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1.一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知$∠ ACB=90°$,D为边AB的中点,点A,B对应的刻度为1,7,则$CD=$ （
A.3.5 cm
B.3 cm
C.4.5 cm
D.6 cm
B
）A.3.5 cm
B.3 cm
C.4.5 cm
D.6 cm
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先从刻度尺读取A、B对应的刻度，计算出斜边AB的长度；再结合△ACB是直角三角形、D为AB中点的已知条件，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，即可求出CD的长度。
【解析】
首先计算AB的长度：点A对应刻度为1cm，点B对应刻度为7cm，因此$AB = 7\mathrm{cm} - 1\mathrm{cm} = 6\mathrm{cm}$。
已知$∠ ACB=90°$，所以$△ ACB$是直角三角形，AB为斜边，又因为D是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，可得：
$CD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6\mathrm{cm} = 3\mathrm{cm}$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.长度的测量 2.直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础应用题，将长度测量和几何性质相结合，解题关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先从刻度尺读取A、B对应的刻度，计算出斜边AB的长度；再结合△ACB是直角三角形、D为AB中点的已知条件，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，即可求出CD的长度。
【解析】
首先计算AB的长度：点A对应刻度为1cm，点B对应刻度为7cm，因此$AB = 7\mathrm{cm} - 1\mathrm{cm} = 6\mathrm{cm}$。
已知$∠ ACB=90°$，所以$△ ACB$是直角三角形，AB为斜边，又因为D是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，可得：
$CD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6\mathrm{cm} = 3\mathrm{cm}$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.长度的测量 2.直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础应用题，将长度测量和几何性质相结合，解题关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=65°$,$CD⊥ AB$,垂足为$D$,$E$是$BC$的中点,连接$ED$,则$∠ DEC$的度数是 （
A.$25°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
D
）A.$25°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
2.D
解析
【分析】首先在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数；再结合CD⊥AB可知△CDB是直角三角形，E是BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得ED=EB，即△EDB为等腰三角形，可推出∠EDB=∠B；最后利用三角形外角的性质，∠DEC是△EDB的外角，等于∠EDB与∠B的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 求∠B的度数
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=65°，根据直角三角形两锐角互余：
$∠ B=90°-∠ A=90°-65°=25°$
2. 推导边的关系
$\because CD⊥ AB$，$\therefore ∠ CDB=90°$，即$△ CDB$是直角三角形
又$\because E$是$BC$的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半：
$ED=EB=\frac{1}{2}BC$
3. 计算∠DEC的度数
$\because ED=EB$，$\therefore △ EDB$是等腰三角形，$∠ EDB=∠ B=25°$
$\because ∠ DEC$是$△ EDB$的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和：
$∠ DEC=∠ EDB+∠ B=25°+25°=50°$
【答案】D
【知识点】直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】本题是直角三角形相关性质的基础综合题，解题关键是准确识别直角三角形，熟练运用斜边上的中线性质，结合外角性质即可快速求解。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 求∠B的度数
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=65°，根据直角三角形两锐角互余：
$∠ B=90°-∠ A=90°-65°=25°$
2. 推导边的关系
$\because CD⊥ AB$，$\therefore ∠ CDB=90°$，即$△ CDB$是直角三角形
又$\because E$是$BC$的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半：
$ED=EB=\frac{1}{2}BC$
3. 计算∠DEC的度数
$\because ED=EB$，$\therefore △ EDB$是等腰三角形，$∠ EDB=∠ B=25°$
$\because ∠ DEC$是$△ EDB$的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和：
$∠ DEC=∠ EDB+∠ B=25°+25°=50°$
【答案】D
【知识点】直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】本题是直角三角形相关性质的基础综合题，解题关键是准确识别直角三角形，熟练运用斜边上的中线性质，结合外角性质即可快速求解。
【难度系数】0.7
3.若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是
18
.答案
3.18
解析
【分析】
解题时首先定位已知条件中的关键信息：直角三角形、斜边上的中线长、斜边上的高。第一步，看到直角三角形斜边上的中线，直接调用对应的性质求出斜边的长度；第二步，求三角形面积时，把斜边当作底，已知斜边上的高，直接代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
根据直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知斜边上的中线长为6，因此斜边的长度为：$2×6=12$。
已知斜边上的高为3，将斜边作为三角形的底，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入数值可得：
$S=\frac{1}{2}×12×3=18$。
【答案】
18
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对直角三角形斜边中线性质的直接运用，结合基础的面积公式即可求解，解题的关键是牢记相关性质，准确匹配求面积所需的底和高。
【难度系数】
0.8
解题时首先定位已知条件中的关键信息：直角三角形、斜边上的中线长、斜边上的高。第一步，看到直角三角形斜边上的中线，直接调用对应的性质求出斜边的长度；第二步，求三角形面积时，把斜边当作底，已知斜边上的高，直接代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
根据直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
已知斜边上的中线长为6，因此斜边的长度为：$2×6=12$。
已知斜边上的高为3，将斜边作为三角形的底，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入数值可得：
$S=\frac{1}{2}×12×3=18$。
【答案】
18
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对直角三角形斜边中线性质的直接运用，结合基础的面积公式即可求解，解题的关键是牢记相关性质，准确匹配求面积所需的底和高。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ B=50°$,$D$为$AB$的中点,则$∠ ACD=\_\_\_\_\_\_°$.
