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13.先化简,再求值:$2(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})-a(a-6)+6$,其中 $a=\sqrt{2}-1$.
答案
13.解:原式=$2(a^2-3)-a^2+6a+6=2a^2-6-a^2+6a+6=a^2+6a$.当$a=\sqrt{2}-1$时,原式=$(\sqrt{2}-1)^2+6×(\sqrt{2}-1)=4\sqrt{2}-3$.
解析
【分析】
本题是整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简整式，观察到式子中含有$(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})$，符合平方差公式的形式，优先用平方差公式计算该部分，再根据单项式乘多项式的法则展开后面的项，注意去括号时的符号变化，最后合并同类项得到最简结果；第二步将$a=\sqrt{2}-1$代入最简式，利用完全平方公式展开计算即可，先化简再代入能有效减少运算量，降低出错概率。
【解析】
首先利用平方差公式和整式运算法则化简原式：
$\begin{aligned}原式&=2[a^2-(\sqrt{3})^2] - a^2 + 6a + 6\\&=2(a^2 - 3) - a^2 + 6a + 6\\&=2a^2 - 6 - a^2 + 6a + 6\\&=a^2 + 6a\end{aligned}$
再将$a=\sqrt{2}-1$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{2}-1)^2 + 6×(\sqrt{2}-1)\\&=(\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×1 + 1^2 + 6\sqrt{2} - 6\\&=2 - 2\sqrt{2} + 1 + 6\sqrt{2} - 6\\&=4\sqrt{2} - 3\end{aligned}$
【答案】
$4\sqrt{2}-3$
【知识点】
平方差公式、整式化简、二次根式运算
【点评】
本题属于基础运算题型，重点考察乘法公式的灵活运用以及整式、二次根式的运算规则，熟练掌握平方差、完全平方公式能大幅提升解题效率，避免直接代入原式带来的复杂计算。
【难度系数】
0.75
本题是整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简整式，观察到式子中含有$(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})$，符合平方差公式的形式，优先用平方差公式计算该部分，再根据单项式乘多项式的法则展开后面的项，注意去括号时的符号变化，最后合并同类项得到最简结果；第二步将$a=\sqrt{2}-1$代入最简式，利用完全平方公式展开计算即可，先化简再代入能有效减少运算量，降低出错概率。
【解析】
首先利用平方差公式和整式运算法则化简原式：
$\begin{aligned}原式&=2[a^2-(\sqrt{3})^2] - a^2 + 6a + 6\\&=2(a^2 - 3) - a^2 + 6a + 6\\&=2a^2 - 6 - a^2 + 6a + 6\\&=a^2 + 6a\end{aligned}$
再将$a=\sqrt{2}-1$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{2}-1)^2 + 6×(\sqrt{2}-1)\\&=(\sqrt{2})^2 - 2×\sqrt{2}×1 + 1^2 + 6\sqrt{2} - 6\\&=2 - 2\sqrt{2} + 1 + 6\sqrt{2} - 6\\&=4\sqrt{2} - 3\end{aligned}$
【答案】
$4\sqrt{2}-3$
【知识点】
平方差公式、整式化简、二次根式运算
【点评】
本题属于基础运算题型，重点考察乘法公式的灵活运用以及整式、二次根式的运算规则，熟练掌握平方差、完全平方公式能大幅提升解题效率，避免直接代入原式带来的复杂计算。
【难度系数】
0.75
14. 若式子$\sqrt{-\dfrac{1}{x}}$有意义，则点$(x,\sqrt{-x})$在 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
14.B
解析
【分析】
要判断点所在的象限，需先确定点的横、纵坐标的符号，因此首先要根据二次根式、分式有意义的条件求出x的取值范围，再据此判断横坐标x和纵坐标$\sqrt{-x}$的正负，最后结合各象限点的坐标特征得出结论。
【解析】
要使式子$\sqrt{-\dfrac{1}{x}}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$-\dfrac{1}{x}≥0$；
2. 分式的分母不为0：$x≠0$。
由$-\dfrac{1}{x}≥0$可得$\dfrac{1}{x}≤0$，结合$x≠0$，可推出$x＜0$。
