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17.若$y=\frac{\sqrt{x-7}+\sqrt{7-x}}{2}-2$成立，则$(x+y)^2=$
25
。答案
17.25
解析
【分析】
要计算$(x+y)^2$的值，需先求出x、y的取值。观察y的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），可列出关于x的不等式组，先确定x的取值，再代入原式求出y，最后代入代数式计算即可。
【解析】
1. 求x的取值：
根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，可得不等式组：
$\begin{cases}x-7≥0 \\7-x≥0\end{cases}$
解第一个不等式得$x≥7$，解第二个不等式得$x≤7$，因此$x=7$。
2. 求y的取值：
将$x=7$代入$y=\frac{\sqrt{x-7}+\sqrt{7-x}}{2}-2$中，得：
$y=\frac{\sqrt{0}+\sqrt{0}}{2}-2=0-2=-2$
3. 计算$(x+y)^2$：
先算$x+y=7+(-2)=5$，因此$(x+y)^2=5^2=25$。
【答案】
25
【知识点】
二次根式有意义的条件；代数式求值
【点评】
本题重点考查二次根式性质的基础应用，解题的关键是抓住互为相反数的两个数同时作为二次根式被开方数时，只能同时为0的特点求出x的值，整体逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.8
要计算$(x+y)^2$的值，需先求出x、y的取值。观察y的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），可列出关于x的不等式组，先确定x的取值，再代入原式求出y，最后代入代数式计算即可。
【解析】
1. 求x的取值：
根据二次根式有意义的条件，被开方数非负，可得不等式组：
$\begin{cases}x-7≥0 \\7-x≥0\end{cases}$
解第一个不等式得$x≥7$，解第二个不等式得$x≤7$，因此$x=7$。
2. 求y的取值：
将$x=7$代入$y=\frac{\sqrt{x-7}+\sqrt{7-x}}{2}-2$中，得：
$y=\frac{\sqrt{0}+\sqrt{0}}{2}-2=0-2=-2$
3. 计算$(x+y)^2$：
先算$x+y=7+(-2)=5$，因此$(x+y)^2=5^2=25$。
【答案】
25
【知识点】
二次根式有意义的条件；代数式求值
【点评】
本题重点考查二次根式性质的基础应用，解题的关键是抓住互为相反数的两个数同时作为二次根式被开方数时，只能同时为0的特点求出x的值，整体逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.8
18.如图，
，正方形BEFG的面积为5，正方形ABCD的面积为7，则△GCE的面积是
，正方形BEFG的面积为5，正方形ABCD的面积为7，则△GCE的面积是$\frac{\sqrt{35}-5}{2}$
。答案
18.$\frac{\sqrt{35}-5}{2}$
解析
【分析】
要计算△GCE的面积，首先需要明确三角形的底和对应高：
1. 先根据正方形面积公式，由两个正方形的面积求出各自的边长；
2. 观察图形可知，△GCE的底CE是大正方形边长减去小正方形的边长，CE边上的高等于小正方形的边长BG（因为BG垂直于BC，CE在BC边上）；
3. 最后代入三角形面积公式，结合二次根式的运算法则计算即可得到结果。
【解析】
∵ 正方形ABCD的面积为7，正方形的面积=边长²
∴ 正方形ABCD的边长$BC=\sqrt{7}$
∵ 正方形BEFG的面积为5
∴ 正方形BEFG的边长$BE=BG=\sqrt{5}$
∴ $CE=BC-BE=\sqrt{7}-\sqrt{5}$
又
∵ BG⊥BC，即BG是△GCE中CE边上的高
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ GCE}=\frac{1}{2}×CE×BG=\frac{1}{2}×(\sqrt{7}-\sqrt{5})×\sqrt{5}$
$=\frac{1}{2}×(\sqrt{7}×\sqrt{5}-\sqrt{5}×\sqrt{5})=\frac{\sqrt{35}-5}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{35}-5}{2}$
【知识点】
正方形的性质，三角形面积计算，二次根式运算
【点评】
本题属于基础综合题，核心是结合正方形的性质找到三角形的底和对应高，计算时注意遵循二次根式的运算规则，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
要计算△GCE的面积，首先需要明确三角形的底和对应高：
1. 先根据正方形面积公式，由两个正方形的面积求出各自的边长；
2. 观察图形可知，△GCE的底CE是大正方形边长减去小正方形的边长，CE边上的高等于小正方形的边长BG（因为BG垂直于BC，CE在BC边上）；
3. 最后代入三角形面积公式，结合二次根式的运算法则计算即可得到结果。
【解析】
∵ 正方形ABCD的面积为7，正方形的面积=边长²
∴ 正方形ABCD的边长$BC=\sqrt{7}$
∵ 正方形BEFG的面积为5
∴ 正方形BEFG的边长$BE=BG=\sqrt{5}$
∴ $CE=BC-BE=\sqrt{7}-\sqrt{5}$
又
∵ BG⊥BC，即BG是△GCE中CE边上的高
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ GCE}=\frac{1}{2}×CE×BG=\frac{1}{2}×(\sqrt{7}-\sqrt{5})×\sqrt{5}$
$=\frac{1}{2}×(\sqrt{7}×\sqrt{5}-\sqrt{5}×\sqrt{5})=\frac{\sqrt{35}-5}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{35}-5}{2}$
【知识点】
正方形的性质，三角形面积计算，二次根式运算
【点评】
本题属于基础综合题，核心是结合正方形的性质找到三角形的底和对应高，计算时注意遵循二次根式的运算规则，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
19. 关于求三边长分别为$a,b,c$的三角形的面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究.古希腊的几何学家海伦给出了利用三角形三边求面积的海伦公式$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中$p=\frac{a+b+c}{2}$；我国南宋时期的数学家秦九韶也曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式$S=$
$$.
