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9.某排球比赛的积分规则为:比赛中以$3:0$(胜3局负0局)或者$3:1$取胜的球队积3分,负队积0分;比赛中以$3:2$取胜的球队积2分,负队积1分.若$n(n$是正整数,$n＞1)$支排球队进行单循环比赛(参赛的每两个队之间都要比赛一场),则比赛结束后所有球队的积分的和为
$\frac{3n(n-1)}{2}$
分.(用含$n$的代数式表示)答案
9.$\frac{3n(n-1)}{2}$
解析
【分析】
解题时可以分两步思考：第一步先计算n支球队单循环比赛的总场次，n支球队中每支球队要和其余(n-1)支球队各赛1场，每场比赛会被两个队各算1次，因此总场次是总对阵数除以2；第二步计算每场比赛产生的总积分，分别计算两种赛果对应的单场总积分，发现无论哪种赛果，每场比赛贡献的总积分都是固定的3分；最后用总场次乘每场的总积分就能得到所有球队的积分总和。
【解析】
1. 计算单循环比赛总场次：
n支球队参赛，每支球队需要和除自己外的(n-1)支球队各赛1场，所有球队的对阵次数总和为n(n-1)，但每场比赛被重复统计了2次，因此实际总比赛场数为$\frac{n(n-1)}{2}$场。
2. 计算每场比赛产生的总积分：
若比赛以3:0或3:1结束，胜队积3分、负队积0分，单场总积分=3+0=3分；
若比赛以3:2结束，胜队积2分、负队积1分，单场总积分=2+1=3分；
因此无论每场比赛的比分是哪种情况，每场比赛产生的总积分均为3分。
3. 计算所有球队总积分：
总积分 = 总场次 × 每场总积分 = $\frac{n(n-1)}{2} × 3 = \frac{3n(n-1)}{2}$分。
【答案】
$\frac{3n(n-1)}{2}$
【知识点】
单循环场次计算，列代数式，逻辑推理
【点评】
本题解题的核心是跳出分类讨论不同赛果的思维误区，从整体角度发现每场比赛产生的总积分固定为3分，结合单循环场次的计算方法即可快速求解，很好地考查了整体分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题时可以分两步思考：第一步先计算n支球队单循环比赛的总场次，n支球队中每支球队要和其余(n-1)支球队各赛1场，每场比赛会被两个队各算1次，因此总场次是总对阵数除以2；第二步计算每场比赛产生的总积分，分别计算两种赛果对应的单场总积分，发现无论哪种赛果，每场比赛贡献的总积分都是固定的3分；最后用总场次乘每场的总积分就能得到所有球队的积分总和。
【解析】
1. 计算单循环比赛总场次：
n支球队参赛，每支球队需要和除自己外的(n-1)支球队各赛1场，所有球队的对阵次数总和为n(n-1)，但每场比赛被重复统计了2次，因此实际总比赛场数为$\frac{n(n-1)}{2}$场。
2. 计算每场比赛产生的总积分：
若比赛以3:0或3:1结束，胜队积3分、负队积0分，单场总积分=3+0=3分；
若比赛以3:2结束，胜队积2分、负队积1分，单场总积分=2+1=3分；
因此无论每场比赛的比分是哪种情况，每场比赛产生的总积分均为3分。
3. 计算所有球队总积分：
总积分 = 总场次 × 每场总积分 = $\frac{n(n-1)}{2} × 3 = \frac{3n(n-1)}{2}$分。
【答案】
$\frac{3n(n-1)}{2}$
【知识点】
单循环场次计算，列代数式，逻辑推理
【点评】
本题解题的核心是跳出分类讨论不同赛果的思维误区，从整体角度发现每场比赛产生的总积分固定为3分，结合单循环场次的计算方法即可快速求解，很好地考查了整体分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
10.某公司的某种产品由一家商店代销，双方协议不论这种产品销售情况如何，该公司每月给商店$a$元代销费，同时商店每销售一件产品就按售价的$15\%$提成.已知这种产品每件的售价为$b$元，该商店一月份销售了$m$件，二月份销售了$n$件.用代数式表示这两个月该公司应付给商店的钱数.
