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8 先化简,再求值:$3x^2 - [5x - 3(2x - 1) + 7x^2]$,其中 $x = -\dfrac{1}{2}$
答案
8. 原式$=-4x^2 +x -3$. 因为 $x = -\dfrac{1}{2}$, 所以原式$=-4×(-\dfrac{1}{2})^2 -\dfrac{1}{2}-3=-4\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
这是整式化简求值类题目，解题思路遵循“先化简，再求值”的原则，比直接代入原式计算更简便、准确率更高：第一步先去括号，按照先小括号后中括号的顺序操作，去括号时注意两点：一是括号前为负号时，去掉括号后括号内每一项都要变号；二是括号前有系数时，系数要乘遍括号内所有项，不能漏乘。第二步合并同类项，将同类项的系数相加得到最简整式。第三步将x的取值代入最简式，按有理数运算法则计算出最终结果即可。
【解析】
解：
第一步：去括号化简原式
$\begin{aligned}原式&=3x^2 - [5x - 3(2x - 1) + 7x^2]\\&=3x^2 - [5x - 6x + 3 + 7x^2]\\&=3x^2 - 5x + 6x - 3 - 7x^2\end{aligned}$
第二步：合并同类项
$原式=(3x^2 - 7x^2)+(-5x + 6x) - 3=-4x^2 + x - 3$
第三步：代入$x=-\dfrac{1}{2}$计算
$\begin{aligned}原式&=-4×(-\dfrac{1}{2})^2 + (-\dfrac{1}{2}) - 3\\&=-4×\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} - 3\\&=-1 - \dfrac{1}{2} - 3\\&=-4\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
$-4\dfrac{1}{2}$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题属于整式加减的基础题型，重点考察去括号的符号规则和合并同类项的方法，解题时需注意符号变化，避免出现漏乘、符号写错等计算失误。
【难度系数】
0.8
这是整式化简求值类题目，解题思路遵循“先化简，再求值”的原则，比直接代入原式计算更简便、准确率更高：第一步先去括号，按照先小括号后中括号的顺序操作，去括号时注意两点：一是括号前为负号时，去掉括号后括号内每一项都要变号；二是括号前有系数时，系数要乘遍括号内所有项，不能漏乘。第二步合并同类项，将同类项的系数相加得到最简整式。第三步将x的取值代入最简式，按有理数运算法则计算出最终结果即可。
【解析】
解：
第一步：去括号化简原式
$\begin{aligned}原式&=3x^2 - [5x - 3(2x - 1) + 7x^2]\\&=3x^2 - [5x - 6x + 3 + 7x^2]\\&=3x^2 - 5x + 6x - 3 - 7x^2\end{aligned}$
第二步：合并同类项
$原式=(3x^2 - 7x^2)+(-5x + 6x) - 3=-4x^2 + x - 3$
第三步：代入$x=-\dfrac{1}{2}$计算
$\begin{aligned}原式&=-4×(-\dfrac{1}{2})^2 + (-\dfrac{1}{2}) - 3\\&=-4×\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} - 3\\&=-1 - \dfrac{1}{2} - 3\\&=-4\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
$-4\dfrac{1}{2}$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式化简求值
【点评】
本题属于整式加减的基础题型，重点考察去括号的符号规则和合并同类项的方法，解题时需注意符号变化，避免出现漏乘、符号写错等计算失误。
【难度系数】
0.8
9 [2026 海安段测]已知$A=2a^2+3ab-2a-1$，$B=-a^2+12ab+2$。
（1）化简：$4A-(3A-2B)$；
