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12 将四张正方形纸片①②③④按如图所示的方式放入长方形ABCD内(相邻纸片之间互不重叠也无缝隙),将未被四张正方形纸片覆盖的部分涂色,要求出图中两块涂色部分的周长之差,只需知道其中一张正方形纸片的边长即可,则要知道边长的那张正方形纸片的编号是 (
A.①
B.②
C.③
D.④
A
)A.①
B.②
C.③
D.④
答案
12. A 【解析】设正方形纸片①②③的边长分别为$a,b,c$,则左上角涂色部分的周长为$2(AB-c+AD-b)$,右下角涂色部分的周长为$2(AB-a-b+AD-c)$,所以两块涂色部分的周长之差为$2(AB-c+AD-b)-2(AB-a-b+AD-c)=2AB-2c+2AD-2b-2AB+2a+2b-2AD+2c=2a$. 所以要求出题图中两块涂色部分的周长之差,只需知道正方形纸片①的边长即可.
解析
【分析】
要计算两块涂色部分的周长差，我们可以先通过设字母表示出各个正方形的边长、长方形的长和宽，再分别用这些字母表示出两块涂色区域的周长，再将两个周长相减并化简，观察化简结果仅和哪个正方形的边长有关，就能确定需要知道边长的正方形纸片。
【解析】
设正方形纸片①的边长为$a$，正方形②的边长为$b$，正方形③的边长为$c$，长方形$ABCD$的长为$AB$、宽为$AD$。
1. 表示左上角涂色部分的周长：观察图形可得，其周长为$2[(AB - c)+(AD - b)]$；
2. 表示右下角涂色部分的周长：观察图形可得，其周长为$2[(AB - a - b)+(AD - c)]$；
3. 计算周长差：
$\begin{aligned}&2(AB - c + AD - b) - 2(AB - a - b + AD - c)\\=&2AB - 2c + 2AD - 2b - 2AB + 2a + 2b - 2AD + 2c\\=&2a\end{aligned}$
可知周长差仅和正方形①的边长有关，因此只需知道正方形①的边长即可。
【答案】
A
【知识点】
1.用字母表示数 2.整式的加减 3.图形周长计算
【点评】
本题结合了几何周长计算和代数整式化简的知识，解题关键是准确用字母表示出两块涂色部分的周长，通过化简消去公共未知量即可得到结论，能很好地考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.65
要计算两块涂色部分的周长差，我们可以先通过设字母表示出各个正方形的边长、长方形的长和宽，再分别用这些字母表示出两块涂色区域的周长，再将两个周长相减并化简，观察化简结果仅和哪个正方形的边长有关，就能确定需要知道边长的正方形纸片。
【解析】
设正方形纸片①的边长为$a$，正方形②的边长为$b$，正方形③的边长为$c$，长方形$ABCD$的长为$AB$、宽为$AD$。
1. 表示左上角涂色部分的周长：观察图形可得，其周长为$2[(AB - c)+(AD - b)]$；
2. 表示右下角涂色部分的周长：观察图形可得，其周长为$2[(AB - a - b)+(AD - c)]$；
3. 计算周长差：
$\begin{aligned}&2(AB - c + AD - b) - 2(AB - a - b + AD - c)\\=&2AB - 2c + 2AD - 2b - 2AB + 2a + 2b - 2AD + 2c\\=&2a\end{aligned}$
可知周长差仅和正方形①的边长有关，因此只需知道正方形①的边长即可。
【答案】
A
【知识点】
1.用字母表示数 2.整式的加减 3.图形周长计算
【点评】
本题结合了几何周长计算和代数整式化简的知识，解题关键是准确用字母表示出两块涂色部分的周长，通过化简消去公共未知量即可得到结论，能很好地考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.65
13 若单项式$-x^{3}y^{n+5}$的系数是$m$，次数是9，则$m+n$的值为
0
。答案
13. 0
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确单项式的系数和次数的定义：单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。我们可以先根据定义分别求出m和n的值，再代入计算m+n的结果。
【解析】
1. 求系数$m$：单项式$-x^{3}y^{n+5}$的数字因数是$-1$，因此$m=-1$。
2. 求$n$的值：单项式的次数是所有字母的指数和，已知该单项式次数为9，$x$的指数是3，$y$的指数是$n+5$，因此可列方程：
$3 + (n+5) = 9$
化简得：$n + 8 = 9$
解得：$n=1$
3. 计算$m+n$：将$m=-1$，$n=1$代入得，$m+n=-1+1=0$。
【答案】
0
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数；代数式求值