答案
10.解:根据题意,得该公司应付给商店$[2a+15\% · b(m+n)]$元.
解析
【分析】
解题时先拆分公司应付费用的构成，总费用分为两部分：一是每月固定发放的代销费，二是销售产品的提成。第一步先计算两个月的固定代销费总额，第二步计算两个月的总销售件数，第三步算出总提成金额，最后将两部分金额相加即可，还要注意代数式带单位时的书写规范。
【解析】
1. 计算固定代销费：每月给商店$a$元代销费，两个月的固定代销费总额为$2a$元；
2. 计算总销售件数：一月份销售$m$件，二月份销售$n$件，两个月总销量为$(m+n)$件；
3. 计算销售提成：每件售价为$b$元，每件提成为售价的15%，即每件提成$15\% · b$元，因此总提成为$15\% · b(m+n)$元；
4. 合并两部分费用：总应付费用为固定代销费加总提成，因为是和的形式带单位，需给代数式加括号，最终结果为$[2a+15\% · b(m+n)]$元。
【答案】
$[2a+15\%·b(m+n)]$元
【知识点】
列代数式；销售类数量关系；代数式书写规范
【点评】
本题属于实际应用类的列式题，核心是梳理清楚费用的两个组成部分，分别计算后合并即可。解题时要注意不要漏算两个月的固定代销费，也要注意提成的计算是按每件售价的比例乘以总销量，同时要遵守代数式的书写规范，和的形式带单位时需添加括号。
【难度系数】
0.8
解题时先拆分公司应付费用的构成，总费用分为两部分：一是每月固定发放的代销费，二是销售产品的提成。第一步先计算两个月的固定代销费总额，第二步计算两个月的总销售件数，第三步算出总提成金额，最后将两部分金额相加即可，还要注意代数式带单位时的书写规范。
【解析】
1. 计算固定代销费：每月给商店$a$元代销费，两个月的固定代销费总额为$2a$元；
2. 计算总销售件数：一月份销售$m$件，二月份销售$n$件，两个月总销量为$(m+n)$件；
3. 计算销售提成：每件售价为$b$元，每件提成为售价的15%，即每件提成$15\% · b$元，因此总提成为$15\% · b(m+n)$元；
4. 合并两部分费用：总应付费用为固定代销费加总提成，因为是和的形式带单位，需给代数式加括号，最终结果为$[2a+15\% · b(m+n)]$元。
【答案】
$[2a+15\%·b(m+n)]$元
【知识点】
列代数式；销售类数量关系；代数式书写规范
【点评】
本题属于实际应用类的列式题，核心是梳理清楚费用的两个组成部分，分别计算后合并即可。解题时要注意不要漏算两个月的固定代销费，也要注意提成的计算是按每件售价的比例乘以总销量，同时要遵守代数式的书写规范，和的形式带单位时需添加括号。
【难度系数】
0.8
11. 某水泥仓库一周7天内进出水泥的吨数如下（“+”表示进库，“-”表示出库）：+30，-25，-30，+28，-29，-16，-15.
（1）经过这7天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？
（2）如果进仓库的水泥装卸费是每吨a元，出仓库的水泥装卸费是每吨b元，则这7天要付多少元装卸费？（用含a，b的代数式表示）
（1）经过这7天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？
（2）如果进仓库的水泥装卸费是每吨a元，出仓库的水泥装卸费是每吨b元，则这7天要付多少元装卸费？（用含a，b的代数式表示）
答案
11.解:(1)$+30+(-25)+(-30)+28+(-29)+(-16)+(-15)=-57$(吨).
所以经过这7天,仓库里的水泥减少了57吨.
(2)根据题意,得
进仓库的总装卸费为$[(+30)+(+28)]· a=58a$(元),
出仓库的总装卸费为$(|-25|+|-30|+|-29|+|-16|+|-15|)· b=115b$(元),
所以这7天要付$(58a+115b)$元装卸费.
所以经过这7天,仓库里的水泥减少了57吨.
