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20. (1)比较(填“＞”“＜”或“=”):
①当$a=2,b=2$时，$\frac{a+b}{2}$
②当$a=3,b=3$时，$\frac{a+b}{2}$
③当$a=4,b=1$时，$\frac{a+b}{2}$
④当$a=5,b=3$时，$\frac{a+b}{2}$
(2)探究:
猜想$\frac{a+b}{2}$与$\sqrt{ab}$之间的数量关系为
(3)实践应用:
要制作面积为$1\ \mathrm{m}^2$的长方形镜框，直接利用探究中得出的结论，写出镜框周长的最小值为
①当$a=2,b=2$时，$\frac{a+b}{2}$
=
$\sqrt{ab}$;②当$a=3,b=3$时，$\frac{a+b}{2}$
=
$\sqrt{ab}$;③当$a=4,b=1$时，$\frac{a+b}{2}$
＞
$\sqrt{ab}$;④当$a=5,b=3$时，$\frac{a+b}{2}$
＞
$\sqrt{ab}$.(2)探究:
猜想$\frac{a+b}{2}$与$\sqrt{ab}$之间的数量关系为
$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$
，并给出证明[提示: $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0$].(3)实践应用:
要制作面积为$1\ \mathrm{m}^2$的长方形镜框，直接利用探究中得出的结论，写出镜框周长的最小值为
$4\ \mathrm{m}$
.答案
20.解:(1)= = ＞ ＞
(2)$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ 证明:$\because (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge0$,
$\therefore a-2\sqrt{ab}+b\ge0$.$\therefore a+b\ge2\sqrt{ab}$,即$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$(当且仅当$a=b$时取等号).
(3)$4\ \mathrm{m}$ 【详解】设长方形的长、宽分别为$x\ \mathrm{m},y\ \mathrm{m}$,则$xy=1$.$\because \frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}$,$\therefore x+y\ge2$.$\therefore 2(x+y)\ge4$,即镜框周长的最小值为$4\ \mathrm{m}$.故答案为:$4\ \mathrm{m}$.
(2)$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ 证明:$\because (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge0$,
$\therefore a-2\sqrt{ab}+b\ge0$.$\therefore a+b\ge2\sqrt{ab}$,即$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$(当且仅当$a=b$时取等号).
(3)$4\ \mathrm{m}$ 【详解】设长方形的长、宽分别为$x\ \mathrm{m},y\ \mathrm{m}$,则$xy=1$.$\because \frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}$,$\therefore x+y\ge2$.$\therefore 2(x+y)\ge4$,即镜框周长的最小值为$4\ \mathrm{m}$.故答案为:$4\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
第(1)问解题思路是将各组a、b的取值分别代入$\frac{a+b}{2}$和$\sqrt{ab}$计算出结果，再直接比较大小即可。第(2)问先根据第(1)问的4组比较结果总结共性，猜想两个代数式的大小关系，再利用题目给出的$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0$的提示，将完全平方展开后通过移项变形即可证明猜想，注意$\sqrt{a}、\sqrt{b}$有意义，因此a、b均为非负数。第(3)问是结论的实际应用，先设长方形的长和宽分别为x、y，根据面积为1可得$xy=1$，而周长为$2(x+y)$，结合第(2)问得出的不等式即可求出$x+y$的最小值，进而得到周长的最小值。
【解析】
(1)①把$a=2,b=2$代入得：$\frac{2+2}{2}=2$，$\sqrt{2×2}=2$，因此$\frac{a+b}{2}=\sqrt{ab}$；
②把$a=3,b=3$代入得：$\frac{3+3}{2}=3$，$\sqrt{3×3}=3$，因此$\frac{a+b}{2}=\sqrt{ab}$；
③把$a=4,b=1$代入得：$\frac{4+1}{2}=2.5$，$\sqrt{4×1}=2$，因此$\frac{a+b}{2}＞\sqrt{ab}$；
