登录
1.【数学探究】折纸是我国的传统文化，在折叠的过程中可以开发人类大脑智力，提高逻辑思维能力.数学综合实践课上，老师组织同学们开展了一次折纸探究活动.
(1)探究一:如图①,在一张长方形纸片上任意画一条线 AB,将纸片沿 AB 折叠,重叠的部分△ABC 一定是
(2)探究二:你能用一张长方形纸片折出一个等边三角形吗?
甲小组使用长方形纸片,操作如下:如图②,沿长方形纸片 ABCD 的宽对折,然后展开,折痕记为 EF,再将点 D 翻折到 EF 上的点 M 处,且使折痕过点 A,折痕与 CD 的交点为 G,再沿 GM 折叠,折痕与 AB 的交点为 H,则△AHG 就是一个等边三角形.
请你说明这样做的道理.(说明:M 是 GH 的中点,说理时可直接使用)
(3)探究三:你能用一张正方形纸片折出一个等边三角形吗?
乙小组使用正方形纸片,操作如下:如图③,先把正方形纸片 ABCD 对折后再展开,折痕为 EF;再将点 A 翻折到 EF 上的点 H 处,且使折痕过点 B;最后沿 HC 折叠,得到的△HBC 就是一个等边三角形.
请你说明这样做的道理.
【迁移应用】折纸也能为我们数学学习提供解决问题的思路和方法.
例如,在△ABC 中,AB＞AC,怎样说明∠C＞∠B 呢?小亮发现,利用折纸做一个轴对称变换,得到一对全等的三角形,从而可将问题解决.
(4)请画图并说明小亮的解题思路.
(1)探究一:如图①,在一张长方形纸片上任意画一条线 AB,将纸片沿 AB 折叠,重叠的部分△ABC 一定是
等腰
三角形.(2)探究二:你能用一张长方形纸片折出一个等边三角形吗?
甲小组使用长方形纸片,操作如下:如图②,沿长方形纸片 ABCD 的宽对折,然后展开,折痕记为 EF,再将点 D 翻折到 EF 上的点 M 处,且使折痕过点 A,折痕与 CD 的交点为 G,再沿 GM 折叠,折痕与 AB 的交点为 H,则△AHG 就是一个等边三角形.
请你说明这样做的道理.(说明:M 是 GH 的中点,说理时可直接使用)
(3)探究三:你能用一张正方形纸片折出一个等边三角形吗?
乙小组使用正方形纸片,操作如下:如图③,先把正方形纸片 ABCD 对折后再展开,折痕为 EF;再将点 A 翻折到 EF 上的点 H 处,且使折痕过点 B;最后沿 HC 折叠,得到的△HBC 就是一个等边三角形.
请你说明这样做的道理.
【迁移应用】折纸也能为我们数学学习提供解决问题的思路和方法.
例如,在△ABC 中,AB＞AC,怎样说明∠C＞∠B 呢?小亮发现,利用折纸做一个轴对称变换,得到一对全等的三角形,从而可将问题解决.
(4)请画图并说明小亮的解题思路.
答案
1.(1)等腰
(2)解:如答图①,连接 AM. 由折叠知∠DAG=∠GAM,∠D=∠AMG=90°. 在△AMG 和△AMH 中,AM=AM,∠AMG=∠AMH=90°,MG=MH,所以△AMG≌△AMH(SAS),
所以 AG=AH,∠GAM=∠HAM.
所以∠DAG=∠GAM=∠MAH=30°,
所以∠GAH=60°,所以△AHG 是一个等边三角形.
(3)解:由折叠得 BH=AB=BC,
由折叠得 EF 为 BC 的垂直平分线,
所以 HC=BH,所以 BH=HC=BC,
所以△HBC 是等边三角形.
(4)解:思路:如答图②,把点 C 翻折到 AB 上的点 C'处,折痕过点 A,折痕与 BC 交于点 D.
依据以上操作,可得△ACD≌△AC'D,
所以∠AC'D=∠C.
因为∠AC'D＞∠B,所以∠C＞∠B.
解析
【分析】
(1) 探究一：先根据折叠性质得到折叠前后对应角相等，再结合长方形对边平行的性质推导两角相等，利用等角对等边即可判断三角形形状。
(2) 探究二：要证△AHG是等边三角形，先通过折叠性质得到边、角的等量关系，结合已知M是GH中点，证明△AMG≌△AMH得到AG=AH，再推导∠GAH为60°，即可利用等边三角形判定定理得证。
(3) 探究三：先由折叠和正方形的性质得到BH=BC，再根据EF是BC的垂直平分线得到HB=HC，通过三边相等即可判定△HBC是等边三角形。
(4) 迁移应用：要证∠C＞∠B，可通过折叠构造全等三角形，将∠C转化为三角形的外角，利用三角形外角大于不相邻内角的性质即可推导结论。
【解析】
(1) 沿AB折叠，由折叠性质得∠2=∠ABC，又长方形对边平行，故∠1=∠2，因此∠1=∠ABC，可得AC=BC，△ABC为等腰三角形。
(2) 连接AM，由折叠性质得∠DAG=∠GAM，∠D=∠AMG=90°，故∠AMH=90°。已知M是GH中点，即MG=MH。
在△AMG和△AMH中：$\{\begin{array}{l}AM=AM\\ ∠ AMG=∠ AMH=90°\\ MG=MH\end{array} $
∴△AMG≌△AMH(SAS)，得AG=AH，∠GAM=∠HAM。
因此∠DAG=∠GAM=∠HAM，结合∠DAB=90°，得每个角为30°，故∠GAH=60°。
又AG=AH，因此△AHG是等边三角形。
(3) 由折叠性质得BH=AB，四边形ABCD是正方形，故AB=BC，得BH=BC。
EF是正方形对折后的折痕，即EF是BC的垂直平分线，点H在EF上，故HB=HC。
因此BH=HC=BC，三边相等，故△HBC是等边三角形。
(4) 在AB上截取AC'=AC，将点C沿过A的折痕翻折到C'处，折痕交BC于D，连接C'D。
由折叠性质得△ACD≌△AC'D，故∠AC'D=∠C。
∠AC'D是△BC'D的外角，根据三角形外角性质，外角大于任意不相邻内角，故∠AC'D＞∠B，因此∠C＞∠B。
【答案】
1.(1)等腰
(2)解:如答图①,连接 AM. 由折叠知∠DAG=∠GAM,∠D=∠AMG=90°. 在△AMG 和△AMH 中,AM=AM,∠AMG=∠AMH=90°,MG=MH,所以△AMG≌△AMH(SAS),
所以 AG=AH,∠GAM=∠HAM.