(2)根据题意,得
进仓库的总装卸费为$[(+30)+(+28)]· a=58a$(元),
出仓库的总装卸费为$(|-25|+|-30|+|-29|+|-16|+|-15|)· b=115b$(元),
所以这7天要付$(58a+115b)$元装卸费.
解析
【分析】
（1）判断7天后仓库水泥的增减情况，只需将7天的进出库吨数求和，若结果为正，说明水泥增多，结果为负说明水泥减少，结果的绝对值就是增减的吨数。
（2）装卸费需分开进库、出库两类计算：进库装卸费按所有进库总吨数乘每吨a元计算，进库吨数是所有正数的和；出库装卸费按所有出库总吨数乘每吨b元计算，出库吨数是所有负数的绝对值之和，最后将两部分费用相加即为总装卸费。
【解析】
解：(1) 计算7天进出库吨数的和：
$+30+(-25)+(-30)+28+(-29)+(-16)+(-15)$
$=30-25-30+28-29-16-15$
$=-57$（吨）
结果为负，说明经过这7天，仓库里的水泥减少了，减少的吨数为57吨。
(2) 先算进库装卸费：进库的记录为+30、+28，总进库吨数为$30+28=58$吨，因此进库装卸费为$58a$元；
再算出库装卸费：出库的记录为-25、-30、-29、-16、-15，总出库吨数为$|-25|+|-30|+|-29|+|-16|+|-15|=25+30+29+16+15=115$吨，因此出库装卸费为$115b$元；
总装卸费为两类费用之和，即$(58a+115b)$元。
【答案】
（1）仓库里的水泥减少了，减少了57吨；
（2）这7天要付$\boldsymbol{(58a+115b)}$元装卸费。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数加减运算，列代数式
【点评】
本题结合仓库货物进出的生活场景，考查对正负数意义的理解和代数式的实际应用，解题核心是明确进出库吨数的统计规则，出库吨数需取绝对值计算，避免符号混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.8
（1）判断7天后仓库水泥的增减情况，只需将7天的进出库吨数求和，若结果为正，说明水泥增多，结果为负说明水泥减少，结果的绝对值就是增减的吨数。
（2）装卸费需分开进库、出库两类计算：进库装卸费按所有进库总吨数乘每吨a元计算，进库吨数是所有正数的和；出库装卸费按所有出库总吨数乘每吨b元计算，出库吨数是所有负数的绝对值之和，最后将两部分费用相加即为总装卸费。
【解析】
解：(1) 计算7天进出库吨数的和：
$+30+(-25)+(-30)+28+(-29)+(-16)+(-15)$
$=30-25-30+28-29-16-15$
$=-57$（吨）
结果为负，说明经过这7天，仓库里的水泥减少了，减少的吨数为57吨。
(2) 先算进库装卸费：进库的记录为+30、+28，总进库吨数为$30+28=58$吨，因此进库装卸费为$58a$元；
再算出库装卸费：出库的记录为-25、-30、-29、-16、-15，总出库吨数为$|-25|+|-30|+|-29|+|-16|+|-15|=25+30+29+16+15=115$吨，因此出库装卸费为$115b$元；
总装卸费为两类费用之和，即$(58a+115b)$元。
【答案】
（1）仓库里的水泥减少了，减少了57吨；
（2）这7天要付$\boldsymbol{(58a+115b)}$元装卸费。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数加减运算，列代数式
【点评】
本题结合仓库货物进出的生活场景，考查对正负数意义的理解和代数式的实际应用，解题核心是明确进出库吨数的统计规则，出库吨数需取绝对值计算，避免符号混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.8
12.为鼓励居民节约用水，某市自来水公司实施阶梯水价：如果每月用水量不超过8吨，按每吨2.3元收费；如果每月用水量超过8吨，则超出部分按每吨3.5元收费.设每月用水量为x吨.
(1)当每月用水量不超过8吨时，用含x的代数式表示用水费用为
(2)当每月用水量超过8吨时，需交水费多少元？(用含x的代数式表示)
(3)若小红家8月份用水12吨，则需交水费多少元？
(1)当每月用水量不超过8吨时，用含x的代数式表示用水费用为
$2.3x$
元；(2)当每月用水量超过8吨时，需交水费多少元？(用含x的代数式表示)
(3)若小红家8月份用水12吨，则需交水费多少元？
答案
12.(1)$2.3x$
(2)解:$8×2.3+(x-8)×3.5=18.4+3.5x-28=(3.5x-9.6)$元.
