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10.在$△ ABC$中，$CA=CB$，$∠ ACB=120°$，将一块足够大的三角尺$PMN(∠ M=90°,∠ MPN=30°)$按如图所示放置，顶点$P$在线段$AB$上滑动，三角尺的直角边$PM$始终经过点$C$，并且与$CB$的夹角$∠ PCB=α$，斜边$PN$交$AC$于点$D$.在点$P$的滑动过程中，$△ PCD$可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，请求出夹角$α$的大小.
答案
10.解:△PCD可以是等腰三角形.
由题意知∠PCA=120°−α,∠CPD=30°.
①当PC=PD时,△PCD是等腰三角形,
∠PCD=1/2(180°−∠MPN)=1/2×(180°−30°)=75°,
即120°−α=75°,解得α=45°.
②当PD=CD时,△PCD是等腰三角形,
∠PCD=∠CPD=30°,
即120°−α=30°,解得α=90°.
③当PC=CD时,△PCD是等腰三角形,
∠PCD=180°−2×30°=120°,
即120°−α=120°,解得α=0°,
此时点P与点B重合,点D与点A重合.
综上所述,当△PCD是等腰三角形时,α的大小是45°或90°或0°.
由题意知∠PCA=120°−α,∠CPD=30°.
①当PC=PD时,△PCD是等腰三角形,
∠PCD=1/2(180°−∠MPN)=1/2×(180°−30°)=75°,
即120°−α=75°,解得α=45°.
②当PD=CD时,△PCD是等腰三角形,
∠PCD=∠CPD=30°,
即120°−α=30°,解得α=90°.
③当PC=CD时,△PCD是等腰三角形,
∠PCD=180°−2×30°=120°,
即120°−α=120°,解得α=0°,
此时点P与点B重合,点D与点A重合.
综上所述,当△PCD是等腰三角形时,α的大小是45°或90°或0°.
解析
【分析】
首先明确已知条件：△ABC中CA=CB，∠ACB=120°，三角尺的∠MPN=30°，故△PCD中∠CPD=30°，∠PCD=∠ACB-∠PCB=120°−α。要判断△PCD是否为等腰三角形，需按等腰三角形的腰的三种可能情况分类讨论：PC=PD、PD=CD、PC=CD，每种情况根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理列关于α的方程求解，最后验证解是否符合几何位置要求即可。
【解析】
△PCD可以是等腰三角形，解题过程如下：
由题意得：∠CPD=30°，∠PCD=120°−α，分三种情况讨论：
①当$PC=PD$时，△PCD是等腰三角形，
根据三角形内角和，$∠ PCD=\frac{1}{2}(180°-∠ CPD)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$，
即$120°-α=75°$，解得$α=45°$；
②当$PD=CD$时，△PCD是等腰三角形，
此时$∠ PCD=∠ CPD=30°$，
即$120°-α=30°$，解得$α=90°$；
③当$PC=CD$时，△PCD是等腰三角形，
此时$∠ PDC=∠ CPD=30°$，$∠ PCD=180°-2×30°=120°$，
即$120°-α=120°$，解得$α=0°$，此时点P与点B重合，点D与点A重合，符合题意。
【答案】
当△PCD是等腰三角形时，α的大小是$45°$或$90°$或$0°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的动态探究类问题，解题核心是根据等腰三角形腰的不确定性进行分类讨论，结合角度等量关系列方程求解，解题时要注意不要漏解，同时需验证解是否符合实际的几何位置要求。
【难度系数】
0.6
首先明确已知条件：△ABC中CA=CB，∠ACB=120°，三角尺的∠MPN=30°，故△PCD中∠CPD=30°，∠PCD=∠ACB-∠PCB=120°−α。要判断△PCD是否为等腰三角形，需按等腰三角形的腰的三种可能情况分类讨论：PC=PD、PD=CD、PC=CD，每种情况根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理列关于α的方程求解，最后验证解是否符合几何位置要求即可。
【解析】
△PCD可以是等腰三角形，解题过程如下：
由题意得：∠CPD=30°，∠PCD=120°−α，分三种情况讨论：
①当$PC=PD$时，△PCD是等腰三角形，
根据三角形内角和，$∠ PCD=\frac{1}{2}(180°-∠ CPD)=\frac{1}{2}×(180°-30°)=75°$，
即$120°-α=75°$，解得$α=45°$；
②当$PD=CD$时，△PCD是等腰三角形，
此时$∠ PCD=∠ CPD=30°$，
即$120°-α=30°$，解得$α=90°$；
③当$PC=CD$时，△PCD是等腰三角形，
此时$∠ PDC=∠ CPD=30°$，$∠ PCD=180°-2×30°=120°$，
即$120°-α=120°$，解得$α=0°$，此时点P与点B重合，点D与点A重合，符合题意。
【答案】
当△PCD是等腰三角形时，α的大小是$45°$或$90°$或$0°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的动态探究类问题，解题核心是根据等腰三角形腰的不确定性进行分类讨论，结合角度等量关系列方程求解，解题时要注意不要漏解，同时需验证解是否符合实际的几何位置要求。
【难度系数】
0.6
11. 如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α. 以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC，AD.