（2）若（1）中式子的值与$a$的取值无关，求$b$的值。
（1）化简：$4A-(3A-2B)$；
（2）若（1）中式子的值与$a$的取值无关，求$b$的值。
答案
9. (1) 因为 $A=2a^2+3ab-2a-1$,$B=-a^2+12ab+2$,所以原式$=4A-3A+2B=A+2B=2a^2+3ab-2a-1+2(-a^2+12ab+2)=2a^2+3ab-2a-1-2a^2+24ab+4=27ab-2a+3$
(2) 由(1),得原式$=(27b-2)a+3$. 因为其值与 $a$ 的取值无关,所以 $27b-2=0$. 所以 $b=\dfrac{2}{27}$
(2) 由(1),得原式$=(27b-2)a+3$. 因为其值与 $a$ 的取值无关,所以 $27b-2=0$. 所以 $b=\dfrac{2}{27}$
解析
【分析】
（1）先对原式$4A-(3A-2B)$去括号、合并同类项，简化为$A+2B$，再将已知的A、B表达式代入，按照去括号、合并同类项的法则逐步计算即可；（2）若式子的值与$a$的取值无关，说明式子中含$a$的项的系数为0，将（1）的结果整理为关于$a$的一次式，令$a$的系数等于0，解关于$b$的一元一次方程即可求出$b$的值。
【解析】
（1）先化简原式：
$4A-(3A-2B)=4A-3A+2B=A+2B$
将$A=2a^2+3ab-2a-1$，$B=-a^2+12ab+2$代入得：
$\begin{aligned}原式&=2a^2+3ab-2a-1+2(-a^2+12ab+2)\\&=2a^2+3ab-2a-1-2a^2+24ab+4\\&=27ab-2a+3\end{aligned}$
（2）将（1）的结果变形为：
$27ab-2a+3=(27b-2)a+3$
∵式子的值与$a$的取值无关，
∴含$a$的项的系数为0，即：
$27b-2=0$
解得：$b=\dfrac{2}{27}$
【答案】
（1）$27ab-2a+3$；（2）$b=\dfrac{2}{27}$
【知识点】
整式的加减；代数式取值无关的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于整式运算的基础常考题，重点考查去括号、合并同类项的运算法则，以及对“代数式取值与某个字母无关”条件的理解，解题核心是明确与某字母无关即该字母的所有项的系数为0。
【难度系数】
0.7
（1）先对原式$4A-(3A-2B)$去括号、合并同类项，简化为$A+2B$，再将已知的A、B表达式代入，按照去括号、合并同类项的法则逐步计算即可；（2）若式子的值与$a$的取值无关，说明式子中含$a$的项的系数为0，将（1）的结果整理为关于$a$的一次式，令$a$的系数等于0，解关于$b$的一元一次方程即可求出$b$的值。
【解析】
（1）先化简原式：
$4A-(3A-2B)=4A-3A+2B=A+2B$
将$A=2a^2+3ab-2a-1$，$B=-a^2+12ab+2$代入得：
$\begin{aligned}原式&=2a^2+3ab-2a-1+2(-a^2+12ab+2)\\&=2a^2+3ab-2a-1-2a^2+24ab+4\\&=27ab-2a+3\end{aligned}$
（2）将（1）的结果变形为：
$27ab-2a+3=(27b-2)a+3$
∵式子的值与$a$的取值无关，
∴含$a$的项的系数为0，即：
$27b-2=0$
解得：$b=\dfrac{2}{27}$
【答案】
（1）$27ab-2a+3$；（2）$b=\dfrac{2}{27}$
【知识点】
整式的加减；代数式取值无关的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于整式运算的基础常考题，重点考查去括号、合并同类项的运算法则，以及对“代数式取值与某个字母无关”条件的理解，解题核心是明确与某字母无关即该字母的所有项的系数为0。
【难度系数】
0.7
10 现从A,B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A,B两个蔬菜市场各有蔬菜14 t，其中甲地需要蔬菜15 t，乙地需要蔬菜13 t. 从A蔬菜市场到甲地的运费为50元/t，到乙地的运费为30元/t；从B蔬菜市场到甲地的运费为60元/t，到乙地的运费为45元/t.
(1) 设A蔬菜市场向甲地运送蔬菜x t，请填写下表：
(2) 设总运费为W元，用含x的式子表示W.
