8.(2025·陕西)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD为AB边上的中线,DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有 （）

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

8.C

【分析】
要解决本题，首先明确互余的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余。解题思路如下：第一步，先在直角△ABC中利用直角三角形两锐角互余，找到第一个与∠A互余的角；第二步，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到等腰三角形，推导等角，找到第二个互余的角；第三步，根据DE⊥AC得到直角三角形，找到第三个互余的角；第四步，利用等腰三角形三线合一的性质得到等角，找到第四个互余的角，最后统计数量即可。
【解析】
根据互余的定义：两角之和为90°则两角互余，推导如下：
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由三角形内角和得$∠ A + ∠ B = 90°$，故$∠ B$与$∠ A$互余；
2.
∵CD是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边AB上的中线，
∴$CD=BD=AD$，
由$CD=BD$得$∠ B=∠ BCD$，因此$∠ A + ∠ BCD = 90°$，故$∠ BCD$与$∠ A$互余；
3.
∵$DE⊥ AC$，
∴$∠ AED=90°$，在$\mathrm{Rt}△ AED$中，$∠ A + ∠ ADE = 90°$，故$∠ ADE$与$∠ A$互余；
4. 由$CD=AD$可知$△ ACD$是等腰三角形，又$DE⊥ AC$，根据等腰三角形三线合一的性质，DE平分$∠ ADC$，即$∠ ADE=∠ CDE$，
因此$∠ A + ∠ CDE = 90°$，故$∠ CDE$与$∠ A$互余。
综上，与$∠ A$互余的角共有4个。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；直角三角形斜边中线性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题综合考查直角三角形和等腰三角形的核心性质，解题时需结合图形按顺序推导等角，避免漏数符合条件的角，属于基础性质的综合应用题。
【难度系数】
0.7

9.(2025·德阳)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,将$△ ABC$沿$CB$方向向右平移至$△ EGF$处,使$EF$恰好过边$AB$的中点$D$,连接$CD$,若$CD=1$,则$GE=$ ()

A.$3$
B.$2$
C.$1$
D.$\dfrac{1}{2}$

9.B

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先已知Rt△ABC中D是斜边AB的中点，给出了斜边上中线CD的长度，可优先考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，先求出AB的长度；再结合平移的性质，平移前后的图形全等、对应边相等，找到GE的对应边为AB，即可求出GE的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，D是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：
$CD=\frac{1}{2}AB$
已知$CD=1$，代入得$AB=2CD=2×1=2$。
2. 因为$△ ABC$沿CB方向向右平移得到$△ EGF$，根据平移的性质，平移前后图形全等，即$△ ABC≌△ EGF$，全等三角形对应边相等，因此$GE=AB=2$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、平移的性质
【点评】
本题属于基础题，将直角三角形的性质和平移的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相关性质，先求出AB的长度，再通过平移的对应边相等得到结果。
【难度系数】
0.8

10.如图,在$△ ABC$中,点$D$在边$BC$上,$AB=AD$,$E$,$F$分别是$AC$,$BD$的中点,$EF=3$,则$AC$的长为________.

10.6

【分析】
首先梳理已知条件：由AB=AD可知△ABD是等腰三角形，F是BD中点，结合等腰三角形三线合一的性质，可通过连接AF得到AF⊥BD，即△AFC为直角三角形；又已知E是AC中点，此时可运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，建立EF与AC的数量关系，代入EF的长度即可求出AC的长。
【解析】
连接AF，
∵ AB=AD，F是BD的中点，
∴ AF⊥BD（等腰三角形三线合一），即∠AFC=90°，△AFC为直角三角形。
∵ E是AC的中点，
∴ 在Rt△AFC中，EF是斜边AC上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：
$EF=\frac{1}{2}AC$
已知EF=3，代入得：
$AC=2EF=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于三角形性质的基础综合题，解题核心是合理添加辅助线构造直角三角形，再结合等腰三角形、直角三角形的相关性质推导线段关系，是三角形章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7

11.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC$为钝角,$AF,CE$都是这个三角形的高,$P$为$AC$的中点,若$∠ B=42°$,则$∠ EPF$的度数为________.