(1)求证：∠OBC=∠DAC；
(2)求∠OAD的度数；
(3)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
(1)求证：∠OBC=∠DAC；
(2)求∠OAD的度数；
(3)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
答案
11.(1)证明:
∵△ABC和△ODC都是等边三角形,
∴∠ABC=∠CAB=∠ODC=∠DOC=60°,BC=AC,
CO=CD,∠ACB=∠DCO=60°,
∴∠ACB−∠ACO=∠DCO−∠ACO,
∴∠ACD=∠BCO.
在△BOC和△ADC中,
{BC=AC,
∠BCO=∠ACD,
CO=CD,
∴△BOC≌△ADC(SAS),
∴∠OBC=∠DAC.
(2)解:
∵∠AOB=110°,∠COD=60°,∠BOC=α,
∴∠AOD=360°−∠AOB−∠COD−∠BOC=360°−110°−60°−α=190°−α.
∵△BOC≌△ADC,
∴∠BOC=∠ADC=α,
∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=α−60°,
∴∠OAD=180°−∠AOD−∠ADO=180°−(190°−α)−(α−60°)=50°.
(3)解:①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
∴190°−α=α−60°,
∴α=125°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO,
∴α−60°=50°,
∴α=110°;
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD,
∴190°−α=50°,
∴α=140°.
综上所述,当α为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形.
∵△ABC和△ODC都是等边三角形,
∴∠ABC=∠CAB=∠ODC=∠DOC=60°,BC=AC,
CO=CD,∠ACB=∠DCO=60°,
∴∠ACB−∠ACO=∠DCO−∠ACO,
∴∠ACD=∠BCO.
在△BOC和△ADC中,
{BC=AC,
∠BCO=∠ACD,
CO=CD,
∴△BOC≌△ADC(SAS),
∴∠OBC=∠DAC.
(2)解:
∵∠AOB=110°,∠COD=60°,∠BOC=α,
∴∠AOD=360°−∠AOB−∠COD−∠BOC=360°−110°−60°−α=190°−α.
∵△BOC≌△ADC,
∴∠BOC=∠ADC=α,
∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=α−60°,
∴∠OAD=180°−∠AOD−∠ADO=180°−(190°−α)−(α−60°)=50°.
(3)解:①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
∴190°−α=α−60°,
∴α=125°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO,
∴α−60°=50°,
∴α=110°;
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD,
∴190°−α=50°,
∴α=140°.
综上所述,当α为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形.
解析
【分析】
(1) 要证∠OBC=∠DAC，可通过证明两角所在的三角形全等求解。已知△ABC和△OCD均为等边三角形，可得到对应边相等、内角为60°的条件，通过角的差运算推出∠BCO=∠ACD，即可用SAS判定△BOC≌△ADC，进而得到对应角相等。
(2) 求∠OAD的度数，可利用三角形内角和定理计算：先根据周角为360°推出∠AOD的表达式，再结合全等三角形的性质得到∠ADC=α，减去等边三角形内角60°得到∠ADO的表达式，将两个角代入内角和公式后α会抵消，即可求出∠OAD的固定值。
(3) 判定△AOD为等腰三角形时，由于未明确腰和底，需分三种情况分类讨论：AO=AD、OA=OD、OD=AD，分别根据等腰三角形等边对等角的性质列等式求解α，最后汇总所有符合条件的结果即可。
【解析】
(1)证明:
∵△ABC和△ODC都是等边三角形,
∴∠ABC=∠CAB=∠ODC=∠DOC=60°,BC=AC,
CO=CD,∠ACB=∠DCO=60°,
∴∠ACB−∠ACO=∠DCO−∠ACO,
∴∠ACD=∠BCO.