答:需交水费$(3.5x-9.6)$元.
(3)解:当$x=12$时,$3.5×12-9.6=32.4$(元).
答:需交水费32.4元.
(2)解:$8×2.3+(x-8)×3.5=18.4+3.5x-28=(3.5x-9.6)$元.
答:需交水费$(3.5x-9.6)$元.
(3)解:当$x=12$时,$3.5×12-9.6=32.4$(元).
答:需交水费32.4元.
解析
【分析】
这是分段计费类的代数式应用问题，解题需按不同收费区间分别分析：(1)用水量不超过8吨时，收费标准统一为每吨2.3元，总费用=单价×用水量，直接代入即可列出代数式；(2)用水量超过8吨时，水费要分两部分计算：前8吨按每吨2.3元收费，超出8吨的部分（即x-8吨）按每吨3.5元收费，将两部分费用相加后化简即可得到对应代数式；(3)先判断12吨属于超过8吨的区间，将x=12代入第二问得到的代数式计算，就能得出实际水费。
【解析】
(1) 用水量不超过8吨时，每吨收费2.3元，因此总用水费用为$2.3 × x=2.3x$元；
(2) 当每月用水量超过8吨时，前8吨的费用为$8 × 2.3=18.4$元，超出8吨的部分为$(x-8)$吨，这部分费用为$3.5(x-8)$元，因此总水费为：
$\begin{aligned}&8×2.3+(x-8)×3.5\\=&18.4+3.5x-28\\=&3.5x-9.6\end{aligned}$
答：需交水费$(3.5x-9.6)$元。
(3) 因为$12＞8$，属于用水量超过8吨的区间，将$x=12$代入代数式$3.5x-9.6$得：
$\begin{aligned}&3.5×12-9.6\\=&42-9.6\\=&32.4\end{aligned}$
答：需交水费32.4元。
【答案】
(1) $2.3x$；(2) $(3.5x-9.6)$元；(3) 32.4元
【知识点】
列代数式；代数式求值；分段计费
【点评】
本题是分段计费的典型应用题，解题核心是明确不同用水量对应的收费标准，分段计算费用后再合并，代入求值时需先判断数值所属的收费区间，选择对应的代数式计算，可有效避免出错。
【难度系数】
0.8
这是分段计费类的代数式应用问题，解题需按不同收费区间分别分析：(1)用水量不超过8吨时，收费标准统一为每吨2.3元，总费用=单价×用水量，直接代入即可列出代数式；(2)用水量超过8吨时，水费要分两部分计算：前8吨按每吨2.3元收费，超出8吨的部分（即x-8吨）按每吨3.5元收费，将两部分费用相加后化简即可得到对应代数式；(3)先判断12吨属于超过8吨的区间，将x=12代入第二问得到的代数式计算，就能得出实际水费。
【解析】
(1) 用水量不超过8吨时，每吨收费2.3元，因此总用水费用为$2.3 × x=2.3x$元；
(2) 当每月用水量超过8吨时，前8吨的费用为$8 × 2.3=18.4$元，超出8吨的部分为$(x-8)$吨，这部分费用为$3.5(x-8)$元，因此总水费为：
$\begin{aligned}&8×2.3+(x-8)×3.5\\=&18.4+3.5x-28\\=&3.5x-9.6\end{aligned}$
答：需交水费$(3.5x-9.6)$元。
(3) 因为$12＞8$，属于用水量超过8吨的区间，将$x=12$代入代数式$3.5x-9.6$得：
$\begin{aligned}&3.5×12-9.6\\=&42-9.6\\=&32.4\end{aligned}$
答：需交水费32.4元。
【答案】
(1) $2.3x$；(2) $(3.5x-9.6)$元；(3) 32.4元
【知识点】
列代数式；代数式求值；分段计费
【点评】
本题是分段计费的典型应用题，解题核心是明确不同用水量对应的收费标准，分段计算费用后再合并，代入求值时需先判断数值所属的收费区间，选择对应的代数式计算，可有效避免出错。