因为$x＜0$，所以$-x＞0$，因此$\sqrt{-x}$是正数，即点$(x,\sqrt{-x})$的横坐标为负，纵坐标为正。
根据平面直角坐标系各象限点的坐标特征：横坐标负、纵坐标正的点在第二象限，因此该点在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础综合题，将代数式有意义的判定与象限坐标特征结合考查，解题的核心是先准确推导x的取值范围，再判断横纵坐标的符号，只要熟练掌握相关基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要判断点所在的象限，需先确定点的横、纵坐标的符号，因此首先要根据二次根式、分式有意义的条件求出x的取值范围，再据此判断横坐标x和纵坐标$\sqrt{-x}$的正负，最后结合各象限点的坐标特征得出结论。
【解析】
要使式子$\sqrt{-\dfrac{1}{x}}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 二次根式的被开方数非负：$-\dfrac{1}{x}≥0$；
2. 分式的分母不为0：$x≠0$。
由$-\dfrac{1}{x}≥0$可得$\dfrac{1}{x}≤0$，结合$x≠0$，可推出$x＜0$。
因为$x＜0$，所以$-x＞0$，因此$\sqrt{-x}$是正数，即点$(x,\sqrt{-x})$的横坐标为负，纵坐标为正。
根据平面直角坐标系各象限点的坐标特征：横坐标负、纵坐标正的点在第二象限，因此该点在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础综合题，将代数式有意义的判定与象限坐标特征结合考查，解题的核心是先准确推导x的取值范围，再判断横纵坐标的符号，只要熟练掌握相关基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
15. 已知 $m=(-3\sqrt{15}) × (-\sqrt{\dfrac{1}{3}})$，则有（
A.$-6 ＜ m ＜ -5$
B.$5 ＜ m ＜ 6$
C.$-7 ＜ m ＜ -6$
D.$6 ＜ m ＜ 7$
D
）A.$-6 ＜ m ＜ -5$
B.$5 ＜ m ＜ 6$
C.$-7 ＜ m ＜ -6$
D.$6 ＜ m ＜ 7$
答案
15.D
解析
【分析】
解题时首先利用二次根式的乘法法则计算出m的化简结果，再通过估算无理数的大小确定m的取值范围，进而匹配正确选项。具体步骤：第一步，根据“负负得正”确定符号，再将系数相乘、被开方数相乘，化简m的表达式；第二步，将化简后的根式转化为形如√a的形式，找到a介于哪两个相邻正整数的平方之间，即可确定m的范围。
【解析】
先计算m的值：
$\begin{aligned}m&=(-3\sqrt{15}) × (-\sqrt{\frac{1}{3}})\\&=3 × \sqrt{15 × \frac{1}{3}} \quad \mathrm{（负负得正，二次根式乘法法则：}\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab},a≥0,b≥0\mathrm{）}\\&=3\sqrt{5}\\&=\sqrt{3^2 × 5}\\&=\sqrt{45}\end{aligned}$
再估算√45的范围：
因为$6^2=36$，$7^2=49$，且$36＜45＜49$，所以$\sqrt{36}＜\sqrt{45}＜\sqrt{49}$，即$6＜m＜7$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的乘法运算；无理数的大小估算
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考查二次根式的乘法计算规则和无理数估算的方法，熟练掌握二次根式的运算性质是快速解题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用二次根式的乘法法则计算出m的化简结果，再通过估算无理数的大小确定m的取值范围，进而匹配正确选项。具体步骤：第一步，根据“负负得正”确定符号，再将系数相乘、被开方数相乘，化简m的表达式；第二步，将化简后的根式转化为形如√a的形式，找到a介于哪两个相邻正整数的平方之间，即可确定m的范围。
【解析】
先计算m的值：
$\begin{aligned}m&=(-3\sqrt{15}) × (-\sqrt{\frac{1}{3}})\\&=3 × \sqrt{15 × \frac{1}{3}} \quad \mathrm{（负负得正，二次根式乘法法则：}\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab},a≥0,b≥0\mathrm{）}\\&=3\sqrt{5}\\&=\sqrt{3^2 × 5}\\&=\sqrt{45}\end{aligned}$
再估算√45的范围：
因为$6^2=36$，$7^2=49$，且$36＜45＜49$，所以$\sqrt{36}＜\sqrt{45}＜\sqrt{49}$，即$6＜m＜7$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的乘法运算；无理数的大小估算