(1) 设A蔬菜市场向甲地运送蔬菜x t，请填写下表：
(2) 设总运费为W元，用含x的式子表示W.
答案
10. (1) 填表如下：
| 蔬菜市场 | 运往甲地的质量/t | 运往乙地的质量/t |
| ---- | ---- | ---- |
| A | $x$ | $14-x$ |
| B | $15-x$ | $x-1$ |
(2) 由题意,得 $W=50x+30(14-x)+60(15-x)+45(x-1)=5x+1275$
| 蔬菜市场 | 运往甲地的质量/t | 运往乙地的质量/t |
| ---- | ---- | ---- |
| A | $x$ | $14-x$ |
| B | $15-x$ | $x-1$ |
(2) 由题意,得 $W=50x+30(14-x)+60(15-x)+45(x-1)=5x+1275$
解析
【分析】
(1) 填表需结合各市场蔬菜总量、两地蔬菜需求量推导各路线运输量：①A市场总共有14t蔬菜，运往甲地x t，用总质量减去运往甲地的质量即可得到A运往乙地的质量；②甲地共需15t蔬菜，减去A市场运到甲地的x t，剩余的需求量就是B市场运往甲地的质量；③B市场总共有14t蔬菜，减去其运往甲地的质量，即可得到B运往乙地的质量。
(2) 总运费是四条运输路线的运费之和，运费=每吨运费×运输质量，先分别写出四条路线的运费表达式，再相加后合并同类项化简，就能得到W关于x的代数式。
【解析】
(1) ①A运往乙地的质量：A市场总质量14t，运往甲地x t，因此运往乙地的质量为$\boxed{14-x}$ t；
②B运往甲地的质量：甲地共需15t，A已运x t，因此B运往甲地的质量为$\boxed{15-x}$ t；
③B运往乙地的质量：B市场总质量14t，运往甲地$(15-x)$ t，因此运往乙地的质量为$14-(15-x)=\boxed{x-1}$ t，据此完成填表。
(2) 总运费为四条路线运费的总和：
A到甲地运费：$50x$元，A到乙地运费：$30(14-x)$元，B到甲地运费：$60(15-x)$元，B到乙地运费：$45(x-1)$元，因此：
$\begin{aligned}W&=50x+30(14-x)+60(15-x)+45(x-1)\\&=50x+420-30x+900-60x+45x-45\\&=5x+1275\end{aligned}$
【答案】
(1)
| 蔬菜市场 | 运往甲地的质量/t | 运往乙地的质量/t |
| ---- | ---- | ---- |
| A | $x$ | $14-x$ |
| B | $15-x$ | $x-1$ |
(2) $W=5x+1275$
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；实际问题等量关系
【点评】
本题是典型的调运类应用题型，核心考查数量关系梳理能力和代数式化简能力，解题的关键是准确梳理各调运路线的运输质量，再结合运费公式计算即可，是整式章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 填表需结合各市场蔬菜总量、两地蔬菜需求量推导各路线运输量：①A市场总共有14t蔬菜，运往甲地x t，用总质量减去运往甲地的质量即可得到A运往乙地的质量；②甲地共需15t蔬菜，减去A市场运到甲地的x t，剩余的需求量就是B市场运往甲地的质量；③B市场总共有14t蔬菜，减去其运往甲地的质量，即可得到B运往乙地的质量。
(2) 总运费是四条运输路线的运费之和，运费=每吨运费×运输质量，先分别写出四条路线的运费表达式，再相加后合并同类项化简，就能得到W关于x的代数式。
【解析】
(1) ①A运往乙地的质量：A市场总质量14t，运往甲地x t，因此运往乙地的质量为$\boxed{14-x}$ t；
②B运往甲地的质量：甲地共需15t，A已运x t，因此B运往甲地的质量为$\boxed{15-x}$ t；
③B运往乙地的质量：B市场总质量14t，运往甲地$(15-x)$ t，因此运往乙地的质量为$14-(15-x)=\boxed{x-1}$ t，据此完成填表。
(2) 总运费为四条路线运费的总和：
A到甲地运费：$50x$元，A到乙地运费：$30(14-x)$元，B到甲地运费：$60(15-x)$元，B到乙地运费：$45(x-1)$元，因此：
$\begin{aligned}W&=50x+30(14-x)+60(15-x)+45(x-1)\\&=50x+420-30x+900-60x+45x-45\\&=5x+1275\end{aligned}$