所以∠DAG=∠GAM=∠MAH=30°,
所以∠GAH=60°,所以△AHG 是一个等边三角形.
(3)解:由折叠得 BH=AB=BC,
由折叠得 EF 为 BC 的垂直平分线,
所以 HC=BH,所以 BH=HC=BC,
所以△HBC 是等边三角形.
(4)解:思路:如答图②,把点 C 翻折到 AB 上的点 C'处,折痕过点 A,折痕与 BC 交于点 D.
依据以上操作,可得△ACD≌△AC'D,
所以∠AC'D=∠C.
因为∠AC'D＞∠B,所以∠C＞∠B.
【知识点】
折叠的性质；等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题以传统折纸活动为载体，将动手操作与几何推理相结合，考查了折叠的性质、特殊三角形判定、全等三角形以及三角形外角性质等核心知识，能够有效锻炼实践操作能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 探究一：先根据折叠性质得到折叠前后对应角相等，再结合长方形对边平行的性质推导两角相等，利用等角对等边即可判断三角形形状。
(2) 探究二：要证△AHG是等边三角形，先通过折叠性质得到边、角的等量关系，结合已知M是GH中点，证明△AMG≌△AMH得到AG=AH，再推导∠GAH为60°，即可利用等边三角形判定定理得证。
(3) 探究三：先由折叠和正方形的性质得到BH=BC，再根据EF是BC的垂直平分线得到HB=HC，通过三边相等即可判定△HBC是等边三角形。
(4) 迁移应用：要证∠C＞∠B，可通过折叠构造全等三角形，将∠C转化为三角形的外角，利用三角形外角大于不相邻内角的性质即可推导结论。
【解析】
(1) 沿AB折叠，由折叠性质得∠2=∠ABC，又长方形对边平行，故∠1=∠2，因此∠1=∠ABC，可得AC=BC，△ABC为等腰三角形。
(2) 连接AM，由折叠性质得∠DAG=∠GAM，∠D=∠AMG=90°，故∠AMH=90°。已知M是GH中点，即MG=MH。
在△AMG和△AMH中：$\{\begin{array}{l}AM=AM\\ ∠ AMG=∠ AMH=90°\\ MG=MH\end{array} $
∴△AMG≌△AMH(SAS)，得AG=AH，∠GAM=∠HAM。
因此∠DAG=∠GAM=∠HAM，结合∠DAB=90°，得每个角为30°，故∠GAH=60°。
又AG=AH，因此△AHG是等边三角形。
(3) 由折叠性质得BH=AB，四边形ABCD是正方形，故AB=BC，得BH=BC。
EF是正方形对折后的折痕，即EF是BC的垂直平分线，点H在EF上，故HB=HC。
因此BH=HC=BC，三边相等，故△HBC是等边三角形。
(4) 在AB上截取AC'=AC，将点C沿过A的折痕翻折到C'处，折痕交BC于D，连接C'D。
由折叠性质得△ACD≌△AC'D，故∠AC'D=∠C。
∠AC'D是△BC'D的外角，根据三角形外角性质，外角大于任意不相邻内角，故∠AC'D＞∠B，因此∠C＞∠B。
【答案】
1.(1)等腰
(2)解:如答图①,连接 AM. 由折叠知∠DAG=∠GAM,∠D=∠AMG=90°. 在△AMG 和△AMH 中,AM=AM,∠AMG=∠AMH=90°,MG=MH,所以△AMG≌△AMH(SAS),
所以 AG=AH,∠GAM=∠HAM.
所以∠DAG=∠GAM=∠MAH=30°,
所以∠GAH=60°,所以△AHG 是一个等边三角形.
(3)解:由折叠得 BH=AB=BC,
由折叠得 EF 为 BC 的垂直平分线,
所以 HC=BH,所以 BH=HC=BC,
所以△HBC 是等边三角形.
(4)解:思路:如答图②,把点 C 翻折到 AB 上的点 C'处,折痕过点 A,折痕与 BC 交于点 D.
依据以上操作,可得△ACD≌△AC'D,
所以∠AC'D=∠C.
因为∠AC'D＞∠B,所以∠C＞∠B.
【知识点】
折叠的性质；等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题以传统折纸活动为载体，将动手操作与几何推理相结合，考查了折叠的性质、特殊三角形判定、全等三角形以及三角形外角性质等核心知识，能够有效锻炼实践操作能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