在△BOC和△ADC中,
$\{\begin{array}{l}BC=AC,\\ ∠ BCO=∠ ACD,\\ CO=CD,\end{array} $
∴△BOC≌△ADC(SAS),
∴∠OBC=∠DAC.
(2)解:
∵∠AOB=110°,∠COD=60°,∠BOC=α,
∴∠AOD=360°−∠AOB−∠COD−∠BOC=360°−110°−60°−α=190°−α.
∵△BOC≌△ADC,
∴∠BOC=∠ADC=α,
∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=α−60°,
∴∠OAD=180°−∠AOD−∠ADO=180°−(190°−α)−(α−60°)=50°.
(3)解:①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
∴190°−α=α−60°,
∴α=125°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO,
∴α−60°=50°,
∴α=110°;
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD,
∴190°−α=50°,
∴α=140°.
综上所述,当α为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形.
【答案】
(1) 可证∠OBC=∠DAC；
(2) $\boldsymbol{50°}$；
(3) $\boldsymbol{110°}$或$\boldsymbol{125°}$或$\boldsymbol{140°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题综合考查了三角形全等、特殊三角形的性质，核心是通过全等实现角的等量转化，第三问的分类讨论是易错点，解题时要明确等腰三角形腰和底不明确时需分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 要证∠OBC=∠DAC，可通过证明两角所在的三角形全等求解。已知△ABC和△OCD均为等边三角形，可得到对应边相等、内角为60°的条件，通过角的差运算推出∠BCO=∠ACD，即可用SAS判定△BOC≌△ADC，进而得到对应角相等。
(2) 求∠OAD的度数，可利用三角形内角和定理计算：先根据周角为360°推出∠AOD的表达式，再结合全等三角形的性质得到∠ADC=α，减去等边三角形内角60°得到∠ADO的表达式，将两个角代入内角和公式后α会抵消，即可求出∠OAD的固定值。
(3) 判定△AOD为等腰三角形时，由于未明确腰和底，需分三种情况分类讨论：AO=AD、OA=OD、OD=AD，分别根据等腰三角形等边对等角的性质列等式求解α，最后汇总所有符合条件的结果即可。
【解析】
(1)证明:
∵△ABC和△ODC都是等边三角形,
∴∠ABC=∠CAB=∠ODC=∠DOC=60°,BC=AC,
CO=CD,∠ACB=∠DCO=60°,
∴∠ACB−∠ACO=∠DCO−∠ACO,
∴∠ACD=∠BCO.
在△BOC和△ADC中,
$\{\begin{array}{l}BC=AC,\\ ∠ BCO=∠ ACD,\\ CO=CD,\end{array} $
∴△BOC≌△ADC(SAS),
∴∠OBC=∠DAC.
(2)解:
∵∠AOB=110°,∠COD=60°,∠BOC=α,
∴∠AOD=360°−∠AOB−∠COD−∠BOC=360°−110°−60°−α=190°−α.
∵△BOC≌△ADC,
∴∠BOC=∠ADC=α,
∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=α−60°,
∴∠OAD=180°−∠AOD−∠ADO=180°−(190°−α)−(α−60°)=50°.
(3)解:①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
∴190°−α=α−60°,
∴α=125°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO,
∴α−60°=50°,
∴α=110°;
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD,
∴190°−α=50°,
∴α=140°.
综上所述,当α为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形.
【答案】
(1) 可证∠OBC=∠DAC；
(2) $\boldsymbol{50°}$；
(3) $\boldsymbol{110°}$或$\boldsymbol{125°}$或$\boldsymbol{140°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题综合考查了三角形全等、特殊三角形的性质，核心是通过全等实现角的等量转化，第三问的分类讨论是易错点，解题时要明确等腰三角形腰和底不明确时需分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
12.如图,在$△ ABC$中,$AC=BC,∠ ACB=90°$,将$△ ABC$绕点$C$逆时针旋转$α$角$(0°＜α＜90°)$,得到$△ A_1B_1C$,连接$BB_1$,设$CB_1$交$AB$于点$D$,$A_1B_1$分别交$AB$,$AC$于点$E$,$F$.