11.96°

【分析】
解题时首先观察已知条件：AF、CE是三角形的高，可得△AEC和△AFC都是直角三角形，P是AC中点，优先想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，可得PE=PA、PF=PA，即△PEA、△PAF都是等腰三角形。接下来需要把已知的∠B和所求∠EPF建立联系：先利用三角形外角性质表示出等腰△PEA的底角∠EAC，再用等腰三角形内角关系表示出∠EPA；然后在Rt△AFC中得到等腰△PAF的底角∠FAC和∠ACB的关系，再表示出∠FPA；最后将两个角相加，未知的∠ACB会直接抵消，即可求出∠EPF的度数。
【解析】
1. 由CE是△ABC的高，得∠AEC=90°，即△AEC为直角三角形，
∵P是AC中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴$PE=\frac{1}{2}AC=PA$，△PEA为等腰三角形，$∠ PEA=∠ PAE$。
2. 同理，AF是△ABC的高，得∠AFC=90°，即△AFC为直角三角形，
∴$PF=\frac{1}{2}AC=PA$，△PAF为等腰三角形，$∠ PAF=∠ PFA$。
3. ∠EAC是△ABC的外角，根据三角形外角性质，得$∠ EAC=∠ B+∠ ACB=42°+∠ ACB$，
在△PEA中，由内角和为180°，得：
$∠ EPA=180°-2∠ EAC=180°-2×(42°+∠ ACB)=96°-2∠ ACB$。
4. 在Rt△AFC中，$∠ FAC+∠ ACB=90°$，即$∠ FAC=90°-∠ ACB$，
在△PAF中，由内角和为180°，得：
$∠ FPA=180°-2∠ FAC=180°-2×(90°-∠ ACB)=2∠ ACB$。
5. 由图形可知$∠ EPF=∠ EPA+∠ FPA$，代入得：
$∠ EPF=(96°-2∠ ACB)+2∠ ACB=96°$。
【答案】
$96°$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形的性质；三角形外角性质
【点评】
本题核心是对直角三角形斜边上中线性质的应用，结合等腰三角形内角关系、三角形外角性质求解，解题的关键是通过角的转化消去未知的角度，直接得到所求角的度数。
【难度系数】
0.6

12.如图,在$△ ABC$中,AD是边BC上的高,CF是边AB上的中线,且$DC=BF,DE⊥ CF$于点E.
(1)E是CF的中点吗?试说明理由;
(2)求证:$∠ B=2∠ BCF$.

12.(1)解:E是CF的中点.理由:如答图,连接DF.

∵AD是边BC上的高,CF是边AB上的中线,
∴DF=BF=1/2 AB.
∵DC=BF,
∴CD=DF.
∵DE⊥CF,
∴E是CF的中点.
(2)证明:
∵DF=BF,
∴∠FDB=∠B.
∵DC=DF,
∴∠DCF=∠DFC,
由外角的性质得∠FDB=∠DCF+∠DFC=2∠DCF,
∴∠B=2∠BCF.

【分析】
(1)要判断E是否为CF的中点，可结合等腰三角形“三线合一”的性质推导：已知AD是BC边上的高，可得△ABD为直角三角形，CF是AB边上的中线，因此可连接DF，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到DF=BF，再结合已知DC=BF，可推出CD=DF，即△CDF为等腰三角形，结合DE⊥CF，即可得出E是CF中点的结论。
(2)要证明∠B=2∠BCF，可通过角度的等量代换推导：首先由DF=BF可得∠FDB=∠B，再由CD=DF可得∠DCF=∠DFC，根据三角形外角的性质，∠FDB是△CDF的外角，等于∠DCF与∠DFC的和，即∠FDB=2∠DCF，通过等量代换即可完成证明。
【解析】
(1) E是CF的中点，理由如下：
如答图，连接DF。
∵AD是边BC上的高，
∴△ABD是直角三角形。
∵CF是边AB上的中线，即F是Rt△ABD斜边AB的中点，
∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得$DF=BF=\frac{1}{2}AB$。
∵已知$DC=BF$，
∴$CD=DF$，即△CDF是等腰三角形。
∵$DE⊥CF$，根据等腰三角形三线合一的性质，
∴E是CF的中点。
(2)证明：
由(1)可知$DF=BF$，根据等边对等角，得$∠FDB=∠B$。
又
∵$CD=DF$，同理可得$∠DCF=∠DFC$。
根据三角形外角的性质，$∠FDB$是△CDF的外角，
∴$∠FDB=∠DCF+∠DFC=2∠DCF$。
∵$∠DCF=∠BCF$，且$∠FDB=∠B$，
∴$∠B=2∠BCF$。
【答案】
(1) E是CF的中点，理由：如答图，连接DF。
∵AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，
∴DF=BF=$\frac{1}{2}$AB。
∵DC=BF，
∴CD=DF。
∵DE⊥CF，
∴E是CF的中点。
(2)证明：
∵DF=BF，
∴∠FDB=∠B。
∵DC=DF，
∴∠DCF=∠DFC，
由外角的性质得∠FDB=∠DCF+∠DFC=2∠DCF，
∴∠B=2∠BCF。
【知识点】
直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查直角三角形和等腰三角形相关性质的应用，解题的关键是合理添加辅助线DF，将已知的中线、高的条件关联起来，再结合等边对等角、三线合一及外角性质即可完成推导，能有效考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