(1)若一个三角形的三边长分别为3,5,6，任选以上一个公式求这个三角形的面积.
(2)若一个三角形的三边长分别为$\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6}$，任选以上一个公式求这个三角形的面积.
$$.(1)若一个三角形的三边长分别为3,5,6，任选以上一个公式求这个三角形的面积.
(2)若一个三角形的三边长分别为$\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6}$，任选以上一个公式求这个三角形的面积.
答案
19.解:(1)设$a=3,b=5,c=6$,$\therefore p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+5+6}{2}=7$.根据海伦公式,得$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{7×(7-3)×(7-5)×(7-6)}=2\sqrt{14}$.
(2)设$a=\sqrt{3},b=\sqrt{5},c=\sqrt{6}$,$\therefore a^2=3,b^2=5,c^2=6$.根据秦九韶公式,得$S=\sqrt{\frac{1}{4}×[3×5-(\frac{3+5-6}{2})^2]}=\frac{\sqrt{14}}{2}$.
(2)设$a=\sqrt{3},b=\sqrt{5},c=\sqrt{6}$,$\therefore a^2=3,b^2=5,c^2=6$.根据秦九韶公式,得$S=\sqrt{\frac{1}{4}×[3×5-(\frac{3+5-6}{2})^2]}=\frac{\sqrt{14}}{2}$.
解析
【分析】
本题给出了两种已知三角形三边长求面积的公式，解题时可根据边长的特点选择更简便的公式代入计算。(1)中三角形三边均为整数，选用海伦公式更简便：先求出半周长p，再将p和三边长代入海伦公式，最后化简二次根式得到面积；(2)中三角形三边均为二次根式，平方后为整数，选用秦九韶公式更简便：先求出三边长的平方，再代入秦九韶公式，化简二次根式即可得到面积。
【解析】
(1) 设三角形三边长$a=3,b=5,c=6$，
先计算半周长 $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+5+6}{2}=7$，
代入海伦公式得：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{7×(7-3)×(7-5)×(7-6)}$
$=\sqrt{7×4×2×1}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$。
(2) 设三角形三边长$a=\sqrt{3},b=\sqrt{5},c=\sqrt{6}$，
先计算各边的平方：$a^2=3,b^2=5,c^2=6$，
代入秦九韶公式得：
$S=\sqrt{\frac{1}{4}×[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}×[3×5-(\frac{3+5-6}{2})^2]}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}×(15-1)}=\sqrt{\frac{14}{4}}=\frac{\sqrt{14}}{2}$。
【答案】
(1) $2\sqrt{14}$；(2) $\frac{\sqrt{14}}{2}$
【知识点】
二次根式运算，三角形面积计算，公式代入求值
【点评】
本题结合古代数学研究成果命题，既考查对新公式的理解应用能力，也考查二次根式的化简计算能力，根据题目数据特征选择合适的公式可大幅降低计算量，解题时要注意先观察数据特点再选择方法。
【难度系数】
0.7
本题给出了两种已知三角形三边长求面积的公式，解题时可根据边长的特点选择更简便的公式代入计算。(1)中三角形三边均为整数，选用海伦公式更简便：先求出半周长p，再将p和三边长代入海伦公式，最后化简二次根式得到面积；(2)中三角形三边均为二次根式，平方后为整数，选用秦九韶公式更简便：先求出三边长的平方，再代入秦九韶公式，化简二次根式即可得到面积。
【解析】
(1) 设三角形三边长$a=3,b=5,c=6$，
先计算半周长 $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3+5+6}{2}=7$，
代入海伦公式得：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{7×(7-3)×(7-5)×(7-6)}$
$=\sqrt{7×4×2×1}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$。
(2) 设三角形三边长$a=\sqrt{3},b=\sqrt{5},c=\sqrt{6}$，
先计算各边的平方：$a^2=3,b^2=5,c^2=6$，
代入秦九韶公式得：
$S=\sqrt{\frac{1}{4}×[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}×[3×5-(\frac{3+5-6}{2})^2]}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}×(15-1)}=\sqrt{\frac{14}{4}}=\frac{\sqrt{14}}{2}$。
【答案】
(1) $2\sqrt{14}$；(2) $\frac{\sqrt{14}}{2}$
【知识点】
二次根式运算，三角形面积计算，公式代入求值
【点评】
本题结合古代数学研究成果命题，既考查对新公式的理解应用能力，也考查二次根式的化简计算能力，根据题目数据特征选择合适的公式可大幅降低计算量，解题时要注意先观察数据特点再选择方法。
【难度系数】
0.7
