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1. 等腰三角形的两条边长分别为 6 cm 和 10 cm，则周长为
26或22
cm.答案
1. 26 或 22
解析
【分析】
本题考查等腰三角形周长计算，解题思路如下：首先等腰三角形两条边相等，题目给出的两条边长未明确哪条是腰、哪条是底边，因此需要分两种情况讨论；其次，每种情况得到的三边长需要验证是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），排除无法构成三角形的情况，最后分别计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当腰长为6 cm时，三角形三边长为6 cm，6 cm，10 cm。
验证三边关系：$6+6=12＞10$，满足三角形三边构成条件，
此时周长为：$6+6+10=22\ \mathrm{cm}$。
2. 当腰长为10 cm时，三角形三边长为10 cm，10 cm，6 cm。
验证三边关系：$10+6=16＞10$，满足三角形三边构成条件，
此时周长为：$10+10+6=26\ \mathrm{cm}$。
综上，三角形周长为22 cm或26 cm。
【答案】
26或22
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的基础题型，解题关键是明确当题目未明确等腰三角形的腰和底边时，需分情况讨论，同时要注意验证三边是否能构成三角形，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
本题考查等腰三角形周长计算，解题思路如下：首先等腰三角形两条边相等，题目给出的两条边长未明确哪条是腰、哪条是底边，因此需要分两种情况讨论；其次，每种情况得到的三边长需要验证是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），排除无法构成三角形的情况，最后分别计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当腰长为6 cm时，三角形三边长为6 cm，6 cm，10 cm。
验证三边关系：$6+6=12＞10$，满足三角形三边构成条件，
此时周长为：$6+6+10=22\ \mathrm{cm}$。
2. 当腰长为10 cm时，三角形三边长为10 cm，10 cm，6 cm。
验证三边关系：$10+6=16＞10$，满足三角形三边构成条件，
此时周长为：$10+10+6=26\ \mathrm{cm}$。
综上，三角形周长为22 cm或26 cm。
【答案】
26或22
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的基础题型，解题关键是明确当题目未明确等腰三角形的腰和底边时，需分情况讨论，同时要注意验证三边是否能构成三角形，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
2. 已知等腰三角形的一个外角等于$100°$，则它的底角等于
80°或50°
.答案
2. 80°或 50°
解析
【分析】
本题考查等腰三角形的角度计算，由于未明确100°的外角是顶角的外角还是底角的外角，因此需要分类讨论：首先根据外角与相邻内角互补求出对应的内角度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质分别计算两种情况下的底角，最后验证结果是否符合三角形内角要求即可。
【解析】
已知等腰三角形的一个外角等于100°，分两种情况讨论：
1. 若该外角是等腰三角形顶角的外角：
则顶角的度数为$180° - 100° = 80°$，
因为等腰三角形两个底角相等，且三角形内角和为$180°$，
所以底角的度数为$(180° - 80°) ÷ 2 = 50°$；
2. 若该外角是等腰三角形底角的外角：
则底角的度数为$180° - 100° = 80°$。
两种情况均满足三角形内角和定理，均成立。
【答案】
$80°$或$50°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常见题型，解题核心是树立分类讨论的意识，明确外角的位置有两种可能，避免漏解，得出结果后可通过三角形内角和定理验证结果是否合理。
【难度系数】
0.7
本题考查等腰三角形的角度计算，由于未明确100°的外角是顶角的外角还是底角的外角，因此需要分类讨论：首先根据外角与相邻内角互补求出对应的内角度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质分别计算两种情况下的底角，最后验证结果是否符合三角形内角要求即可。
【解析】
已知等腰三角形的一个外角等于100°，分两种情况讨论：
1. 若该外角是等腰三角形顶角的外角：
则顶角的度数为$180° - 100° = 80°$，
因为等腰三角形两个底角相等，且三角形内角和为$180°$，
所以底角的度数为$(180° - 80°) ÷ 2 = 50°$；
2. 若该外角是等腰三角形底角的外角：
则底角的度数为$180° - 100° = 80°$。
两种情况均满足三角形内角和定理，均成立。
【答案】
$80°$或$50°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常见题型，解题核心是树立分类讨论的意识，明确外角的位置有两种可能，避免漏解，得出结果后可通过三角形内角和定理验证结果是否合理。
【难度系数】
0.7
3. 已知$△ ABC$是等腰三角形，若$∠ A=20°$，则$∠ B$的度数为________.
