1. 下列二次根式中，不是最简二次根式的是 （）

A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{10}$

1.C

【分析】
解题前首先要明确最简二次根式的两个判定条件：一是被开方数的因数是整数，二是被开方数不含能开得尽方的因数。接下来我们只需要逐一验证每个选项是否同时满足这两个条件，不满足的即为题目要求的选项。
【解析】
最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们对各选项逐一判断：
选项A：$\sqrt{2}$的被开方数2是整数，且没有能开得尽方的因数，属于最简二次根式，不符合题意；
选项B：$\sqrt{6}$的被开方数6可分解为$2×3$，两个因数都不能开得尽方，属于最简二次根式，不符合题意；
选项C：$\sqrt{8}$的被开方数8可分解为$4×2$，其中4是能开得尽方的因数（$\sqrt{4}=2$），因此$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不属于最简二次根式，符合题意；
选项D：$\sqrt{10}$的被开方数10可分解为$2×5$，两个因数都不能开得尽方，属于最简二次根式，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式的判定；二次根式的化简
【点评】
本题是基础题型，核心考查对最简二次根式概念的理解，牢记判定标准就能快速得出答案，是二次根式模块的常考基础题。
【难度系数】
0.9

2. 若$\sqrt{x-4}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是（）

A.$x＜4$
B.$x≥4$
C.$x＞4$
D.$x≥0$

2.B

【分析】
要确定二次根式在实数范围内有意义时自变量的取值范围，首先要明确二次根式的成立条件：只有被开方数为非负数时，二次根式才有意义。本题中我们只需让根号内的表达式$x-4$大于等于0，解出该不等式即可得到$x$的取值范围，再匹配对应选项即可。
【解析】
解：根据二次根式的性质，$\sqrt{a}$在实数范围内有意义的条件为被开方数$a≥0$。
本题中被开方数为$x-4$，因此列不等式：
$x-4≥0$
解得$x≥4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要围绕二次根式的性质命题，只要牢记被开方数非负的核心要求，就能快速列式求解。
【难度系数】
0.9

3. 将$\sqrt{3 × 8}$化简，正确的结果是 （）

A.$6\sqrt{2}$
B.$\pm6\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{6}$
D.$\pm2\sqrt{6}$

3.C

【分析】
本题考查二次根式的化简，解题思路如下：①首先明确算术平方根的结果为非负数，因此可直接排除带有正负号的错误选项；②再利用二次根式的乘法性质，将被开方数分解出完全平方因数，逐步化简即可得到正确结果。
【解析】
首先，$\sqrt{3×8}$表示$3×8$的算术平方根，算术平方根的结果是非负数，因此直接排除带有$\pm$的B、D选项。
计算被开方数：$3×8=24$，即原式=$\sqrt{24}$。
将24拆分为完全平方数和剩余因数的乘积：$24=4×6$，其中$4=2^2$是完全平方数。
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=\sqrt{4}×\sqrt{6}=2\sqrt{6}$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 算术平方根的非负性 2. 二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题型，解题的关键是先明确算术平方根的非负性排除干扰选项，再正确拆分被开方数中的完全平方因数即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

4. 下列计算正确的是（）

A.$\sqrt{2} × \sqrt{5} = \sqrt{10}$
B.$\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$
C.$\sqrt{8} - \sqrt{2} = 2$
D.$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = 4$

4.A

【分析】
这道题考查二次根式的四则运算，解题思路是先牢记二次根式的运算规则：1.乘除运算：$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$；2.加减运算：只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，运算前先把二次根式化为最简二次根式，再逐一验证每个选项的计算是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{2×5}=\sqrt{10}$，计算正确。
选项B：$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，计算错误。
选项C：先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，则$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}≠2$，计算错误。
选项D：根据二次根式除法法则，$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{8÷2}=\sqrt{4}=2≠4$，计算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的运算；二次根式的化简；同类二次根式
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查对二次根式运算法则的掌握程度，做题时注意加减运算前要先化简二次根式，判断是否为同类二次根式后再合并，乘除运算直接按法则计算即可。
【难度系数】
0.85

5.如果最简二次根式$\sqrt{a+2}$与$\sqrt{12}$能够合并，那么$a$的值为 （）

A.1
B.2
C.4
D.10

5.A

【分析】
解题的核心是理解“能够合并的二次根式是同类二次根式”这一概念。思考步骤如下：①首先明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，同类二次根式可以合并；②题目已说明$\sqrt{a+2}$是最简二次根式，因此需要先将$\sqrt{12}$化为最简二次根式；③根据同类二次根式被开方数相等的性质列方程，求解即可得到a的值。
【解析】
第一步：化简$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
第二步：根据题意分析，最简二次根式$\sqrt{a+2}$与$\sqrt{12}$能合并，说明二者是同类二次根式，因此它们的被开方数相等，可列方程：
$a+2=3$
第三步：解方程得：
$a=3-2=1$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的化简；同类二次根式的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握同类二次根式的判定规则，注意要先把非最简的二次根式化为最简形式，再判断被开方数是否相同。
【难度系数】
0.8