(1)求证:$△ CBD≌△ CA_1F$;
(2)试用含$α$的代数式表示$∠ B_1BD$的度数;
(3)当$α$等于多少度时,$△ BB_1D$是等腰三角形?
(1)求证:$△ CBD≌△ CA_1F$;
(2)试用含$α$的代数式表示$∠ B_1BD$的度数;
(3)当$α$等于多少度时,$△ BB_1D$是等腰三角形?
答案
12.(1)证明:
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC.
∵△ABC绕点C逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)得到△A₁B₁C,
∴∠A₁=∠A,A₁C=AC=BC,∠ACA₁=∠BCB₁=α,
∴∠A₁=∠CBD.
在△CBD与△CA₁F中,
{∠CBD=∠CA₁F,
BC=A₁C,
∠BCD=∠A₁CF,
∴△CBD≌△CA₁F(ASA).
(2)解:
∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
又由旋转的性质得到BC=B₁C,
∴∠CB₁B=∠CBB₁=(180°−α)/2=90°−α/2,
∴∠B₁BD=∠CBB₁−∠CBA=90°−α/2−45°=45°−α/2.
(3)解:由(2)知∠CBB₁=∠CB₁B=1/2(180°−α),
∠B₁BD=45°−α/2.
由题意知∠B₁DB=45°+α.
①若B₁B=B₁D,则∠B₁DB=∠B₁BD,
即45°+α=45°−α/2,
∴α=0°(舍去);
②
∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD,
∴BD＞B₁D,即BD≠B₁D;
③若BB₁=BD,则∠BDB₁=∠BB₁D,
即45°+α=1/2(180°−α),
∴α=30°.
综上可知,当α=30°时,△BB₁D为等腰三角形.
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC.
∵△ABC绕点C逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)得到△A₁B₁C,
∴∠A₁=∠A,A₁C=AC=BC,∠ACA₁=∠BCB₁=α,
∴∠A₁=∠CBD.
在△CBD与△CA₁F中,
{∠CBD=∠CA₁F,
BC=A₁C,
∠BCD=∠A₁CF,
∴△CBD≌△CA₁F(ASA).
(2)解:
∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
又由旋转的性质得到BC=B₁C,
∴∠CB₁B=∠CBB₁=(180°−α)/2=90°−α/2,
∴∠B₁BD=∠CBB₁−∠CBA=90°−α/2−45°=45°−α/2.
(3)解:由(2)知∠CBB₁=∠CB₁B=1/2(180°−α),
∠B₁BD=45°−α/2.
由题意知∠B₁DB=45°+α.
①若B₁B=B₁D,则∠B₁DB=∠B₁BD,
即45°+α=45°−α/2,
∴α=0°(舍去);
②
∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD,
∴BD＞B₁D,即BD≠B₁D;
③若BB₁=BD,则∠BDB₁=∠BB₁D,
即45°+α=1/2(180°−α),
∴α=30°.
综上可知,当α=30°时,△BB₁D为等腰三角形.
解析
【分析】
(1)证明三角形全等需要找到对应的边角相等条件：先由等腰直角三角形的性质得∠A=∠ABC，再结合旋转的性质，得到∠A₁=∠A、A₁C=BC、∠BCD=∠A₁CF，即可用ASA判定全等。
(2)求∠B₁BD的度数：先由旋转得CB=CB₁，可知△CBB₁为等腰三角形，根据三角形内角和算出等腰△CBB₁的底角∠CBB₁，再减去原等腰直角三角形的底角∠CBA=45°，即可得到结果。
(3)判断△BB₁D为等腰三角形时α的取值：等腰三角形需分三种情况讨论腰的组合，分别根据等边对等角列关于α的方程求解，再结合0°＜α＜90°的范围舍去不符合要求的解，即可得到最终结果。
【解析】
(1)证明:
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC.
∵△ABC绕点C逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)得到△A₁B₁C,
∴∠A₁=∠A,A₁C=AC=BC,∠ACA₁=∠BCB₁=α,
∴∠A₁=∠CBD.
在△CBD与△CA₁F中,
$\{\begin{array}{l}∠ CBD=∠ CA_{1}F,\\ BC=A_{1}C,\\ ∠ BCD=∠ A_{1}CF,\end{array} $
∴△CBD≌△CA₁F(ASA).