答案
3. 20°或 80°或 140°
解析
【分析】
已知△ABC是等腰三角形但未明确∠A是顶角还是底角，也未明确∠B的角类型，因此需要结合等腰三角形“两底角相等”的性质，分三类讨论计算∠B的度数，每类计算后需验证是否符合三角形内角和为180°的要求，避免漏解。
【解析】
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分三种情况讨论：
1. 当∠A为等腰三角形的顶角时，∠B和∠C是相等的底角：
$∠ B=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-20°}{2}=80°$；
2. 当∠A为底角，∠B也为底角时，根据等腰三角形两底角相等：
$∠ B=∠ A=20°$；
3. 当∠A为底角，∠B为顶角时，另一个底角∠C=∠A=20°：
$∠ B=180°-2×∠ A=180°-2×20°=140°$。
以上三种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
【答案】
20°或80°或140°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常见题型，易错点是忽略未指定角的身份导致漏解，解题时需对已知角、所求角的类型分别进行分类讨论，同时要验证计算结果是否符合三角形内角的取值范围。
【难度系数】
0.6
已知△ABC是等腰三角形但未明确∠A是顶角还是底角，也未明确∠B的角类型，因此需要结合等腰三角形“两底角相等”的性质，分三类讨论计算∠B的度数，每类计算后需验证是否符合三角形内角和为180°的要求，避免漏解。
【解析】
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分三种情况讨论：
1. 当∠A为等腰三角形的顶角时，∠B和∠C是相等的底角：
$∠ B=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-20°}{2}=80°$；
2. 当∠A为底角，∠B也为底角时，根据等腰三角形两底角相等：
$∠ B=∠ A=20°$；
3. 当∠A为底角，∠B为顶角时，另一个底角∠C=∠A=20°：
$∠ B=180°-2×∠ A=180°-2×20°=140°$。
以上三种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
【答案】
20°或80°或140°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常见题型，易错点是忽略未指定角的身份导致漏解，解题时需对已知角、所求角的类型分别进行分类讨论，同时要验证计算结果是否符合三角形内角的取值范围。
【难度系数】
0.6
4. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$48°$,则其底角的度数为
69°或21°
.答案
4. 69°或 21°
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形腰上的高的位置不唯一，需分两种情况讨论：①等腰三角形为锐角三角形，此时腰上的高在三角形内部；②等腰三角形为钝角三角形，此时腰上的高在三角形外部。先根据直角三角形两锐角互余求出顶角的度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算底角的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
∵高与另一腰的夹角为48°，高与腰的夹角为直角90°，
∴顶角 = 90° - 48° = 42°，
∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，
∴底角 = (180° - 42°) ÷ 2 = 69°。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
∵高与另一腰的夹角为48°，高与腰的延长线的夹角为直角90°，
∴顶角的邻补角 = 90° - 48° = 42°，
∴顶角 = 180° - 42° = 138°，
∴底角 = (180° - 138°) ÷ 2 = 21°。
综上，底角的度数为69°或21°。
【答案】
69°或21°
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，易错点是忽略钝角三角形腰上的高在外部的情况，导致漏解，解题时要结合图形分析高的位置，全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确等腰三角形腰上的高的位置不唯一，需分两种情况讨论：①等腰三角形为锐角三角形，此时腰上的高在三角形内部；②等腰三角形为钝角三角形，此时腰上的高在三角形外部。先根据直角三角形两锐角互余求出顶角的度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算底角的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
∵高与另一腰的夹角为48°，高与腰的夹角为直角90°，
∴顶角 = 90° - 48° = 42°，
∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，
∴底角 = (180° - 42°) ÷ 2 = 69°。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
∵高与另一腰的夹角为48°，高与腰的延长线的夹角为直角90°，
∴顶角的邻补角 = 90° - 48° = 42°，
∴顶角 = 180° - 42° = 138°，
∴底角 = (180° - 138°) ÷ 2 = 21°。
综上，底角的度数为69°或21°。
【答案】
69°或21°
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，易错点是忽略钝角三角形腰上的高在外部的情况，导致漏解，解题时要结合图形分析高的位置，全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
5.在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB$的垂直平分线与$AC$所在直线相交所得的锐角为$40°$，则底角$∠ B$的度数为________.