6.若$\sqrt{5} · \sqrt{n}$的值是整数，则$n$的值可以是（）

A.25
B.20
C.15
D.2

6.B

【分析】
解题首先回忆二次根式的乘法运算法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），据此先将原式合并为一个二次根式。若二次根式的计算结果是整数，说明被开方数是完全平方数（即能开得尽方的正整数）。接下来只需将各选项的n值代入，计算5n是否为完全平方数即可判断选项是否符合要求。
【解析】
根据二次根式乘法法则可得：$\sqrt{5}·\sqrt{n}=\sqrt{5n}$
已知$\sqrt{5}·\sqrt{n}$的值是整数，因此$5n$必须是正的完全平方数，逐一验证选项：
选项A：当$n=25$时，$5n=5×25=125$，125不是完全平方数，$\sqrt{125}=5\sqrt{5}$不是整数，不符合要求；
选项B：当$n=20$时，$5n=5×20=100$，100是完全平方数，$\sqrt{100}=10$是整数，符合要求；
选项C：当$n=15$时，$5n=5×15=75$，75不是完全平方数，$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$不是整数，不符合要求；
选项D：当$n=2$时，$5n=5×2=10$，10不是完全平方数，$\sqrt{10}$不是整数，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法运算；完全平方数判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的运算性质，解题的关键是将原式化简后明确被开方数需为完全平方数，熟练掌握二次根式的运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8

7.若实数$a,b$在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简$\sqrt{4a^2}+2|a+b|$的结果为（）


A.$4a-2b$
B.$-2a+b$
C.$-2b$
D.$-4a-2b$

7.D

【分析】首先根据数轴判断数的大小关系：数轴上左侧的数小于右侧的数，可得$a＜0＜b$，且$a$到原点的距离大于$b$到原点的距离，即$|a|＞|b|$，由此可推出$a+b＜0$。再结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$、绝对值的化简规则（负数的绝对值是它的相反数），逐步对代数式化简即可得到结果。
【解析】解：由数轴可知$a＜0＜b$，且$|a|＞|b|$，
$\therefore a+b＜0$，
根据二次根式的性质：$\sqrt{4a^2}=\sqrt{(2a)^2}=|2a|$，
$\because a＜0$，$\therefore |2a|=-2a$，
根据绝对值的性质：$|a+b|=-(a+b)=-a-b$，
$\begin{aligned}\therefore\mathrm{原式}&=|2a|+2|a+b|\\&=-2a+2×(-a-b)\\&=-2a-2a-2b\\&=-4a-2b\end{aligned}$
【答案】D
【知识点】数轴的应用；二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】本题需要先结合数轴判断代数式的正负性，再利用相关性质化简，解题的核心是准确判断绝对值内表达式的正负。
【难度系数】0.7

8. 计算：$\sqrt{27} + \sqrt{12} =$ .

8.$5\sqrt{3}$

【分析】
要计算二次根式的加法，需遵循二次根式加减的运算规则：第一步先将每个二次根式化为最简二次根式，第二步合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式），合并时和合并同类项逻辑一致，仅将系数相加，被开方数保持不变。本题中先拆分两个根式的被开方数，找出其中能开得尽方的因数，分别化简后再合并即可得出结果。
【解析】
解：原式$=\sqrt{9×3}+\sqrt{4×3}$
$=\sqrt{9}×\sqrt{3}+\sqrt{4}×\sqrt{3}$
$=3\sqrt{3}+2\sqrt{3}$
$=(3+2)\sqrt{3}$
$=5\sqrt{3}$
【答案】
$5\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的加减运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考查最简二次根式的化简方法和同类二次根式的合并规则，熟练掌握常见正整数的因数拆分，计算时仔细认真即可轻松得分。
【难度系数】
0.9

9. 比较大小：$2\sqrt{3}$ $\sqrt{13}$（填“＞”“＜”或“=”）。

9.＜

【分析】
要比较两个正的二次根式的大小，可利用“两个正数比较大小，平方大的数本身也大”的性质，将两个数分别平方后去掉根号，转化为比较整数的大小，计算更简单，也符合现阶段二次根式的运算规则。
【解析】
∵ 要比较的两个数均为正数，可通过比较平方的大小判断原数的大小
分别计算两个数的平方：
$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 × (\sqrt{3})^2 = 4 × 3 = 12$
$(\sqrt{13})^2 = 13$
∵ $12 ＜ 13$
∴ $2\sqrt{3} ＜ \sqrt{13}$
【答案】
＜
【知识点】
1. 二次根式的运算
2. 实数大小比较
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题型，平方法是解决带根号正数比较大小问题的常用方法，使用该方法时需要注意前提是两个比较的数都为正数。
【难度系数】
0.85

10.若$\sqrt{(x+2)^2} + |y - 3| = 0$，则$x - y$的值为.