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是准确掌握单项式系数和次数的定义，特别注意单项式的系数要包含前面的符号，避免因忽略符号导致计算错误。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要明确单项式的系数和次数的定义：单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和。我们可以先根据定义分别求出m和n的值，再代入计算m+n的结果。
【解析】
1. 求系数$m$：单项式$-x^{3}y^{n+5}$的数字因数是$-1$，因此$m=-1$。
2. 求$n$的值：单项式的次数是所有字母的指数和，已知该单项式次数为9，$x$的指数是3，$y$的指数是$n+5$，因此可列方程：
$3 + (n+5) = 9$
化简得：$n + 8 = 9$
解得：$n=1$
3. 计算$m+n$：将$m=-1$，$n=1$代入得，$m+n=-1+1=0$。
【答案】
0
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数；代数式求值
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是准确掌握单项式系数和次数的定义，特别注意单项式的系数要包含前面的符号，避免因忽略符号导致计算错误。
【难度系数】
0.8
14 比c的3倍大5的数与比c的$\frac{1}{2}$小6的数的差为
$\dfrac{5}{2}c+11$
（写成最简形式）。答案
14. $\dfrac{5}{2}c+11$
解析
【分析】
解题时首先要根据题目的文字描述，分别把两个待求的数用含c的代数式表示出来，再按照“差=第一个数-第二个数”的关系列出算式，最后通过去括号、合并同类项的规则把算式化简为最简形式即可。要注意去括号时，如果括号前是负号，括号内每一项都要改变符号，避免符号错误。
【解析】
第一步：表示第一个数：c的3倍为3c，比它大5的数为 $3c + 5$；
第二步：表示第二个数：c的$\frac{1}{2}$为$\frac{1}{2}c$，比它小6的数为 $\frac{1}{2}c - 6$；
第三步：计算两个数的差，即第一个数减去第二个数：
$\begin{aligned}&(3c + 5) - (\frac{1}{2}c - 6)\\=&3c + 5 - \frac{1}{2}c + 6\\=&(3c - \frac{1}{2}c) + (5 + 6)\\=&\frac{5}{2}c + 11\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{5}{2}c+11$
【知识点】
列代数式、去括号、合并同类项
【点评】
本题核心考查根据文字描述转化为代数式并化简的能力，解题的关键是准确理解“大、小、差”等关键字的含义，正确列出运算式，去括号时注意符号变化，合并同类项时系数计算要准确。
【难度系数】
0.75
解题时首先要根据题目的文字描述，分别把两个待求的数用含c的代数式表示出来，再按照“差=第一个数-第二个数”的关系列出算式，最后通过去括号、合并同类项的规则把算式化简为最简形式即可。要注意去括号时，如果括号前是负号，括号内每一项都要改变符号，避免符号错误。
【解析】
第一步：表示第一个数：c的3倍为3c，比它大5的数为 $3c + 5$；
第二步：表示第二个数：c的$\frac{1}{2}$为$\frac{1}{2}c$，比它小6的数为 $\frac{1}{2}c - 6$；
第三步：计算两个数的差，即第一个数减去第二个数：
$\begin{aligned}&(3c + 5) - (\frac{1}{2}c - 6)\\=&3c + 5 - \frac{1}{2}c + 6\\=&(3c - \frac{1}{2}c) + (5 + 6)\\=&\frac{5}{2}c + 11\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{5}{2}c+11$
【知识点】
列代数式、去括号、合并同类项
【点评】
本题核心考查根据文字描述转化为代数式并化简的能力，解题的关键是准确理解“大、小、差”等关键字的含义，正确列出运算式，去括号时注意符号变化，合并同类项时系数计算要准确。
【难度系数】
0.75
15 若多项式$x^2+mx+3-(3x+1-nx^2)$的值与$x$的取值无关，则$-2mn+n$的值为
$-7$
.答案
15. $-7$
16 如图所示为一个运算程序的示意图，若开始输入$x$的值为625，则第2025次输出的结果为
5
。答案
16. 5 【解析】当$x=625$时,$\dfrac{1}{5}x=125$,即第1次输出的结果为125;当$x=125$时,$\dfrac{1}{5}x=25$,即第2次输出的结果为25;当$x=25$时,$\dfrac{1}{5}x=5$,即第3次输出的结果为5;当$x=5$时,$\dfrac{1}{5}x=1$,即第4次输出的结果为1;当$x=1$时,$x+4=5$,即第5次输出的结果为5;当$x=5$时,$\dfrac{1}{5}x=1$,即第6次输出的结果为1……以此类推,输出的结果从第3次开始以5,1两个数为一组循环,所以$(2025-2)÷2=1011······1$,即第2025次输出的结果为5.