(2)解:
∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
又由旋转的性质得到BC=B₁C,
∴∠CB₁B=∠CBB₁=$\frac{180°−α}{2}=90°−\frac{α}{2}$,
∴∠B₁BD=∠CBB₁−∠CBA=$90°−\frac{α}{2}−45°=45°−\frac{α}{2}$.
(3)解:由(2)知∠CBB₁=∠CB₁B=$\frac{1}{2}(180°−α)$,
∠B₁BD=$45°−\frac{α}{2}$.
由题意知∠B₁DB=45°+α.
①若B₁B=B₁D,则∠B₁DB=∠B₁BD,
即$45°+α=45°−\frac{α}{2}$,
∴α=0°(舍去);
②
∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD,
∴BD＞B₁D,即BD≠B₁D;
③若BB₁=BD,则∠BDB₁=∠BB₁D,
即$45°+α=\frac{1}{2}(180°−α)$,
∴α=30°.
综上可知,当α=30°时,△BB₁D为等腰三角形.
【答案】
(1)△CBD≌△CA₁F，证明成立；
(2)$∠ B_1BD=45°-\frac{α}{2}$；
(3)当$α=30°$时，△BB₁D是等腰三角形。
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了旋转、三角形全等证明、等腰三角形的判定与性质，解题时需熟练运用旋转前后图形对应边、对应角相等的性质，在判断等腰三角形时要注意分类讨论，做到不重不漏，同时要结合角的取值范围舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
(1)证明三角形全等需要找到对应的边角相等条件：先由等腰直角三角形的性质得∠A=∠ABC，再结合旋转的性质，得到∠A₁=∠A、A₁C=BC、∠BCD=∠A₁CF，即可用ASA判定全等。
(2)求∠B₁BD的度数：先由旋转得CB=CB₁，可知△CBB₁为等腰三角形，根据三角形内角和算出等腰△CBB₁的底角∠CBB₁，再减去原等腰直角三角形的底角∠CBA=45°，即可得到结果。
(3)判断△BB₁D为等腰三角形时α的取值：等腰三角形需分三种情况讨论腰的组合，分别根据等边对等角列关于α的方程求解，再结合0°＜α＜90°的范围舍去不符合要求的解，即可得到最终结果。
【解析】
(1)证明:
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC.
∵△ABC绕点C逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)得到△A₁B₁C,
∴∠A₁=∠A,A₁C=AC=BC,∠ACA₁=∠BCB₁=α,
∴∠A₁=∠CBD.
在△CBD与△CA₁F中,
$\{\begin{array}{l}∠ CBD=∠ CA_{1}F,\\ BC=A_{1}C,\\ ∠ BCD=∠ A_{1}CF,\end{array} $
∴△CBD≌△CA₁F(ASA).
(2)解:
∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
又由旋转的性质得到BC=B₁C,
∴∠CB₁B=∠CBB₁=$\frac{180°−α}{2}=90°−\frac{α}{2}$,
∴∠B₁BD=∠CBB₁−∠CBA=$90°−\frac{α}{2}−45°=45°−\frac{α}{2}$.
(3)解:由(2)知∠CBB₁=∠CB₁B=$\frac{1}{2}(180°−α)$,
∠B₁BD=$45°−\frac{α}{2}$.
由题意知∠B₁DB=45°+α.
①若B₁B=B₁D,则∠B₁DB=∠B₁BD,
即$45°+α=45°−\frac{α}{2}$,
∴α=0°(舍去);
②
∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD,
∴BD＞B₁D,即BD≠B₁D;
③若BB₁=BD,则∠BDB₁=∠BB₁D,
即$45°+α=\frac{1}{2}(180°−α)$,
∴α=30°.
综上可知,当α=30°时,△BB₁D为等腰三角形.
【答案】
(1)△CBD≌△CA₁F，证明成立；
(2)$∠ B_1BD=45°-\frac{α}{2}$；
(3)当$α=30°$时，△BB₁D是等腰三角形。
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了旋转、三角形全等证明、等腰三角形的判定与性质，解题时需熟练运用旋转前后图形对应边、对应角相等的性质，在判断等腰三角形时要注意分类讨论，做到不重不漏，同时要结合角的取值范围舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