答案
4.40
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是直角三角形，D为斜边AB的中点，可联想到直角三角形斜边中线的性质，得到CD与AD的相等关系；接下来利用三角形内角和定理先求出∠A的度数，再根据等腰三角形等边对等角的性质，即可求出∠ACD的度数。
【解析】
在$△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=50°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ A=180°-∠ ACB-∠ B=180°-90°-50°=40°$。
$\because$ D为AB的中点，CD是$Rt△ ABC$斜边AB上的中线，
$\therefore$ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$CD=AD$，
$\therefore △ACD$为等腰三角形，$∠ ACD=∠ A=40°$。
【答案】
40
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形内角和定理，等腰三角形等边对等角
【点评】
本题属于基础的角度计算题，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，将已知条件转化为等腰三角形的边相等关系，进而结合内角和定理求角度。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知条件入手：首先△ABC是直角三角形，D为斜边AB的中点，可联想到直角三角形斜边中线的性质，得到CD与AD的相等关系；接下来利用三角形内角和定理先求出∠A的度数，再根据等腰三角形等边对等角的性质，即可求出∠ACD的度数。
【解析】
在$△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=50°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ A=180°-∠ ACB-∠ B=180°-90°-50°=40°$。
$\because$ D为AB的中点，CD是$Rt△ ABC$斜边AB上的中线，
$\therefore$ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$CD=AD$，
$\therefore △ACD$为等腰三角形，$∠ ACD=∠ A=40°$。
【答案】
40
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形内角和定理，等腰三角形等边对等角
【点评】
本题属于基础的角度计算题，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，将已知条件转化为等腰三角形的边相等关系，进而结合内角和定理求角度。
【难度系数】
0.85
5.(2025·福建)某房梁如图所示,立柱$AD⊥BC$,E,F分别是斜梁AB,AC的中点.若$AB=AC=8$ m,则$DE$的长为
4
m.答案
5.4
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AD⊥BC可得△ABD是直角三角形，再结合E是AB的中点，可知DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，即可直接代入AB的长度求出DE的长。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，即△ABD是直角三角形。
∵E是AB的中点，
∴DE是Rt△ABD斜边AB上的中线。
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：
$DE=\frac{1}{2}AB$。
又
∵AB=8 m，
∴$DE=\frac{1}{2}×8=4$ m。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，垂直的定义
【点评】
本题是基础应用题，重点考查直角三角形相关性质的直接运用，只要能准确识别直角三角形及斜边上的中线，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先由AD⊥BC可得△ABD是直角三角形，再结合E是AB的中点，可知DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，即可直接代入AB的长度求出DE的长。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，即△ABD是直角三角形。
∵E是AB的中点，
∴DE是Rt△ABD斜边AB上的中线。
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：
$DE=\frac{1}{2}AB$。
又
∵AB=8 m，
∴$DE=\frac{1}{2}×8=4$ m。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，垂直的定义
【点评】
本题是基础应用题，重点考查直角三角形相关性质的直接运用，只要能准确识别直角三角形及斜边上的中线，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
6. 如图，OG平分∠MON，A是OM边上一点，过点A作AB⊥OG于点B，C为线段OA的中点，连接BC.求证：BC//ON.
答案
6.证明:
∵OG平分∠MON,
∴∠MOG=∠NOG.
∵AB⊥OG,
∴∠ABO=90°.
∵C为线段OA的中点,
∴BC=1/2 AO=CO,
∴∠MOG=∠CBO,
∴∠NOG=∠CBO,
∴BC//ON.
∵OG平分∠MON,
∴∠MOG=∠NOG.
∵AB⊥OG,
∴∠ABO=90°.
∵C为线段OA的中点,
∴BC=1/2 AO=CO,
∴∠MOG=∠CBO,
∴∠NOG=∠CBO,
∴BC//ON.
解析
【分析】
要证明BC//ON，可通过证明内错角相等推导两直线平行。首先由AB⊥OG可知△ABO是直角三角形，结合C是OA中点的条件，根据直角三角形斜边中线的性质可得BC=CO，进而推出∠MOG=∠CBO；再利用OG平分∠MON得到∠MOG=∠NOG，通过等量代换可得∠NOG=∠CBO，满足内错角相等，即可证明BC//ON。
【解析】
证明:
∵OG平分∠MON,
∴∠MOG=∠NOG.
∵AB⊥OG,
∴∠ABO=90°.
∵C为线段OA的中点,
∴BC=1/2 AO=CO,
∴∠MOG=∠CBO,
∴∠NOG=∠CBO,
∴BC//ON.
【答案】
∵OG平分∠MON,
∴∠MOG=∠NOG.
