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1. 一个直角三角形两条直角边的长分别为3,4,则斜边长为 （
A.5
B.$\sqrt{7}$
C.7
D.12
A
）A.5
B.$\sqrt{7}$
C.7
D.12
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查勾股定理的直接应用，解题思路为：首先明确直角三角形的三边满足勾股定理，即两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知两条直角边的长度，直接代入公式计算斜边长，再匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
解：已知该三角形为直角三角形，两条直角边长分别为$a=3$、$b=4$，设斜边长为$c$。
根据勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$c^2=a^2+b^2$。
代入数值计算：$c^2=3^2+4^2=9+16=25$。
由于三角形边长为正数，因此$c=\sqrt{25}=5$。
综上，本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，是对基础公式掌握情况的常规考查，只要熟练掌握勾股定理的内容，准确代入数值计算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查勾股定理的直接应用，解题思路为：首先明确直角三角形的三边满足勾股定理，即两条直角边的平方和等于斜边的平方，已知两条直角边的长度，直接代入公式计算斜边长，再匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
解：已知该三角形为直角三角形，两条直角边长分别为$a=3$、$b=4$，设斜边长为$c$。
根据勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$c^2=a^2+b^2$。
代入数值计算：$c^2=3^2+4^2=9+16=25$。
由于三角形边长为正数，因此$c=\sqrt{25}=5$。
综上，本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础计算题，是对基础公式掌握情况的常规考查，只要熟练掌握勾股定理的内容，准确代入数值计算即可得分。
【难度系数】
0.9
2. 下列各组数中，是勾股数的一组是 （
A.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
B.$6,7,8$
C.$3,4,6$
D.$9,40,41$
D
）A.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
B.$6,7,8$
C.$3,4,6$
D.$9,40,41$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先要明确勾股数的两个判定条件：①三个数都必须是正整数；②三个数满足较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时我们可以先排除不满足正整数条件的选项，再对剩余选项逐一验证平方和关系即可得出答案。
【解析】
首先明确勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，称为勾股数。
选项A：$\frac{1}{3}、\frac{1}{4}、\frac{1}{5}$都是分数，不是正整数，不符合勾股数要求，排除；
选项B：计算得$6^2+7^2=36+49=85$，$8^2=64$，$85≠64$，不满足平方和关系，排除；
选项C：计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$6^2=36$，$25≠36$，不满足平方和关系，排除；
选项D：计算得$9^2+40^2=81+1600=1681$，$41^2=1681$，满足$9^2+40^2=41^2$，且三个数都是正整数，符合勾股数定义。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义、勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，解题时要注意勾股数必须同时满足正整数和平方和关系两个条件，切勿只验证平方和而忽略了正整数的要求。
【难度系数】
0.85
要判断一组数是不是勾股数，首先要明确勾股数的两个判定条件：①三个数都必须是正整数；②三个数满足较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时我们可以先排除不满足正整数条件的选项，再对剩余选项逐一验证平方和关系即可得出答案。
【解析】
首先明确勾股数的定义：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，称为勾股数。
选项A：$\frac{1}{3}、\frac{1}{4}、\frac{1}{5}$都是分数，不是正整数，不符合勾股数要求，排除；
选项B：计算得$6^2+7^2=36+49=85$，$8^2=64$，$85≠64$，不满足平方和关系，排除；
选项C：计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$6^2=36$，$25≠36$，不满足平方和关系，排除；