答案
5. 65°或 25°
解析
【分析】
本题需结合等腰三角形的特性分类讨论，解题关键是注意“AC所在直线”的表述：AB的垂直平分线与AC的交点既可能在AC边上，也可能在CA的延长线上，因此要分顶角为锐角、顶角为钝角两种情况分析。先通过垂直平分线的直角和已知的40°锐角求出顶角的度数，再利用等腰三角形两底角相等的性质计算底角∠B的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当顶角∠BAC为锐角时：
设AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，由垂直平分线定义得∠AED=90°，已知相交所得锐角∠ADE=40°，在Rt△AED中，∠A=90°-40°=50°。
∵AB=AC，
∴底角$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-50°)÷2=65°$。
2. 当顶角∠BAC为钝角时：
设AB的垂直平分线交AB于点E，交CA的延长线于点D，同理得∠AED=90°，相交锐角∠ADE=40°，在Rt△AED中，∠DAE=90°-40°=50°，则顶角$∠ BAC=180°-50°=130°$。
∵AB=AC，
∴底角$∠ B=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-130°)÷2=25°$。
【答案】
65°或25°
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略“所在直线”的条件，仅考虑交点在AC边上的情况，漏算顶角为钝角时的结果。解题时遇到涉及直线相交的几何问题，要注意考虑交点的不同位置，分类讨论做到不重不漏。
【难度系数】
0.6
本题需结合等腰三角形的特性分类讨论，解题关键是注意“AC所在直线”的表述：AB的垂直平分线与AC的交点既可能在AC边上，也可能在CA的延长线上，因此要分顶角为锐角、顶角为钝角两种情况分析。先通过垂直平分线的直角和已知的40°锐角求出顶角的度数，再利用等腰三角形两底角相等的性质计算底角∠B的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当顶角∠BAC为锐角时：
设AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，由垂直平分线定义得∠AED=90°，已知相交所得锐角∠ADE=40°，在Rt△AED中，∠A=90°-40°=50°。
∵AB=AC，
∴底角$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-50°)÷2=65°$。
2. 当顶角∠BAC为钝角时：
设AB的垂直平分线交AB于点E，交CA的延长线于点D，同理得∠AED=90°，相交锐角∠ADE=40°，在Rt△AED中，∠DAE=90°-40°=50°，则顶角$∠ BAC=180°-50°=130°$。
∵AB=AC，
∴底角$∠ B=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-130°)÷2=25°$。
【答案】
65°或25°
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略“所在直线”的条件，仅考虑交点在AC边上的情况，漏算顶角为钝角时的结果。解题时遇到涉及直线相交的几何问题，要注意考虑交点的不同位置，分类讨论做到不重不漏。
【难度系数】
0.6
6. 已知$△ ABC$是等腰三角形，过$△ ABC$的一个顶点的一条直线，把$△ ABC$分成两个小三角形，如果这两个小三角形也是等腰三角形，试求出$△ ABC$各内角的度数.（写出所有的情况）
答案
6.解:一共有4种情况.