∵AB⊥OG,
∴∠ABO=90°.
∵C为线段OA的中点,
∴BC=1/2 AO=CO,
∴∠MOG=∠CBO,
∴∠NOG=∠CBO,
∴BC//ON.
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了角平分线、直角三角形性质和平行线判定的相关知识，解题的核心是利用直角三角形斜边中线的性质得到等角关系，再通过等量代换得到平行的判定条件，能较好地考查学生对基础几何知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明BC//ON，可通过证明内错角相等推导两直线平行。首先由AB⊥OG可知△ABO是直角三角形，结合C是OA中点的条件，根据直角三角形斜边中线的性质可得BC=CO，进而推出∠MOG=∠CBO；再利用OG平分∠MON得到∠MOG=∠NOG，通过等量代换可得∠NOG=∠CBO，满足内错角相等，即可证明BC//ON。
【解析】
证明:
∵OG平分∠MON,
∴∠MOG=∠NOG.
∵AB⊥OG,
∴∠ABO=90°.
∵C为线段OA的中点,
∴BC=1/2 AO=CO,
∴∠MOG=∠CBO,
∴∠NOG=∠CBO,
∴BC//ON.
【答案】
∵OG平分∠MON,
∴∠MOG=∠NOG.
∵AB⊥OG,
∴∠ABO=90°.
∵C为线段OA的中点,
∴BC=1/2 AO=CO,
∴∠MOG=∠CBO,
∴∠NOG=∠CBO,
∴BC//ON.
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了角平分线、直角三角形性质和平行线判定的相关知识，解题的核心是利用直角三角形斜边中线的性质得到等角关系，再通过等量代换得到平行的判定条件，能较好地考查学生对基础几何知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在$△ ABC$中,$CD\bot AB$,垂足为$D$,$BE\bot AC$,垂足为$E$,连接$DE$,$G$,$F$分别是$BC$,$DE$的中点.求证:$GF\bot DE$.
答案
7.证明:如答图,连接DG,EG.
∵CD⊥AB,G是BC的中点,
∴在Rt△BCD中,DG=1/2 BC.
同理,EG=1/2 BC,
∴DG=EG.
∵F是DE的中点,
∴GF⊥DE.
解析
【分析】
要证明$GF\bot DE$，已知$F$是$DE$的中点，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此只需证明$△ DGE$是等腰三角形（即$DG=EG$）即可。观察图形可得$CD\bot AB$、$BE\bot AC$，因此$△ BCD$和$△ BCE$均为直角三角形，而$G$是$BC$的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可推出$DG$和$EG$都等于$BC$的一半，因此$DG=EG$，再结合$F$是$DE$的中点，即可用三线合一证明垂直。
【解析】
证明：如答图，连接$DG$，$EG$。
$\because CD\bot AB$，$G$是$BC$的中点，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得$DG=\frac{1}{2}BC$。
同理，在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$EG=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore DG=EG$，即$△ DGE$是等腰三角形。
又$\because F$是$DE$的中点，
$\therefore$根据等腰三角形三线合一的性质，$GF\bot DE$。
【答案】
证明:如答图,连接DG,EG.
∵CD⊥AB,G是BC的中点,
∴在Rt△BCD中,DG=1/2 BC.
同理,EG=1/2 BC,
∴DG=EG.
∵F是DE的中点,
∴GF⊥DE.
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题是几何基础证明题，核心是通过添加辅助线构造直角三角形和等腰三角形，将待证的垂直关系转化为证明线段相等，解题的关键是熟练掌握直角三角形和等腰三角形的相关性质，学会合理构造辅助线。
【难度系数】
0.7
要证明$GF\bot DE$，已知$F$是$DE$的中点，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此只需证明$△ DGE$是等腰三角形（即$DG=EG$）即可。观察图形可得$CD\bot AB$、$BE\bot AC$，因此$△ BCD$和$△ BCE$均为直角三角形，而$G$是$BC$的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可推出$DG$和$EG$都等于$BC$的一半，因此$DG=EG$，再结合$F$是$DE$的中点，即可用三线合一证明垂直。
【解析】
证明：如答图，连接$DG$，$EG$。
$\because CD\bot AB$，$G$是$BC$的中点，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得$DG=\frac{1}{2}BC$。
同理，在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$EG=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore DG=EG$，即$△ DGE$是等腰三角形。
又$\because F$是$DE$的中点，
$\therefore$根据等腰三角形三线合一的性质，$GF\bot DE$。
【答案】
证明:如答图,连接DG,EG.
∵CD⊥AB,G是BC的中点,
∴在Rt△BCD中,DG=1/2 BC.
同理,EG=1/2 BC,
∴DG=EG.
∵F是DE的中点,
∴GF⊥DE.
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题是几何基础证明题，核心是通过添加辅助线构造直角三角形和等腰三角形，将待证的垂直关系转化为证明线段相等，解题的关键是熟练掌握直角三角形和等腰三角形的相关性质，学会合理构造辅助线。
【难度系数】
0.7
