13.“三角形的内角和为$180°$”是《几何原本》中的第五公设的推论。在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是$180°$”的是（）

解：
对各选项逐一分析：
选项A：
∵ $EF// AB$，
∴ $∠ ECA=∠ A$，$∠ FCB=∠ B$，
又∵ $∠ ECA+∠ ACB+∠ FCB=180°$（平角定义），
∴ $∠ A+∠ ACB+∠ B=180°$，可以证明三角形内角和为$180°$。
选项B：
仅过点$C$作$CD⊥ AB$，只能得到$∠ ADC=∠ BDC=90°$，无法通过平行线的等角转化将$△ ABC$的三个内角拼接为平角，若通过直角三角形两锐角互余推导，该结论本身依赖三角形内角和为$180°$，属于循环论证，不能证明三角形内角和是$180°$。
选项C：
∵ $DE// BC$，∴ $∠ ADE=∠ B$，
∵ $DF// AC$，∴ $∠ BDF=∠ A$，且四边形$DECF$是平行四边形，得$∠ EDF=∠ C$，
又∵ $∠ ADE+∠ EDF+∠ BDF=180°$（平角定义），
∴ $∠ B+∠ C+∠ A=180°$，可以证明三角形内角和为$180°$。
选项D：
∵ $CE// AB$，∴ $∠ A=∠ ECF$，$∠ B=∠ ECB$，
又∵ $∠ ACB+∠ ECB+∠ ECF=180°$（平角定义），
∴ $∠ ACB+∠ B+∠ A=180°$，可以证明三角形内角和为$180°$。
综上，答案为$\boldsymbol{B}$。

14.如图，直线$a// b$，$\mathrm{Rt}△ ABC$的顶点$A$在直线$b$上，已知$∠ B＝90°$，$∠ C＝30°$，边$AC$，$BC$与直线$a$分别相交于点$D$，$E$。若$∠ CED＝50°$，则$∠ 1$的度数为（）

A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$

B

1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ B=90°$，$∠ C=30°$，由三角形内角和得：$∠ BAC=180°-90°-30°=60°$。
2. 在$△ CDE$中，由三角形内角和得：$∠ CDE=180°-∠ C-∠ CED=180°-30°-50°=100°$。
3. 因为直线$a// b$，$AC$为截线，$∠ CDE$与$∠ CAD$是同旁内角，故$∠ CDE+∠ CAD=180°$，代入得$∠ CAD=180°-100°=80°$。
4. 点$A$在直线$b$上，$∠ 1+∠ BAC+∠ CAD=180°$，因此$∠ 1=180°-60°-80°=40°$。

15.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$，$AE$平分$∠ BAC$交$BD$于点$E$，则$∠ AED$的度数是。

$\boldsymbol{45°}$

解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ $∠ BAC + ∠ ABC = 90°$。
∵ $AE$平分$∠ BAC$，$BD$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ABE = \frac{1}{2}∠ ABC$，
∴ $∠ BAE + ∠ ABE = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ABC) = \frac{1}{2} × 90° = 45°$。
∵ $∠ AED$是$△ ABE$的外角，
∴ $∠ AED = ∠ BAE + ∠ ABE = 45°$。
最终

16. 当三角形中一个内角α的度数是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”。如果一个“特征三角形”的“特征角”为80°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为。

解：
∵ 特征角α为80°，且α=2β，
∴ β = 80° ÷ 2 = 40°，
根据三角形内角和为180°，第三个内角的度数为：
180° - 80° - 40° = 60°，
∴ 该三角形的三个内角分别为40°、60°、80°，
∴ 这个“特征三角形”的最小内角的度数为40°。