13. 在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=AC$，$D$为$BC$的中点.
(1)如图①，若$E,F$分别为$AB,AC$上的点，且$DE⊥ DF$，求证：$BE=AF$；
(2)若$E,F$分别为$AB,CA$延长线上的点，且$DE⊥ DF$，那么$BE=AF$吗？请利用图②说明理由.

13.(1)证明:连接AD,如答图①.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴△ABC为等腰直角三角形,∠EBD=45°.
∵D为BC的中点,
∴AD=1/2 BC=BD,∠FAD=45°.
∵∠BDE+∠EDA=90°,∠EDA+∠ADF=90°,
∴∠BDE=∠ADF.
在△BDE和△ADF中,
{∠EBD=∠FAD,
BD=AD,
∠BDE=∠ADF,
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴BE=AF.

(2)解:BE=AF,理由如下:
连接AD,如答图②.由(1)知AD=BD,∠ADB=90°,
∠ABD=∠CAD=45°,
∴∠EBD=∠FAD=135°.
∵∠EDB+∠BDF=90°,∠BDF+∠FDA=90°,
∴∠EDB=∠FDA.
在△EDB和△FDA中,
{∠EBD=∠FAD,
BD=AD,
∠EDB=∠FDA,
∴△EDB≌△FDA(ASA),
∴BE=AF.

【分析】
本题要证明两条线段相等，优先考虑证明线段所在的三角形全等。
(1) 首先观察图形：△ABC是等腰直角三角形，D是BC中点，根据等腰直角三角形的性质，连接AD可得AD=BD，且∠EBD=∠FAD=45°；再结合DE⊥DF的条件，利用同角的余角相等可推出∠BDE=∠ADF，即可用ASA证明△BDE≌△ADF，从而得到BE=AF。
(2) 第二问中E、F在AB、CA的延长线上，解题思路和第一问一致：连接AD后，先推导得到∠EBD=∠FAD=135°，再通过同角的余角相等得到∠EDB=∠FDA，仍可用ASA证明△EDB≌△FDA，得到BE=AF。
【解析】
(1) 证明：连接AD，如答图①。
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°。
∵D为BC的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}BC=BD$，∠FAD=45°。
∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF。
在△BDE和△ADF中：
$\begin{cases}∠EBD=∠FAD \\BD=AD \\∠BDE=∠ADF\end{cases}$
∴△BDE≌△ADF(ASA)，
∴BE=AF。

(2) 解：BE=AF，理由如下：
连接AD，如答图②。由(1)知AD=BD，∠ADB=90°，∠ABD=∠CAD=45°，
∴∠EBD=∠FAD=135°。
∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，
∴∠EDB=∠FDA。
在△EDB和△FDA中：
$\begin{cases}∠EBD=∠FAD \\BD=AD \\∠EDB=∠FDA\end{cases}$
∴△EDB≌△FDA(ASA)，
∴BE=AF。
【答案】
(1) $BE=AF$，证明成立；
(2) $BE=AF$，理由见解析。
【知识点】
等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是合理连接辅助线AD，利用等腰直角三角形的性质得到对应边、角相等，再结合垂直条件通过同角的余角相等推导角相等，进而证明三角形全等得到对应边相等；第二问是第一问的变式，解题思路一致，需注意点在延长线上时对应角的度数变化。
【难度系数】
0.6