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考查二次根式的乘法计算规则和无理数估算的方法，熟练掌握二次根式的运算性质是快速解题的核心。
【难度系数】
0.7
16. 我们可以用平方之后再开方的方法来化简一些有特点的式子，如：对于$\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}$，设$x=\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}$，易知$\sqrt{3+\sqrt{5}}＞\sqrt{3-\sqrt{5}}$，故$x＞0$，由$x^2=(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}})^2=3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}-2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}=2$，解得$x=\sqrt{2}$，即$\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{2}$。根据以上方法，化简$\sqrt{6+3\sqrt{3}}-\sqrt{6-3\sqrt{3}}$的结果为（
A.$\sqrt{6}$
B.$-12$
C.$-\sqrt{6}$
D.$-6\sqrt{3}$
A
）A.$\sqrt{6}$
B.$-12$
C.$-\sqrt{6}$
D.$-6\sqrt{3}$
答案
16.A
解析
【分析】
本题属于材料模仿类题型，解题时可参照题干给出的化简方法：第一步先设待化简的式子为x，先根据二次根式的性质判断x的正负性，确定后续开方时的符号；第二步对x两边同时平方，利用完全平方公式展开，再结合平方差公式计算根号内的乘积，化简得到x²的值；第三步对x²开平方，结合x的正负性取符合要求的根即可得到结果。
【解析】
设$ x=\sqrt{6+3\sqrt{3}}-\sqrt{6-3\sqrt{3}} $，
因为$ 6+3\sqrt{3} ＞ 6-3\sqrt{3} ＞ 0 $，所以$ \sqrt{6+3\sqrt{3}} ＞ \sqrt{6-3\sqrt{3}} $，即$ x＞0 $。
对$ x $两边平方得：
$\begin{aligned}x^2&=(\sqrt{6+3\sqrt{3}}-\sqrt{6-3\sqrt{3}})^2\\&=(\sqrt{6+3\sqrt{3}})^2 + (\sqrt{6-3\sqrt{3}})^2 - 2×\sqrt{(6+3\sqrt{3})(6-3\sqrt{3})}\\&=6+3\sqrt{3} + 6-3\sqrt{3} - 2×\sqrt{6^2 - (3\sqrt{3})^2}\\&=12 - 2×\sqrt{36 - 27}\\&=12 - 2×\sqrt{9}\\&=12 - 2×3\\&=6\end{aligned}$
因为$ x＞0 $，所以$ x=\sqrt{6} $。
【答案】
A
【知识点】
二次根式化简，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查阅读材料理解与二次根式运算的结合，解题关键是读懂题干给出的化简思路，特别注意平方后开方时要先判断原式的符号，避免选错符号导致错误。
【难度系数】
0.7
本题属于材料模仿类题型，解题时可参照题干给出的化简方法：第一步先设待化简的式子为x，先根据二次根式的性质判断x的正负性，确定后续开方时的符号；第二步对x两边同时平方，利用完全平方公式展开，再结合平方差公式计算根号内的乘积，化简得到x²的值；第三步对x²开平方，结合x的正负性取符合要求的根即可得到结果。
【解析】
设$ x=\sqrt{6+3\sqrt{3}}-\sqrt{6-3\sqrt{3}} $，
因为$ 6+3\sqrt{3} ＞ 6-3\sqrt{3} ＞ 0 $，所以$ \sqrt{6+3\sqrt{3}} ＞ \sqrt{6-3\sqrt{3}} $，即$ x＞0 $。
对$ x $两边平方得：
$\begin{aligned}x^2&=(\sqrt{6+3\sqrt{3}}-\sqrt{6-3\sqrt{3}})^2\\&=(\sqrt{6+3\sqrt{3}})^2 + (\sqrt{6-3\sqrt{3}})^2 - 2×\sqrt{(6+3\sqrt{3})(6-3\sqrt{3})}\\&=6+3\sqrt{3} + 6-3\sqrt{3} - 2×\sqrt{6^2 - (3\sqrt{3})^2}\\&=12 - 2×\sqrt{36 - 27}\\&=12 - 2×\sqrt{9}\\&=12 - 2×3\\&=6\end{aligned}$
因为$ x＞0 $，所以$ x=\sqrt{6} $。
【答案】
A
【知识点】
二次根式化简，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查阅读材料理解与二次根式运算的结合，解题关键是读懂题干给出的化简思路，特别注意平方后开方时要先判断原式的符号，避免选错符号导致错误。
【难度系数】
0.7