选项D：计算得$9^2+40^2=81+1600=1681$，$41^2=1681$，满足$9^2+40^2=41^2$，且三个数都是正整数，符合勾股数定义。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义、勾股定理的应用
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，解题时要注意勾股数必须同时满足正整数和平方和关系两个条件，切勿只验证平方和而忽略了正整数的要求。
【难度系数】
0.85
3. 下列条件中,不能判断△ABC是直角三角形的是 （
A.∠A=∠B+∠C
B.a:b:c=5:12:13
C.$a^2=(b+c)(b-c)$
D.∠A:∠B:∠C=3:4:5
D
）A.∠A=∠B+∠C
B.a:b:c=5:12:13
C.$a^2=(b+c)(b-c)$
D.∠A:∠B:∠C=3:4:5
答案
3.D
解析
【分析】
判断三角形是否为直角三角形可从两个方向入手：一是从内角角度，结合三角形内角和为180°，验证是否存在90°的内角；二是从边长角度，利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。我们只需对四个选项逐一分析即可选出符合要求的答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 已知∠A=∠B+∠C，结合三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，将∠B+∠C替换为∠A，可得∠A+∠A=180°，解得∠A=90°，因此△ABC是直角三角形，不符合题意。
B. 设三边长分别为5k、12k、13k（k＞0），计算得(5k)²+(12k)²=25k²+144k²=169k²=(13k)²，满足勾股定理的逆定理，因此△ABC是直角三角形，不符合题意。
C. 对a²=(b+c)(b-c)展开整理得a²=b²-c²，即a²+c²=b²，满足勾股定理的逆定理，因此△ABC是直角三角形，不符合题意。
D. 设三个内角分别为3x、4x、5x，结合三角形内角和为180°，可得3x+4x+5x=180°，解得x=15°，因此三个内角分别为45°、60°、75°，不存在90°的角，因此△ABC不是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形的判定方法，解题时需熟练运用内角和定理和勾股定理逆定理对选项逐一验证，属于基础类题目，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
判断三角形是否为直角三角形可从两个方向入手：一是从内角角度，结合三角形内角和为180°，验证是否存在90°的内角；二是从边长角度，利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。我们只需对四个选项逐一分析即可选出符合要求的答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 已知∠A=∠B+∠C，结合三角形内角和∠A+∠B+∠C=180°，将∠B+∠C替换为∠A，可得∠A+∠A=180°，解得∠A=90°，因此△ABC是直角三角形，不符合题意。
B. 设三边长分别为5k、12k、13k（k＞0），计算得(5k)²+(12k)²=25k²+144k²=169k²=(13k)²，满足勾股定理的逆定理，因此△ABC是直角三角形，不符合题意。
C. 对a²=(b+c)(b-c)展开整理得a²=b²-c²，即a²+c²=b²，满足勾股定理的逆定理，因此△ABC是直角三角形，不符合题意。
D. 设三个内角分别为3x、4x、5x，结合三角形内角和为180°，可得3x+4x+5x=180°，解得x=15°，因此三个内角分别为45°、60°、75°，不存在90°的角，因此△ABC不是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形的判定方法，解题时需熟练运用内角和定理和勾股定理逆定理对选项逐一验证，属于基础类题目，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
4. 如图，一架长 2.5 m 的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端0.7 m. 如果梯子的顶端下滑0.4 m，那么梯子的底端将向右滑动 （
A.1.5 m
B.0.9 m
C.0.7 m
D.0.8 m
D
）A.1.5 m
B.0.9 m
C.0.7 m
D.0.8 m
答案
4.D
解析
【分析】
这是一道勾股定理在实际场景中的应用题，解题思路如下：首先明确梯子斜靠在墙上时，梯子、墙面、地面构成直角三角形，且梯子长度始终不变，是直角三角形的斜边。第一步先利用初始状态的已知条件，通过勾股定理算出梯子顶端初始的高度；第二步结合顶端下滑的距离，算出下滑后梯子顶端的高度；第三步再次利用勾股定理算出下滑后梯子底端到墙底端的距离；最后用下滑后的底端距离减去初始的底端距离，就能得到底端向右滑动的距离。
【解析】
解：由题意可知，梯子、竖直墙面、水平地面始终构成直角三角形，且梯子长度为直角三角形的斜边，始终等于2.5m。
1. 计算初始状态下梯子顶端距地面的高度$h_1$：
已知初始时梯子底端距墙底端0.7m，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$c$为斜边），可得：
$h_1=\sqrt{2.5^2 - 0.7^2}=\sqrt{6.25 - 0.49}=\sqrt{5.76}=2.4\ \mathrm{m}$