10.$-5$

【分析】
解题时先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，可将原式中$\sqrt{(x+2)^2}$化简为$|x+2|$，此时式子变为两个绝对值相加等于0。再结合绝对值的非负性可知，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列出方程求出x、y的值，最后代入$x-y$计算即可。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{(x+2)^2}=|x+2|$，因此原式转化为：
$|x+2| + |y - 3| = 0$
∵ 绝对值的运算结果为非负数，即$|x+2|≥0$，$|y-3|≥0$
∴ 两个非负数的和为0时，需满足每个非负数均为0，即：
$\begin{cases}x+2=0 \\ y-3=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=-2 \\ y=3\end{cases}$
将$x=-2$，$y=3$代入$x-y$得：
$x-y=-2-3=-5$
【答案】
$-5$
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的非负性、代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查非负性质的应用，解题关键是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0”的规律，熟练掌握该规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8

11. 已知$x=\sqrt{3}+1$，$y=\sqrt{3}-1$，则代数式$x^2 - y^2$的值为。

11.$4\sqrt{3}$

【分析】
观察所求代数式$x^2-y^2$的结构，符合平方差公式的形式，优先利用平方差公式将其因式分解为$(x+y)(x-y)$，能避免分别计算$x^2$、$y^2$的繁琐步骤。接下来先分别求出$x+y$与$x-y$的值，再将两个结果相乘即可得到最终答案。
【解析】
解：根据平方差公式对代数式变形：
$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$
代入$x=\sqrt{3}+1$，$y=\sqrt{3}-1$，先计算$x+y$：
$x+y = (\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3}$
再计算$x-y$：
$x-y = (\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1) = 2$
将上述结果代入变形后的式子：
$x^2 - y^2 = 2\sqrt{3} × 2 = 4\sqrt{3}$
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
平方差公式，二次根式运算，代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，巧用因式分解对所求式子变形，能简化计算过程、降低出错概率，是求解这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.85

12. 计算：
(1) $(2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)$；
(2) $(\sqrt{6}-2\sqrt{15})×\sqrt{3}-6\sqrt{\dfrac{1}{2}}$；
(3) $(\sqrt{3}-1)^2+(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$；
(4) $\sqrt{\dfrac{2}{3}}×\sqrt{\dfrac{27}{8}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}÷\sqrt{\dfrac{1}{18}}-(\sqrt{3}+1)^2$。

12.解:(1)原式=$2\sqrt{3}-4+3-2\sqrt{3}=-1$.
(2)原式=$\sqrt{6×3}-2\sqrt{15×3}-3\sqrt{2}=3\sqrt{2}-6\sqrt{5}-3\sqrt{2}=-6\sqrt{5}$.
(3)原式=$3-2\sqrt{3}+1+4-3=5-2\sqrt{3}$.
(4)原式=$\sqrt{\frac{2}{3}×\frac{27}{8}}+\sqrt{\frac{3}{2}×18}-(3+2\sqrt{3}+1)=\frac{3}{2}+3\sqrt{3}-3-2\sqrt{3}-1=\sqrt{3}-\frac{5}{2}$.

【分析】
这组题目属于二次根式的混合运算，解题时遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号优先计算括号内”的运算顺序，优先观察式子结构，判断是否可使用平方差公式、完全平方公式简化运算，运算过程中先将二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可。
(1) 式子符合平方差公式的结构特征，也可直接用多项式乘多项式法则展开后合并；
(2) 先用乘法分配律计算乘法，再化简各个二次根式，最后合并同类二次根式；
(3) 前半部分用完全平方公式展开，后半部分用平方差公式计算，再合并结果；
(4) 先分别计算二次根式的乘除、完全平方，化简后再合并同类项和同类二次根式。
【解析】
(1) 原式$=2\sqrt{3}-4+3-2\sqrt{3}=-1$
(2) 原式$=\sqrt{6×3}-2\sqrt{15×3}-3\sqrt{2}=3\sqrt{2}-6\sqrt{5}-3\sqrt{2}=-6\sqrt{5}$
(3) 原式$=3-2\sqrt{3}+1+4-3=5-2\sqrt{3}$
(4) 原式$=\sqrt{\frac{2}{3}×\frac{27}{8}}+\sqrt{\frac{3}{2}×18}-(3+2\sqrt{3}+1)=\frac{3}{2}+3\sqrt{3}-3-2\sqrt{3}-1=\sqrt{3}-\frac{5}{2}$
【答案】
(1) $\boxed{-1}$；(2) $\boxed{-6\sqrt{5}}$；(3) $\boxed{5-2\sqrt{3}}$；(4) $\boxed{\sqrt{3}-\dfrac{5}{2}}$
【知识点】
二次根式混合运算，乘法公式应用，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础常规题，重点考查运算规则的掌握程度，灵活运用乘法公式可有效降低计算量，解题时需注意运算过程中的符号问题，以及二次根式化简的规范性，避免出现低级计算错误。
【难度系数】
0.75