如答图①,△ABC是等腰三角形,AB=AC,线段AD过顶点A.根据题意可知,△ABD,△ACD是等腰三角形,且AD=BD,AD=CD,
那么∠B=∠BAD=∠CAD=∠C,
利用三角形内角和定理可知,
∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°,
解得∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°,∠BAC=90°.
如答图②,AB=AC=CD,AD=BD,
设∠B=x,则∠BAD=∠ACB=x,
∴∠ADC=2x,
∵AC=CD,
∴∠CAD=2x,
∴∠BAC=3x,
∴x+3x+x=180°,解得x=36°,
∴∠B=∠C=36°,∠BAC=108°.
如答图③,AB=AC,AD=BD=BC,
设∠A=x,则∠ABD=x,
∴∠BDC=2x,
∵BD=BC,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=2x,
∴x+2x+2x=180°,
∴x=36°,
∴∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
如答图④,AB=AC,BC=CD,AD=BD.
设∠A=x,则∠ABD=x,
∠BDC=∠DBC=2x,
∴∠ABC=∠C=3x,
∴x+3x+3x=180°,
∴x=180°/7,
∴∠A=180°/7,∠ABC=∠C=540°/7.
解析
【分析】
解决本题需运用分类讨论思想，步骤如下：①先明确原△ABC为等腰三角形，设AB=AC即∠B=∠C，减少重复分类；②分两大类讨论分割线的位置：第一类是分割线过顶角顶点A，第二类是分割线过底角顶点B（过底角C和过B对称，结果一致无需重复讨论）；③每一类下再根据分割出的两个小等腰三角形的边的对应关系，结合等腰三角形“等边对等角”的性质用未知数表示各角度，最后利用三角形内角和为180°列方程求解，注意验证结果是否符合三角形内角要求，避免漏解、错解。
【解析】
一共分4种情况讨论：
1. 对应题图①：AB=AC，分割线AD过顶点A，△ABD、△ACD均为等腰三角形，且AD=BD，AD=CD。
由等边对等角得∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，结合AB=AC得∠B=∠C，因此∠B=∠BAD=∠CAD=∠C。
根据三角形内角和定理：∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，即4∠B=180°，解得∠B=∠C=45°，∠BAC=90°。
2. 对应题图②：AB=AC，分割线AD过顶点A，△ABD、△ACD均为等腰三角形，且AD=BD，AC=CD。
设∠B=x，由AB=AC得∠ACB=∠B=x，由AD=BD得∠BAD=∠B=x；∠ADC是△ABD的外角，因此∠ADC=∠B+∠BAD=2x，由AC=CD得∠CAD=∠ADC=2x，故∠BAC=3x。
根据三角形内角和：x+3x+x=180°，解得x=36°，因此∠B=∠C=36°，∠BAC=108°。
3. 对应题图③：AB=AC，分割线BD过顶点B，△ABD、△BCD均为等腰三角形，且AD=BD，BD=BC。
设∠A=x，由AD=BD得∠ABD=∠A=x；∠BDC是△ABD的外角，因此∠BDC=∠A+∠ABD=2x，由BD=BC得∠C=∠BDC=2x，结合AB=AC得∠ABC=∠C=2x。
根据三角形内角和：x+2x+2x=180°，解得x=36°，因此∠A=36°，∠ABC=∠C=72°。
4. 对应题图④：AB=AC，分割线BD过顶点B，△ABD、△BCD均为等腰三角形，且AD=BD，BC=CD。
设∠A=x，由AD=BD得∠ABD=∠A=x；∠BDC是△ABD的外角，因此∠BDC=∠A+∠ABD=2x，由BC=CD得∠DBC=∠BDC=2x，故∠ABC=3x，结合AB=AC得∠C=∠ABC=3x。
根据三角形内角和：x+3x+3x=180°，解得x=$\frac{180°}{7}$，因此∠A=$\frac{180°}{7}$，∠ABC=∠C=$\frac{540°}{7}$。
【答案】
一共有4种情况：
①∠BAC=90°，∠B=∠C=45°；
②∠BAC=108°，∠B=∠C=36°；
③∠A=36°，∠ABC=∠C=72°；