2. 计算梯子顶端下滑0.4m后的高度$h_2$：
$h_2=h_1 - 0.4=2.4 - 0.4=2\ \mathrm{m}$
3. 计算下滑后梯子底端距墙底端的距离$x$：
再次应用勾股定理：
$x=\sqrt{2.5^2 - h_2^2}=\sqrt{6.25 - 4}=\sqrt{2.25}=1.5\ \mathrm{m}$
4. 计算梯子底端向右滑动的距离：
滑动距离$=x - 0.7=1.5 - 0.7=0.8\ \mathrm{m}$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理的典型生活应用题，解题的核心是抓住梯子长度不变这一隐含条件，两次运用勾股定理分别计算对应边长即可，注重考查对基础定理的运用能力和实际问题的分析能力。
【难度系数】
0.7
这是一道勾股定理在实际场景中的应用题，解题思路如下：首先明确梯子斜靠在墙上时，梯子、墙面、地面构成直角三角形，且梯子长度始终不变，是直角三角形的斜边。第一步先利用初始状态的已知条件，通过勾股定理算出梯子顶端初始的高度；第二步结合顶端下滑的距离，算出下滑后梯子顶端的高度；第三步再次利用勾股定理算出下滑后梯子底端到墙底端的距离；最后用下滑后的底端距离减去初始的底端距离，就能得到底端向右滑动的距离。
【解析】
解：由题意可知，梯子、竖直墙面、水平地面始终构成直角三角形，且梯子长度为直角三角形的斜边，始终等于2.5m。
1. 计算初始状态下梯子顶端距地面的高度$h_1$：
已知初始时梯子底端距墙底端0.7m，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$c$为斜边），可得：
$h_1=\sqrt{2.5^2 - 0.7^2}=\sqrt{6.25 - 0.49}=\sqrt{5.76}=2.4\ \mathrm{m}$
2. 计算梯子顶端下滑0.4m后的高度$h_2$：
$h_2=h_1 - 0.4=2.4 - 0.4=2\ \mathrm{m}$
3. 计算下滑后梯子底端距墙底端的距离$x$：
再次应用勾股定理：
$x=\sqrt{2.5^2 - h_2^2}=\sqrt{6.25 - 4}=\sqrt{2.25}=1.5\ \mathrm{m}$
4. 计算梯子底端向右滑动的距离：
滑动距离$=x - 0.7=1.5 - 0.7=0.8\ \mathrm{m}$
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理的典型生活应用题，解题的核心是抓住梯子长度不变这一隐含条件，两次运用勾股定理分别计算对应边长即可，注重考查对基础定理的运用能力和实际问题的分析能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，将$△ ADE$沿$DE$翻折，使点$A$与点$B$重合，则$AE$的长为（
A.$\frac{7}{8}$
B.$3$
C.$\frac{25}{4}$
D.$\frac{25}{8}$
D
）A.$\frac{7}{8}$
B.$3$
C.$\frac{25}{4}$
D.$\frac{25}{8}$
答案
5.D
解析
【分析】
解决本题首先利用翻折的性质得到相等线段：翻折后点A与点B重合，因此AE=BE。观察图形可知△BCE是直角三角形，已知BC=3、AC=4，我们可以设AE的长度为x，将EC、BE的长度用含x的式子表示，再根据勾股定理列方程求解，即可得到AE的长度。
【解析】
由翻折的性质可得：$AE=BE$。
设$AE=x$，则$BE=x$，$EC=AC-AE=4-x$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore △ BCE$是直角三角形。
根据勾股定理：$EC^2 + BC^2 = BE^2$，代入数值可得：
$(4-x)^2 + 3^2 = x^2$
展开计算：
$16 - 8x + x^2 +9 = x^2$
消去$x^2$后整理得：
$25 = 8x$
解得：$x=\frac{25}{8}$，即$AE=\frac{25}{8}$。
【答案】
D
【知识点】
翻折的性质、勾股定理、列方程求线段长
【点评】
本题是折叠类几何的常规题型，解题核心是利用折叠的性质实现线段的等量转化，再结合直角三角形的勾股定理建立方程求解，是几何中求解未知线段长度的典型考法。
【难度系数】
0.7
解决本题首先利用翻折的性质得到相等线段：翻折后点A与点B重合，因此AE=BE。观察图形可知△BCE是直角三角形，已知BC=3、AC=4，我们可以设AE的长度为x，将EC、BE的长度用含x的式子表示，再根据勾股定理列方程求解，即可得到AE的长度。
【解析】
由翻折的性质可得：$AE=BE$。
设$AE=x$，则$BE=x$，$EC=AC-AE=4-x$。
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore △ BCE$是直角三角形。
根据勾股定理：$EC^2 + BC^2 = BE^2$，代入数值可得：
$(4-x)^2 + 3^2 = x^2$
展开计算：
$16 - 8x + x^2 +9 = x^2$
消去$x^2$后整理得：
$25 = 8x$
解得：$x=\frac{25}{8}$，即$AE=\frac{25}{8}$。
【答案】
D
【知识点】
翻折的性质、勾股定理、列方程求线段长
【点评】
本题是折叠类几何的常规题型，解题核心是利用折叠的性质实现线段的等量转化，再结合直角三角形的勾股定理建立方程求解，是几何中求解未知线段长度的典型考法。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在平面直角坐标系中，B，C两点的坐标分别为(-3,0)，(7,0)，AB=AC=13，则点A的坐标为（