解析
【分析】
解决这道题首先要按照给定的运算程序，逐步计算前几次的输出结果，观察结果的变化规律，找到循环的起始位置和循环周期，再通过带余除法判断第2025次输出结果对应循环中的数值。第一步先代入初始值按规则计算，直到出现重复结果确定循环规律；第二步利用周期计算目标次数对应的结果即可。
【解析】
我们逐步计算每次的输出结果：
1. 第1次输入$x=625$，$x≠1$，输出$\frac{1}{5}×625=125$；
2. 第2次输入$x=125$，$x≠1$，输出$\frac{1}{5}×125=25$；
3. 第3次输入$x=25$，$x≠1$，输出$\frac{1}{5}×25=5$；
4. 第4次输入$x=5$，$x≠1$，输出$\frac{1}{5}×5=1$；
5. 第5次输入$x=1$，输出$1+4=5$；
6. 第6次输入$x=5$，输出$\frac{1}{5}×5=1$；
……
观察可知，从第3次输出开始，结果以5、1两个数为一个周期循环出现。
先减去前2次未进入循环的次数：$2025-2=2023$，再计算2023除以周期2的结果：$2023÷2=1011······1$，余数为1，对应循环周期的第一个数。
【答案】
5
【知识点】
有理数运算，程序框图运算，规律探究
【点评】
本题结合运算程序考查规律探究能力，解题的核心是先准确计算前几次的输出结果，找到循环周期，再通过带余除法确定目标次数对应的结果，计算前几项时需细心，避免因计算错误找错循环规律。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要按照给定的运算程序，逐步计算前几次的输出结果，观察结果的变化规律，找到循环的起始位置和循环周期，再通过带余除法判断第2025次输出结果对应循环中的数值。第一步先代入初始值按规则计算，直到出现重复结果确定循环规律；第二步利用周期计算目标次数对应的结果即可。
【解析】
我们逐步计算每次的输出结果：
1. 第1次输入$x=625$，$x≠1$，输出$\frac{1}{5}×625=125$；
2. 第2次输入$x=125$，$x≠1$，输出$\frac{1}{5}×125=25$；
3. 第3次输入$x=25$，$x≠1$，输出$\frac{1}{5}×25=5$；
4. 第4次输入$x=5$，$x≠1$，输出$\frac{1}{5}×5=1$；
5. 第5次输入$x=1$，输出$1+4=5$；
6. 第6次输入$x=5$，输出$\frac{1}{5}×5=1$；
……
观察可知，从第3次输出开始，结果以5、1两个数为一个周期循环出现。
先减去前2次未进入循环的次数：$2025-2=2023$，再计算2023除以周期2的结果：$2023÷2=1011······1$，余数为1，对应循环周期的第一个数。
【答案】
5
【知识点】
有理数运算，程序框图运算，规律探究
【点评】
本题结合运算程序考查规律探究能力，解题的核心是先准确计算前几次的输出结果，找到循环周期，再通过带余除法确定目标次数对应的结果，计算前几项时需细心，避免因计算错误找错循环规律。
【难度系数】
0.6
17 如图①所示为某月的月历,每个涂色框中的4个数均满足“两条斜对角线上的两个数的和相等”.
探究过程:设涂色框左上角的数为$x$,则涂色框中的4个数的表示如图②所示.因为两条斜对角线上的两个数的和分别为$x+(x+8)=2x+8,(x+1)+(x+7)=2x+8$,所以$x+(x+8)=(x+1)+(x+7)$.所以涂色框中的4个数均满足“两条斜对角线上的两个数的和相等”.
(1) 请你根据上述的探究过程,猜测如图③所示的涂色框中的9个数的和与涂色框正中间的数有什么关系,并说明理由.
(2) 如图④所示的涂色框中的4个数有何数量关系?请说明理由.
探究过程:设涂色框左上角的数为$x$,则涂色框中的4个数的表示如图②所示.因为两条斜对角线上的两个数的和分别为$x+(x+8)=2x+8,(x+1)+(x+7)=2x+8$,所以$x+(x+8)=(x+1)+(x+7)$.所以涂色框中的4个数均满足“两条斜对角线上的两个数的和相等”.
(1) 请你根据上述的探究过程,猜测如图③所示的涂色框中的9个数的和与涂色框正中间的数有什么关系,并说明理由.
(2) 如图④所示的涂色框中的4个数有何数量关系?请说明理由.
答案
17. (1) 涂色框中的9个数的和是涂色框正中间的数的9倍
理由:设正中间的数为$x$,则其他数依次为$x-8,x-7,x-6,x-1,x+1,x+6,x+7,x+8$. 所以涂色框中的9个数的和为$(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)=9x$. 所以涂色框中的9个数的和是涂色框正中间的数的9倍.
(2) 左下角、右上角两个数的和与中间两个数的和相等 理由:设右上角的数为$x$,则其他数依次为$x-1$,$x+5$,$x+6$. 因为左下角和右上角两个数的和为$x+(x+5)=2x+5$,中间两个数的和为$(x-1)+(x+6)=2x+5$,所以$x+(x+5)=(x-1)+(x+6)$. 所以左下角、右上角两个数的和与中间两个数的和相等.