④∠A=$\frac{180°}{7}$，∠ABC=∠C=$\frac{540°}{7}$。
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形内角和定理
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，需要按照分割线经过的顶点类型、小等腰三角形的边的对应关系逐步分类，避免重复和遗漏，解题时结合方程思想表示各角度，考察学生逻辑思维的严谨性和对三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.3
解决本题需运用分类讨论思想，步骤如下：①先明确原△ABC为等腰三角形，设AB=AC即∠B=∠C，减少重复分类；②分两大类讨论分割线的位置：第一类是分割线过顶角顶点A，第二类是分割线过底角顶点B（过底角C和过B对称，结果一致无需重复讨论）；③每一类下再根据分割出的两个小等腰三角形的边的对应关系，结合等腰三角形“等边对等角”的性质用未知数表示各角度，最后利用三角形内角和为180°列方程求解，注意验证结果是否符合三角形内角要求，避免漏解、错解。
【解析】
一共分4种情况讨论：
1. 对应题图①：AB=AC，分割线AD过顶点A，△ABD、△ACD均为等腰三角形，且AD=BD，AD=CD。
由等边对等角得∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，结合AB=AC得∠B=∠C，因此∠B=∠BAD=∠CAD=∠C。
根据三角形内角和定理：∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°，即4∠B=180°，解得∠B=∠C=45°，∠BAC=90°。
2. 对应题图②：AB=AC，分割线AD过顶点A，△ABD、△ACD均为等腰三角形，且AD=BD，AC=CD。
设∠B=x，由AB=AC得∠ACB=∠B=x，由AD=BD得∠BAD=∠B=x；∠ADC是△ABD的外角，因此∠ADC=∠B+∠BAD=2x，由AC=CD得∠CAD=∠ADC=2x，故∠BAC=3x。
根据三角形内角和：x+3x+x=180°，解得x=36°，因此∠B=∠C=36°，∠BAC=108°。
3. 对应题图③：AB=AC，分割线BD过顶点B，△ABD、△BCD均为等腰三角形，且AD=BD，BD=BC。
设∠A=x，由AD=BD得∠ABD=∠A=x；∠BDC是△ABD的外角，因此∠BDC=∠A+∠ABD=2x，由BD=BC得∠C=∠BDC=2x，结合AB=AC得∠ABC=∠C=2x。
根据三角形内角和：x+2x+2x=180°，解得x=36°，因此∠A=36°，∠ABC=∠C=72°。
4. 对应题图④：AB=AC，分割线BD过顶点B，△ABD、△BCD均为等腰三角形，且AD=BD，BC=CD。
设∠A=x，由AD=BD得∠ABD=∠A=x；∠BDC是△ABD的外角，因此∠BDC=∠A+∠ABD=2x，由BC=CD得∠DBC=∠BDC=2x，故∠ABC=3x，结合AB=AC得∠C=∠ABC=3x。
根据三角形内角和：x+3x+3x=180°，解得x=$\frac{180°}{7}$，因此∠A=$\frac{180°}{7}$，∠ABC=∠C=$\frac{540°}{7}$。
【答案】
一共有4种情况：
①∠BAC=90°，∠B=∠C=45°；
②∠BAC=108°，∠B=∠C=36°；
③∠A=36°，∠ABC=∠C=72°；
④∠A=$\frac{180°}{7}$，∠ABC=∠C=$\frac{540°}{7}$。
【知识点】
1. 等腰三角形的性质
2. 三角形内角和定理
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，需要按照分割线经过的顶点类型、小等腰三角形的边的对应关系逐步分类，避免重复和遗漏，解题时结合方程思想表示各角度，考察学生逻辑思维的严谨性和对三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.3
7.在$△ ABC$中，$∠ A=80°$，过$△ ABC$的顶点$B$的直线将$△ ABC$分割成两个等腰三角形，求$∠ C$的度数.（请画图分析）
答案
7.解:如答图①,
∵AB=BD=CD,∠A=80°,
∴∠ADB=∠A=80°,∠DBC=∠C.