【答案】
(1)
| 蔬菜市场 | 运往甲地的质量/t | 运往乙地的质量/t |
| ---- | ---- | ---- |
| A | $x$ | $14-x$ |
| B | $15-x$ | $x-1$ |
(2) $W=5x+1275$
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；实际问题等量关系
【点评】
本题是典型的调运类应用题型，核心考查数量关系梳理能力和代数式化简能力，解题的关键是准确梳理各调运路线的运输质量，再结合运费公式计算即可，是整式章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
11 设$A,B,C$均为多项式,小方同学在计算“$A-B$”时,误将符号抄错而计算成了“$A+B$”,得到的结果是$C$,其中$A=\frac{1}{2}x^2 + x -1$,$C=x^2 +2x$,那么$A-B$的结果为 （
A.$x^2 -2x$
B.$-2$
C.$x^2 +2x$
D.$-2x$
B
）A.$x^2 -2x$
B.$-2$
C.$x^2 +2x$
D.$-2x$
答案
11. B
解析
【分析】
解题思路分为两步：首先根据误算的结果反推多项式B，已知小方错算A+B得到C，因此可得B=C-A，先求出B的表达式；再将A和B代入正确的算式A-B中，按照去括号、合并同类项的规则计算即可得到结果。
【解析】
第一步：求多项式B
由题意得，误算时满足$A+B=C$，因此$B=C-A$
将$A=\frac{1}{2}x^2 + x -1$，$C=x^2 +2x$代入得：
$\begin{aligned}B&=(x^2 +2x)-(\frac{1}{2}x^2 + x -1)\\&=x^2 +2x - \frac{1}{2}x^2 -x +1\\&=\frac{1}{2}x^2 +x +1\end{aligned}$
第二步：计算$A-B$
将A和B的表达式代入得：
$\begin{aligned}A-B&=(\frac{1}{2}x^2 +x -1)-(\frac{1}{2}x^2 +x +1)\\&=\frac{1}{2}x^2 +x -1 -\frac{1}{2}x^2 -x -1\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
整式的加减，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题需要先根据错误的运算关系求出未知多项式，再代入正确算式计算，重点考查整式加减的运算规则，解题时要格外注意去括号的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：首先根据误算的结果反推多项式B，已知小方错算A+B得到C，因此可得B=C-A，先求出B的表达式；再将A和B代入正确的算式A-B中，按照去括号、合并同类项的规则计算即可得到结果。
【解析】
第一步：求多项式B
由题意得，误算时满足$A+B=C$，因此$B=C-A$
将$A=\frac{1}{2}x^2 + x -1$，$C=x^2 +2x$代入得：
$\begin{aligned}B&=(x^2 +2x)-(\frac{1}{2}x^2 + x -1)\\&=x^2 +2x - \frac{1}{2}x^2 -x +1\\&=\frac{1}{2}x^2 +x +1\end{aligned}$
第二步：计算$A-B$
将A和B的表达式代入得：
$\begin{aligned}A-B&=(\frac{1}{2}x^2 +x -1)-(\frac{1}{2}x^2 +x +1)\\&=\frac{1}{2}x^2 +x -1 -\frac{1}{2}x^2 -x -1\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
整式的加减，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题需要先根据错误的运算关系求出未知多项式，再代入正确算式计算，重点考查整式加减的运算规则，解题时要格外注意去括号的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