理由:设正中间的数为$x$,则其他数依次为$x-8,x-7,x-6,x-1,x+1,x+6,x+7,x+8$. 所以涂色框中的9个数的和为$(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)=9x$. 所以涂色框中的9个数的和是涂色框正中间的数的9倍.
(2) 左下角、右上角两个数的和与中间两个数的和相等 理由:设右上角的数为$x$,则其他数依次为$x-1$,$x+5$,$x+6$. 因为左下角和右上角两个数的和为$x+(x+5)=2x+5$,中间两个数的和为$(x-1)+(x+6)=2x+5$,所以$x+(x+5)=(x-1)+(x+6)$. 所以左下角、右上角两个数的和与中间两个数的和相等.
解析
【分析】
解决本题首先要明确月历中数字的排列规律：同一行中相邻两个数相差1，同一列中相邻两个数相差7。
(1) 探究3×3涂色框中9个数的和与中间数的关系时，可类比题干的探究方法，设正中间的数为$x$，根据月历数字规律用含$x$的代数式表示出其余8个数，再计算9个数的和，化简后即可得到和与中间数的数量关系。
(2) 探究图④中4个数的数量关系时，同样先设其中一个数为$x$，用含$x$的代数式表示出另外3个数，再分别计算斜对角两个数的和，比较即可得到数量关系。
【解析】
(1) 关系：涂色框中的9个数的和是涂色框正中间的数的9倍。
理由：设正中间的数为$x$，根据月历数字规律，其余8个数依次为$x-8,x-7,x-6,x-1,x+1,x+6,x+7,x+8$。
则9个数的和为：
$\begin{aligned}&(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)\\=&9x\end{aligned}$
因此涂色框中的9个数的和是正中间数的9倍。
(2) 关系：左下角、右上角两个数的和与中间两个数的和相等。
理由：设右上角的数为$x$，根据月历数字规律，其余3个数依次为$x-1$、$x+5$、$x+6$。
左下角和右上角两个数的和为：$x+(x+5)=2x+5$
中间两个数的和为：$(x-1)+(x+6)=2x+5$
因此$x+(x+5)=(x-1)+(x+6)$，即左下角、右上角两个数的和与中间两个数的和相等。
【答案】
(1) 涂色框中的9个数的和是涂色框正中间的数的9倍，理由见解析；
(2) 左下角、右上角两个数的和与中间两个数的和相等，理由见解析。
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；数字规律探究
【点评】
本题以月历为载体考查数字规律探究，解题的核心是掌握月历中数字的排列特征，通过设未知数、用代数式表示相关数字，再经过整式的加减运算化简即可验证数量关系，是规律探究类问题的典型题型。
【难度系数】
0.75
解决本题首先要明确月历中数字的排列规律：同一行中相邻两个数相差1，同一列中相邻两个数相差7。
(1) 探究3×3涂色框中9个数的和与中间数的关系时，可类比题干的探究方法，设正中间的数为$x$，根据月历数字规律用含$x$的代数式表示出其余8个数，再计算9个数的和，化简后即可得到和与中间数的数量关系。
(2) 探究图④中4个数的数量关系时，同样先设其中一个数为$x$，用含$x$的代数式表示出另外3个数，再分别计算斜对角两个数的和，比较即可得到数量关系。
【解析】
(1) 关系：涂色框中的9个数的和是涂色框正中间的数的9倍。
理由：设正中间的数为$x$，根据月历数字规律，其余8个数依次为$x-8,x-7,x-6,x-1,x+1,x+6,x+7,x+8$。
则9个数的和为：
$\begin{aligned}&(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)\\=&9x\end{aligned}$
因此涂色框中的9个数的和是正中间数的9倍。
(2) 关系：左下角、右上角两个数的和与中间两个数的和相等。
理由：设右上角的数为$x$，根据月历数字规律，其余3个数依次为$x-1$、$x+5$、$x+6$。
左下角和右上角两个数的和为：$x+(x+5)=2x+5$
中间两个数的和为：$(x-1)+(x+6)=2x+5$
因此$x+(x+5)=(x-1)+(x+6)$，即左下角、右上角两个数的和与中间两个数的和相等。
【答案】
(1) 涂色框中的9个数的和是涂色框正中间的数的9倍，理由见解析；
(2) 左下角、右上角两个数的和与中间两个数的和相等，理由见解析。
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；数字规律探究
【点评】
本题以月历为载体考查数字规律探究，解题的核心是掌握月历中数字的排列特征，通过设未知数、用代数式表示相关数字，再经过整式的加减运算化简即可验证数量关系，是规律探究类问题的典型题型。
【难度系数】
0.75