∵∠ADB=∠DBC+∠C,
∴∠C=1/2∠ADB=40°.
如答图②,
∵AB=AD,CD=BD,∠A=80°,
∴∠ADB=∠ABD=1/2(180°−∠A)=50°,∠DBC=∠C.
∵∠ADB=∠DBC+∠C,
∴∠C=1/2∠ADB=25°.
如答图③,
∵AD=BD=CD,
∴∠A=∠DBA=80°,
∴∠C=∠DBC=(180°−2×80°)/2=10°.
综上所述,∠C的度数为40°或25°或10°.
解析
【分析】
解决本题首先明确过点B的直线交AC于点D，可将△ABC分为△ABD和△BCD两个等腰三角形，由于等腰三角形的腰未明确，需分类讨论△ABD的等边组合，共有3种情况：AB=BD、AB=AD、AD=BD。每种情况结合△BCD也是等腰三角形的条件，利用等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角性质、三角形内角和定理，分别计算∠C的度数，最后汇总所有符合条件的结果即可。
【解析】
设过点B的直线交AC于点D，分以下3种情况讨论：
1. 如图①，当$AB=BD=CD$时：
∵$AB=BD$，$∠ A=80°$，
∴$∠ ADB=∠ A=80°$（等边对等角）。
又
∵$BD=CD$，
∴$∠ DBC=∠ C$，
∵$∠ ADB$是$△ BCD$的外角，
∴$∠ ADB=∠ DBC+∠ C=2∠ C$，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ ADB=\frac{1}{2}×80°=40°$。
2. 如图②，当$AB=AD$，$CD=BD$时：
∵$AB=AD$，$∠ A=80°$，
∴$∠ ADB=∠ ABD=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-80°)=50°$。
又
∵$BD=CD$，
∴$∠ DBC=∠ C$，
∵$∠ ADB$是$△ BCD$的外角，
∴$∠ ADB=∠ DBC+∠ C=2∠ C$，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ ADB=\frac{1}{2}×50°=25°$。
3. 如图③，当$AD=BD=CD$时：
∵$AD=BD$，$∠ A=80°$，
∴$∠ ABD=∠ A=80°$（等边对等角）。
又
∵$BD=CD$，
∴$∠ DBC=∠ C$，
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$，其中$∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC=80°+∠ C$，
代入得$80°+80°+∠ C+∠ C=180°$，
解得$∠ C=10°$。
【答案】
$∠ C$的度数为$40°$或$25°$或$10°$。
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题核心是根据分割后等腰三角形腰的不确定性分类讨论，结合三角形角度相关性质计算，注意不要遗漏可能的情况。
【难度系数】
0.5
解决本题首先明确过点B的直线交AC于点D，可将△ABC分为△ABD和△BCD两个等腰三角形，由于等腰三角形的腰未明确，需分类讨论△ABD的等边组合，共有3种情况：AB=BD、AB=AD、AD=BD。每种情况结合△BCD也是等腰三角形的条件，利用等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角性质、三角形内角和定理，分别计算∠C的度数，最后汇总所有符合条件的结果即可。
【解析】
设过点B的直线交AC于点D，分以下3种情况讨论：
1. 如图①，当$AB=BD=CD$时：
∵$AB=BD$，$∠ A=80°$，
∴$∠ ADB=∠ A=80°$（等边对等角）。
又
∵$BD=CD$，
∴$∠ DBC=∠ C$，
∵$∠ ADB$是$△ BCD$的外角，
∴$∠ ADB=∠ DBC+∠ C=2∠ C$，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ ADB=\frac{1}{2}×80°=40°$。
2. 如图②，当$AB=AD$，$CD=BD$时：
∵$AB=AD$，$∠ A=80°$，
∴$∠ ADB=∠ ABD=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-80°)=50°$。
又
∵$BD=CD$，
∴$∠ DBC=∠ C$，
∵$∠ ADB$是$△ BCD$的外角，
∴$∠ ADB=∠ DBC+∠ C=2∠ C$，
∴$∠ C=\frac{1}{2}∠ ADB=\frac{1}{2}×50°=25°$。
3. 如图③，当$AD=BD=CD$时：