④把$a=5,b=3$代入得：$\frac{5+3}{2}=4$，$\sqrt{5×3}=\sqrt{15}\approx3.87$，因此$\frac{a+b}{2}＞\sqrt{ab}$。
(2)猜想：$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$（$a\ge0,b\ge0$，当且仅当$a=b$时取等号）。
证明：$\because (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0$，
将完全平方展开可得：$a-2\sqrt{ab}+b≥0$，
移项得：$a+b≥2\sqrt{ab}$，
两边同时除以2得：$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时等号成立。
(3)设长方形镜框的长为$x\ \mathrm{m}$，宽为$y\ \mathrm{m}$，由面积为$1\ \mathrm{m}^2$可得$xy=1$（$x＞0,y＞0$）。
根据(2)的结论可得：$\frac{x+y}{2}≥\sqrt{xy}$，
把$xy=1$代入得：$\frac{x+y}{2}≥\sqrt{1}=1$，
两边同时乘2得：$x+y≥2$，
长方形周长为$2(x+y)$，因此$2(x+y)≥4$，即镜框周长的最小值为$4\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)=；=；＞；＞
(2)$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$（$a\ge0,b\ge0$，当且仅当$a=b$时取等号），证明见解析
(3)$4\ \mathrm{m}$
【知识点】
完全平方公式；代数式大小比较；不等式的应用
【点评】
本题遵循“特殊值探究-猜想证明-实际应用”的逻辑设置，既考查了基础的代数式计算能力，也考查了逻辑推理能力和知识迁移应用的能力，解题时要注意不等式成立的前提条件，以及实际问题中变量的取值范围。
【难度系数】
0.75
第(1)问解题思路是将各组a、b的取值分别代入$\frac{a+b}{2}$和$\sqrt{ab}$计算出结果，再直接比较大小即可。第(2)问先根据第(1)问的4组比较结果总结共性，猜想两个代数式的大小关系，再利用题目给出的$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0$的提示，将完全平方展开后通过移项变形即可证明猜想，注意$\sqrt{a}、\sqrt{b}$有意义，因此a、b均为非负数。第(3)问是结论的实际应用，先设长方形的长和宽分别为x、y，根据面积为1可得$xy=1$，而周长为$2(x+y)$，结合第(2)问得出的不等式即可求出$x+y$的最小值，进而得到周长的最小值。
【解析】
(1)①把$a=2,b=2$代入得：$\frac{2+2}{2}=2$，$\sqrt{2×2}=2$，因此$\frac{a+b}{2}=\sqrt{ab}$；
②把$a=3,b=3$代入得：$\frac{3+3}{2}=3$，$\sqrt{3×3}=3$，因此$\frac{a+b}{2}=\sqrt{ab}$；
③把$a=4,b=1$代入得：$\frac{4+1}{2}=2.5$，$\sqrt{4×1}=2$，因此$\frac{a+b}{2}＞\sqrt{ab}$；
④把$a=5,b=3$代入得：$\frac{5+3}{2}=4$，$\sqrt{5×3}=\sqrt{15}\approx3.87$，因此$\frac{a+b}{2}＞\sqrt{ab}$。
(2)猜想：$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$（$a\ge0,b\ge0$，当且仅当$a=b$时取等号）。
证明：$\because (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0$，
将完全平方展开可得：$a-2\sqrt{ab}+b≥0$，
移项得：$a+b≥2\sqrt{ab}$，
两边同时除以2得：$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时等号成立。
(3)设长方形镜框的长为$x\ \mathrm{m}$，宽为$y\ \mathrm{m}$，由面积为$1\ \mathrm{m}^2$可得$xy=1$（$x＞0,y＞0$）。
根据(2)的结论可得：$\frac{x+y}{2}≥\sqrt{xy}$，
把$xy=1$代入得：$\frac{x+y}{2}≥\sqrt{1}=1$，
两边同时乘2得：$x+y≥2$，
长方形周长为$2(x+y)$，因此$2(x+y)≥4$，即镜框周长的最小值为$4\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)=；=；＞；＞
(2)$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$（$a\ge0,b\ge0$，当且仅当$a=b$时取等号），证明见解析
(3)$4\ \mathrm{m}$
【知识点】
完全平方公式；代数式大小比较；不等式的应用
【点评】
本题遵循“特殊值探究-猜想证明-实际应用”的逻辑设置，既考查了基础的代数式计算能力，也考查了逻辑推理能力和知识迁移应用的能力，解题时要注意不等式成立的前提条件，以及实际问题中变量的取值范围。
【难度系数】
0.75
