规律探究、列代数式
【点评】
本题是规律探究类的典型基础题，解题时既可以拆分单项式的系数和字母部分分别归纳规律，也可以用代入特殊序号的方法快速排除错误选项，能够有效锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.9
要找第n个单项式的规律，我们可以把单项式拆成系数和含x的部分两部分分别分析：
1. 先观察系数：1、3、5、7、9……是连续的正奇数，思考第n个正奇数的表示方法；
2. 再观察x的指数：1、2、3、4、5……和单项式的序号一致，很容易得到第n个的指数；
3. 也可以用代入法：把n=1代入各个选项，排除不符合第一个单项式x的选项，快速得到答案。
【解析】
方法一：拆分找规律
① 系数规律：第1个系数是$1=2×1-1$，第2个系数是$3=2×2-1$，第3个系数是$5=2×3-1$……以此类推，第n个单项式的系数为$2n-1$；
② x的指数规律：第1个单项式x的指数是1，第2个是2，第3个是3……第n个单项式x的指数为$n$；
综上，第n个单项式为$(2n-1)x^n$。
方法二：特殊值排除法
当n=1时，第1个单项式是x：
代入B选项得$3x^1=3x$，不符合，排除；
代入C选项得$0·x^1=0$，不符合，排除；
代入D选项得$2x^1=2x$，不符合，排除；
只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
单项式规律探究、列代数式
【点评】
本题是规律探究类的典型基础题，解题时既可以拆分单项式的系数和字母部分分别归纳规律，也可以用代入特殊序号的方法快速排除错误选项，能够有效锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.9
5.将从1开始的连续自然数按如图所示的规律排列.若有序数对$(n,m)$表示第$n$行,从左到右第$m$个数,如$(3,2)$表示6,则表示99的有序数对是
$(10,18)$
.答案
5.$(10,18)$
解析
【分析】
首先观察数阵的排列特征，先找每行末尾数的规律：第1行末尾是1=1²，第2行末尾是4=2²，第3行末尾是9=3²，……，可推出第n行的最后一个数为n²。要找到表示99的有序数对，第一步先确定99所在的行：计算小于99的最大平方数和大于99的最小平方数，分别是9²=81，10²=100，因此99在第10行；第二步确定99在第10行的位置：第9行最后一个数是81，因此第10行的数从82开始，计算99是第10行的第几个数即可得到m的值。
【解析】
1. 归纳每行末尾数规律：观察数阵可知，第n行的最后一个数为$\boldsymbol{n^2}$。
2. 确定99所在的行数：
计算可得$9^2=81$，$10^2=100$，满足$81＜99＜100$，因此99在第10行。
3. 计算99在第10行的位置：
第9行最后一个数是81，因此第10行第1个数为$81+1=82$，
99是第10行的第$99-82+1=18$个数，即$m=18$。
综上，表示99的有序数对是$(10,18)$。
【答案】
$(10,18)$
【知识点】
数字排列规律，有理数的乘方
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题核心是先归纳出每行末尾数字为对应行数的平方这一关键规律，再逐步推导所求数字的位置，思路清晰，易于掌握。
【难度系数】
0.7
首先观察数阵的排列特征，先找每行末尾数的规律：第1行末尾是1=1²，第2行末尾是4=2²，第3行末尾是9=3²，……，可推出第n行的最后一个数为n²。要找到表示99的有序数对，第一步先确定99所在的行：计算小于99的最大平方数和大于99的最小平方数，分别是9²=81，10²=100，因此99在第10行；第二步确定99在第10行的位置：第9行最后一个数是81，因此第10行的数从82开始，计算99是第10行的第几个数即可得到m的值。
【解析】
1. 归纳每行末尾数规律：观察数阵可知，第n行的最后一个数为$\boldsymbol{n^2}$。
2. 确定99所在的行数：
计算可得$9^2=81$，$10^2=100$，满足$81＜99＜100$，因此99在第10行。
3. 计算99在第10行的位置：
第9行最后一个数是81，因此第10行第1个数为$81+1=82$，
99是第10行的第$99-82+1=18$个数，即$m=18$。
综上，表示99的有序数对是$(10,18)$。
【答案】
$(10,18)$
【知识点】
数字排列规律，有理数的乘方
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题核心是先归纳出每行末尾数字为对应行数的平方这一关键规律，再逐步推导所求数字的位置，思路清晰，易于掌握。
【难度系数】
0.7
6.探索发现：$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，……
(1)填空：$\frac{1}{4×5}=$，$\frac{1}{n(n+1)}=$；
(2)一个容器装有$1\ \mathrm{L}$水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出$\frac{1}{2}\ \mathrm{L}$水，第2次倒出的水量是$\frac{1}{2}\ \mathrm{L}$的$\frac{1}{3}$，第3次倒出的水量是$\frac{1}{3}\ \mathrm{L}$的$\frac{1}{4}$，第4次倒出的水量是$\frac{1}{4}\ \mathrm{L}$的$\frac{1}{5}$，…，第$n$次倒出的水量是$\frac{1}{n}\ \mathrm{L}$的$\frac{1}{n+1}$，按照这种倒水的方法，这$1\ \mathrm{L}$水可以倒完吗？为什么？
(1)填空：$\frac{1}{4×5}=$，$\frac{1}{n(n+1)}=$；