A.(2,12)
B.(3,13)
C.(5,12)
D.(5,13)
A
）A.(2,12)
B.(3,13)
C.(5,12)
D.(5,13)
答案
6.A
解析
【分析】
已知AB=AC，可得△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，点A在BC的垂直平分线上，首先计算BC的中点即可得到点A的横坐标，再结合勾股定理求出点A的纵坐标，就能确定点A的坐标。
【解析】
1. 求BC的中点坐标：
已知B(-3,0)、C(7,0)，则BC中点的横坐标为$\frac{-3+7}{2}=2$，纵坐标为0。
2. 确定点A的横坐标：
因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，等腰三角形底边的中线与高线重合，因此点A在BC的垂直平分线上，即点A的横坐标为2。
3. 计算点A的纵坐标：
BC的长度为$7-(-3)=10$，则底边一半的长度为$10÷2=5$。
设BC中点为D，在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$
因此点A的纵坐标为12，即点A坐标为(2,12)。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，平面直角坐标系
【点评】
本题将等腰三角形性质和勾股定理结合平面直角坐标系考查，解题的突破口是利用等腰三角形三线合一快速确定点A的横坐标，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
已知AB=AC，可得△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，点A在BC的垂直平分线上，首先计算BC的中点即可得到点A的横坐标，再结合勾股定理求出点A的纵坐标，就能确定点A的坐标。
【解析】
1. 求BC的中点坐标：
已知B(-3,0)、C(7,0)，则BC中点的横坐标为$\frac{-3+7}{2}=2$，纵坐标为0。
2. 确定点A的横坐标：
因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，等腰三角形底边的中线与高线重合，因此点A在BC的垂直平分线上，即点A的横坐标为2。
3. 计算点A的纵坐标：
BC的长度为$7-(-3)=10$，则底边一半的长度为$10÷2=5$。
设BC中点为D，在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$
因此点A的纵坐标为12，即点A坐标为(2,12)。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，平面直角坐标系
【点评】
本题将等腰三角形性质和勾股定理结合平面直角坐标系考查，解题的突破口是利用等腰三角形三线合一快速确定点A的横坐标，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
7. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，斜边$BC=2\sqrt{2}$，则$AB^2+AC^2+BC^2$的值为
16
.答案
7.16
解析
【分析】
本题是直角三角形三边平方和的计算问题，解题思路如下：首先根据直角三角形的性质，回忆勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。本题已知BC是斜边，因此可得到$AB^2+AC^2=BC^2$，将其代入所求代数式，即可把原式转化为只含BC的式子，再代入BC的长度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $\mathrm{Rt}△ ABC$中，BC为斜边
∴ 由勾股定理得：$AB^2 + AC^2 = BC^2$
∴ $AB^2 + AC^2 + BC^2 = BC^2 + BC^2 = 2BC^2$
将$BC=2\sqrt{2}$代入得：
$2BC^2=2×(2\sqrt{2})^2=2× 8=16$
【答案】
16
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理的直接应用，解题时只要明确直角三角形的斜边，准确运用勾股定理转换代数式，再正确计算二次根式的平方即可得到答案。
【难度系数】
0.85
本题是直角三角形三边平方和的计算问题，解题思路如下：首先根据直角三角形的性质，回忆勾股定理：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。本题已知BC是斜边，因此可得到$AB^2+AC^2=BC^2$，将其代入所求代数式，即可把原式转化为只含BC的式子，再代入BC的长度计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $\mathrm{Rt}△ ABC$中，BC为斜边
∴ 由勾股定理得：$AB^2 + AC^2 = BC^2$
∴ $AB^2 + AC^2 + BC^2 = BC^2 + BC^2 = 2BC^2$
将$BC=2\sqrt{2}$代入得：
$2BC^2=2×(2\sqrt{2})^2=2× 8=16$
【答案】
16
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理的直接应用，解题时只要明确直角三角形的斜边，准确运用勾股定理转换代数式，再正确计算二次根式的平方即可得到答案。
【难度系数】
0.85