∵$AD=BD$，$∠ A=80°$，
∴$∠ ABD=∠ A=80°$（等边对等角）。
又
∵$BD=CD$，
∴$∠ DBC=∠ C$，
在$△ ABC$中，$∠ A+∠ ABC+∠ C=180°$，其中$∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC=80°+∠ C$，
代入得$80°+80°+∠ C+∠ C=180°$，
解得$∠ C=10°$。
【答案】
$∠ C$的度数为$40°$或$25°$或$10°$。
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形分类讨论的典型题型，解题核心是根据分割后等腰三角形腰的不确定性分类讨论，结合三角形角度相关性质计算，注意不要遗漏可能的情况。
【难度系数】
0.5
8.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=50°$,$∠ C=90°$,在射线$BA$上找一点$D$,使$△ ACD$为等腰三角形,则$∠ ACD$的度数为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
8. 70°或 40°或 20°
解析
【分析】
首先根据三角形内角和定理计算出△ABC中∠BAC的度数，要使△ACD为等腰三角形，需结合射线BA的范围（包含线段BA和BA的延长线两部分），分三种情况讨论等腰三角形的腰的组合，再根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，分别计算每种情况下∠ACD的度数，避免漏解。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B=180°-90°-50°=40°。
分三种情况讨论△ACD为等腰三角形：
1. 当$AD=CD$时，根据等边对等角，$∠ ACD=∠ BAC=40°$；
2. 当$AC=AD$，且点D在线段BA上时，△ACD中$AC=AD$，顶角$∠ CAD=40°$，
∴$∠ ACD=(180°-∠ CAD)÷2=(180°-40°)÷2=70°$；
3. 当$AC=AD$，且点D在BA的延长线上时，$∠ CAD=180°-∠ BAC=180°-40°=140°$，
△ACD中$AC=AD$，
∴$∠ ACD=(180°-∠ CAD)÷2=(180°-140°)÷2=20°$。
【答案】
70°或40°或20°
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质的应用，解题的关键是明确射线的范围，做到不重不漏分类讨论，易错点是忽略点D在BA延长线上的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.6
首先根据三角形内角和定理计算出△ABC中∠BAC的度数，要使△ACD为等腰三角形，需结合射线BA的范围（包含线段BA和BA的延长线两部分），分三种情况讨论等腰三角形的腰的组合，再根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，分别计算每种情况下∠ACD的度数，避免漏解。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B=180°-90°-50°=40°。
分三种情况讨论△ACD为等腰三角形：
1. 当$AD=CD$时，根据等边对等角，$∠ ACD=∠ BAC=40°$；
2. 当$AC=AD$，且点D在线段BA上时，△ACD中$AC=AD$，顶角$∠ CAD=40°$，
∴$∠ ACD=(180°-∠ CAD)÷2=(180°-40°)÷2=70°$；
3. 当$AC=AD$，且点D在BA的延长线上时，$∠ CAD=180°-∠ BAC=180°-40°=140°$，
△ACD中$AC=AD$，
∴$∠ ACD=(180°-∠ CAD)÷2=(180°-140°)÷2=20°$。
【答案】
70°或40°或20°
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形性质的应用，解题的关键是明确射线的范围，做到不重不漏分类讨论，易错点是忽略点D在BA延长线上的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.6
9.如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB=AC$,$∠B=50°$,$D$为$BC$的中点,点$E$在$AB$上,$∠AED=70°$,若$P$是等腰三角形$ABC$的腰上的一点,则当$△ DEP$是以$∠EDP$为顶角的等腰三角形时,$∠EDP$的度数是 .