【难度系数】
0.8
13.(2025·扬州期末)观察下列等式：
①$3^2 - 1^2 = 8 = 8×1$；
②$5^2 - 3^2 = 16 = 8×2$；
③$7^2 - 5^2 = 24 = 8×3$；
……
(1)写出第⑩个等式：______；
(2)从上述等式中，你发现了什么规律，用适当的形式表示你发现的规律：______
______.
①$3^2 - 1^2 = 8 = 8×1$；
②$5^2 - 3^2 = 16 = 8×2$；
③$7^2 - 5^2 = 24 = 8×3$；
……
(1)写出第⑩个等式：______；
(2)从上述等式中，你发现了什么规律，用适当的形式表示你发现的规律：______
______.
答案
13.(1)$21^2-19^2=80$
(2)$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$(n为正整数)
(2)$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$(n为正整数)
解析
【分析】
解决此类规律探究题，首先要观察给出等式的结构特征：先看等式左边，是两个相邻奇数的平方差，再看等式右边，是8与等式序号的乘积。解题时先找到等式序号和左、右两边式子的对应关系：第n个等式中，较小的奇数为2n-1，较大的奇数为2n+1，右边为8n，再代入对应数值求解即可。
【解析】
(1) 观察前3个等式可得：
第1个等式：底数为$3=2×1+1$，$1=2×1-1$，右边为$8×1$；
第2个等式：底数为$5=2×2+1$，$3=2×2-1$，右边为$8×2$；
第3个等式：底数为$7=2×3+1$，$5=2×3-1$，右边为$8×3$；
以此类推，第⑩个等式中$n=10$，较大奇数为$2×10+1=21$，较小奇数为$2×10-1=19$，右边为$8×10=80$，因此第⑩个等式为$21^2 - 19^2 = 80$。
(2) 设n为正整数，结合上述规律，第n个等式左边为两个相邻奇数的平方差，即$(2n+1)^2 - (2n-1)^2$，右边为8乘序号n，因此规律为$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n$（n为正整数）。
【答案】
(1)$21^2-19^2=80$
(2)$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$(n为正整数)
【知识点】
数字规律探究；列代数式；平方运算
【点评】
本题是典型的数字类规律探究题，核心考查从特殊实例中归纳共性、推导一般结论的能力，解题关键是找准等式各部分与序号之间的对应关系，掌握从特殊到一般的分析思路即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解决此类规律探究题，首先要观察给出等式的结构特征：先看等式左边，是两个相邻奇数的平方差，再看等式右边，是8与等式序号的乘积。解题时先找到等式序号和左、右两边式子的对应关系：第n个等式中，较小的奇数为2n-1，较大的奇数为2n+1，右边为8n，再代入对应数值求解即可。
【解析】
(1) 观察前3个等式可得：
第1个等式：底数为$3=2×1+1$，$1=2×1-1$，右边为$8×1$；
第2个等式：底数为$5=2×2+1$，$3=2×2-1$，右边为$8×2$；
第3个等式：底数为$7=2×3+1$，$5=2×3-1$，右边为$8×3$；
以此类推，第⑩个等式中$n=10$，较大奇数为$2×10+1=21$，较小奇数为$2×10-1=19$，右边为$8×10=80$，因此第⑩个等式为$21^2 - 19^2 = 80$。
(2) 设n为正整数，结合上述规律，第n个等式左边为两个相邻奇数的平方差，即$(2n+1)^2 - (2n-1)^2$，右边为8乘序号n，因此规律为$(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n$（n为正整数）。
【答案】
(1)$21^2-19^2=80$
(2)$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$(n为正整数)
【知识点】
数字规律探究；列代数式；平方运算
【点评】
本题是典型的数字类规律探究题，核心考查从特殊实例中归纳共性、推导一般结论的能力，解题关键是找准等式各部分与序号之间的对应关系，掌握从特殊到一般的分析思路即可快速解题。
【难度系数】
0.7