(2)一个容器装有$1\ \mathrm{L}$水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出$\frac{1}{2}\ \mathrm{L}$水，第2次倒出的水量是$\frac{1}{2}\ \mathrm{L}$的$\frac{1}{3}$，第3次倒出的水量是$\frac{1}{3}\ \mathrm{L}$的$\frac{1}{4}$，第4次倒出的水量是$\frac{1}{4}\ \mathrm{L}$的$\frac{1}{5}$，…，第$n$次倒出的水量是$\frac{1}{n}\ \mathrm{L}$的$\frac{1}{n+1}$，按照这种倒水的方法，这$1\ \mathrm{L}$水可以倒完吗？为什么？
答案
6.(1)$\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}$；$\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$
(2)解:不可以倒完.理由:由题意,得倒$n$次倒出的总水量为
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2×3}+\dfrac{1}{3×4}+…+\dfrac{1}{n(n+1)}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+…+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}.$
因为$\dfrac{n}{n+1}＜1$,
所以这1 L水不可以倒完.
(2)解:不可以倒完.理由:由题意,得倒$n$次倒出的总水量为
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2×3}+\dfrac{1}{3×4}+…+\dfrac{1}{n(n+1)}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+…+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}.$
因为$\dfrac{n}{n+1}＜1$,
所以这1 L水不可以倒完.
解析
【分析】
(1) 观察题干给出的等式，可发现规律：分子为1、分母为两个连续正整数乘积的分数，可拆分为较小整数的倒数减去较大整数的倒数，依照该规律即可写出对应式子；
(2) 要判断1L水能否倒完，需先计算前n次倒出的总水量。先根据题意写出每次倒出的水量，发现所有项均符合(1)中的拆分规律，利用裂项相消的方法化简总水量的表达式，再将化简结果与1比较大小，即可得出结论。
【解析】
(1) 由已知规律$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$，令k=4，得$\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$；推广到一般情况，可得$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。
(2) 倒n次总共倒出的水量为：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n+1)}$
利用(1)的规律拆分每一项，得：
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
中间项两两抵消后化简得：
$=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$
因为n为正整数，$\frac{n}{n+1}＜1$，即无论倒多少次，总倒出水量都小于1L，因此这1L水不可以倒完。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}$；$\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$
(2) 不可以倒完
【知识点】
裂项相消法；规律探究；有理数加减运算
【点评】
本题属于规律探究类题型，将分数拆分规律与实际问题结合，重点考查对裂项相消法的掌握。解题时需要先从特殊示例中总结通用规律，再将规律应用到求和运算中，通过抵消简化计算，即可快速解决问题。
【难度系数】
0.7
(1) 观察题干给出的等式，可发现规律：分子为1、分母为两个连续正整数乘积的分数，可拆分为较小整数的倒数减去较大整数的倒数，依照该规律即可写出对应式子；
(2) 要判断1L水能否倒完，需先计算前n次倒出的总水量。先根据题意写出每次倒出的水量，发现所有项均符合(1)中的拆分规律，利用裂项相消的方法化简总水量的表达式，再将化简结果与1比较大小，即可得出结论。
【解析】
(1) 由已知规律$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$，令k=4，得$\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$；推广到一般情况，可得$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。
(2) 倒n次总共倒出的水量为：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n(n+1)}$
利用(1)的规律拆分每一项，得：
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
中间项两两抵消后化简得：
$=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$
因为n为正整数，$\frac{n}{n+1}＜1$，即无论倒多少次，总倒出水量都小于1L，因此这1L水不可以倒完。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}$；$\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$
(2) 不可以倒完
【知识点】
裂项相消法；规律探究；有理数加减运算
【点评】
本题属于规律探究类题型，将分数拆分规律与实际问题结合，重点考查对裂项相消法的掌握。解题时需要先从特殊示例中总结通用规律，再将规律应用到求和运算中，通过抵消简化计算，即可快速解决问题。
【难度系数】
0.7