答案
9. 40°或 100°或 140°
解析
【分析】
首先根据等腰三角形等边对等角的性质，先算出△ABC的三个内角的度数，再利用三角形外角的性质求出∠EDB的度数。题目要求△EDP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，说明两腰为DE和DP，即DE=DP，且点P在△ABC的腰（AB或AC）上，因此需要分情况讨论点P的位置：①P在腰AB上；②P在腰AC上（分两种不同的交点位置），分别计算每种情况对应的∠EDP的度数即可，注意分类要全面，避免漏解。
【解析】
解：
∵在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=50°，
∴∠C=∠B=50°，∠BAC=180°-2×50°=80°。
∵∠AED是△BED的外角，∠AED=70°，
∴∠EDB=∠AED-∠B=70°-50°=20°。
∵△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，
∴DE=DP，分三种情况讨论：
1. 当点P在腰AB上时：
此时∠DEP=∠AED=70°，
∵DE=DP，
∴∠DPE=∠DEP=70°，
∴∠EDP=180°-∠DEP-∠DPE=180°-70°×2=40°。
2. 当点P在腰AC上，且靠近点A的位置时：
结合等腰三角形角度计算，可得∠EDP=100°。
3. 当点P在腰AC上，且靠近点C的位置时：
∵D为BC中点，
∴BD=CD，又
∵DE=DP，∠B=∠C=50°，
∴△BDE≌△CDP，
∴∠CDP=∠BDE=20°，
∴∠EDP=180°-∠BDE-∠CDP=180°-20°-20°=140°。
【答案】
40°或100°或140°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角性质，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形的性质及分类讨论思想的应用，解题时需注意明确等腰三角形顶角的对应条件，对动点P的位置进行全面分类，防止漏解。
【难度系数】
0.4
首先根据等腰三角形等边对等角的性质，先算出△ABC的三个内角的度数，再利用三角形外角的性质求出∠EDB的度数。题目要求△EDP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，说明两腰为DE和DP，即DE=DP，且点P在△ABC的腰（AB或AC）上，因此需要分情况讨论点P的位置：①P在腰AB上；②P在腰AC上（分两种不同的交点位置），分别计算每种情况对应的∠EDP的度数即可，注意分类要全面，避免漏解。
【解析】
解：
∵在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=50°，
∴∠C=∠B=50°，∠BAC=180°-2×50°=80°。
∵∠AED是△BED的外角，∠AED=70°，
∴∠EDB=∠AED-∠B=70°-50°=20°。
∵△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形，
∴DE=DP，分三种情况讨论：
1. 当点P在腰AB上时：
此时∠DEP=∠AED=70°，
∵DE=DP，
∴∠DPE=∠DEP=70°，
∴∠EDP=180°-∠DEP-∠DPE=180°-70°×2=40°。
2. 当点P在腰AC上，且靠近点A的位置时：
结合等腰三角形角度计算，可得∠EDP=100°。
3. 当点P在腰AC上，且靠近点C的位置时：
∵D为BC中点，
∴BD=CD，又
∵DE=DP，∠B=∠C=50°，
∴△BDE≌△CDP，
∴∠CDP=∠BDE=20°，
∴∠EDP=180°-∠BDE-∠CDP=180°-20°-20°=140°。
【答案】
40°或100°或140°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角性质，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查等腰三角形的性质及分类讨论思想的应用，解题时需注意明确等腰三角形顶角的对应条件，对动点P的位置进行全面分类，防止漏解。
【难度系数】
0.4
