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7. 如图是两块完全一样的含$30°$角的直角三角尺，分别记作$△ ABC$和$△ A_{1}B_{1}C_{1}$，现将两块三角尺重叠在一起，若较长直角边的中点为$M$，绕中点$M$转动上面的三角尺$ABC$，直角顶点$C$恰好落在三角尺$A_{1}B_{1}C_{1}$的斜边$A_{1}B_{1}$上. 当$∠ A=30°,B_{1}C=2$时，$AB$的长为 （
A.$6$
B.$8$
C.$9$
D.$10$
B
）A.$6$
B.$8$
C.$9$
D.$10$
答案
7.B
解析
【分析】
解题时先利用两块三角尺完全相同的性质得到对应边、对应角相等，再结合中点的性质推导边相等，进而判断出等边三角形，最后借助含30°角的直角三角形的性质逐步求出AB的长度。首先明确两个三角形全等，确定边、角的对应关系；其次利用中点性质得到MC=MC₁，结合角度推出△MCC₁为等边三角形；然后在△B₁C₁C中推导角度判断其为直角三角形，结合30°角的性质求出B₁C₁，即BC的长度；最后在Rt△ABC中用30°角的性质求出AB即可。
【解析】
连接$CC_1$，
∵$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$是完全相同的含$30°$角的直角三角尺，
∴$AC=A_1C_1$，$BC=B_1C_1$，$∠ A=∠ A_1=30°$，$∠ ACB=∠ A_1C_1B_1=90°$，$∠ B_1=60°$，
∵$M$是较长直角边的中点，即$M$是$AC$、$A_1C_1$的中点，
∴$MC=MA=MC_1=MA_1=\frac{1}{2}AC$，
∴$∠ A_1=∠ A_1CM=30°$，
∴$∠ CMC_1=∠ A_1+∠ A_1CM=30°+30°=60°$，
又
∵$MC=MC_1$，
∴$△ MCC_1$是等边三角形，
∴$CC_1=MC$，$∠ MC_1C=60°$，
∴$∠ B_1C_1C=∠ A_1C_1B_1-∠ MC_1C=90°-60°=30°$，
在$△ B_1C_1C$中，$∠ B_1=60°$，$∠ B_1C_1C=30°$，
∴$∠ B_1CC_1=180°-60°-30°=90°$，即$△ B_1C_1C$是直角三角形，
∵$30°$角$∠ B_1C_1C$对的直角边为$B_1C=2$，
∴$B_1C=\frac{1}{2}B_1C_1$，即$B_1C_1=2B_1C=4$，
∴$BC=B_1C_1=4$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=30°$，对的直角边为$BC=4$，
∴$BC=\frac{1}{2}AB$，
∴$AB=2BC=2×4=8$。
【答案】
B
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质
【点评】
本题综合考查特殊三角形的性质应用，解题关键是合理作出辅助线，结合中点性质找到角度关系，逐步推导边长，要求熟练掌握特殊三角形的边角对应关系。
【难度系数】
0.65
解题时先利用两块三角尺完全相同的性质得到对应边、对应角相等，再结合中点的性质推导边相等，进而判断出等边三角形，最后借助含30°角的直角三角形的性质逐步求出AB的长度。首先明确两个三角形全等，确定边、角的对应关系；其次利用中点性质得到MC=MC₁，结合角度推出△MCC₁为等边三角形；然后在△B₁C₁C中推导角度判断其为直角三角形，结合30°角的性质求出B₁C₁，即BC的长度；最后在Rt△ABC中用30°角的性质求出AB即可。
【解析】
连接$CC_1$，
∵$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$是完全相同的含$30°$角的直角三角尺，
∴$AC=A_1C_1$，$BC=B_1C_1$，$∠ A=∠ A_1=30°$，$∠ ACB=∠ A_1C_1B_1=90°$，$∠ B_1=60°$，
∵$M$是较长直角边的中点，即$M$是$AC$、$A_1C_1$的中点，
∴$MC=MA=MC_1=MA_1=\frac{1}{2}AC$，
∴$∠ A_1=∠ A_1CM=30°$，
∴$∠ CMC_1=∠ A_1+∠ A_1CM=30°+30°=60°$，
又
∵$MC=MC_1$，
∴$△ MCC_1$是等边三角形，
∴$CC_1=MC$，$∠ MC_1C=60°$，
∴$∠ B_1C_1C=∠ A_1C_1B_1-∠ MC_1C=90°-60°=30°$，
在$△ B_1C_1C$中，$∠ B_1=60°$，$∠ B_1C_1C=30°$，
∴$∠ B_1CC_1=180°-60°-30°=90°$，即$△ B_1C_1C$是直角三角形，
∵$30°$角$∠ B_1C_1C$对的直角边为$B_1C=2$，
∴$B_1C=\frac{1}{2}B_1C_1$，即$B_1C_1=2B_1C=4$，
∴$BC=B_1C_1=4$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=30°$，对的直角边为$BC=4$，
∴$BC=\frac{1}{2}AB$，
∴$AB=2BC=2×4=8$。
【答案】
B
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质
【点评】
本题综合考查特殊三角形的性质应用，解题关键是合理作出辅助线，结合中点性质找到角度关系，逐步推导边长，要求熟练掌握特殊三角形的边角对应关系。
【难度系数】
0.65
8. 如图,在等边$△ ABC$中,$AC=9$,点$O$在$AC$上,且$AO=3$,$P$是$AB$上一动点,连接$OP$,将线段$OP$绕点$O$逆时针旋转$60°$得到线段$OD$,若使点$D$恰好落在$BC$上,则线段$AP$的长是________.
答案
8.6
解析
【分析】
要解决这道题，首先结合已知条件梳理信息：等边△ABC中∠A=∠C=60°，由旋转性质可得OP=OD、∠POD=60°；接下来通过角度推导找到相等的角，证明△AOP和△CDO全等，最后利用全等三角形对应边相等即可求出AP的长度。具体步骤：1. 先计算OC的长度；2. 推导角的关系，得到两组角相等，结合OP=OD证明三角形全等；3. 由全等对应边相等得出AP=OC。
【解析】
解：
∵在等边△ABC中，AC=9，AO=3，
∴OC=AC - AO = 9 - 3 = 6，∠A=∠C=60°，
∵线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，
∴OP=OD，∠POD=60°，
在△AOP中，∠AOP + ∠APO = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°，
又
∵∠AOP + ∠COD = 180° - ∠POD = 180° - 60° = 120°，
∴∠APO = ∠COD，
在△AOP和△CDO中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠C \\∠APO = ∠COD \\OP = OD\end{array} $
∴△AOP≌△CDO（AAS），
∴AP=OC=6。
【答案】
6
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【点评】
本题是几何综合题，核心是利用旋转的性质找到边和角的等量关系，通过角度推导构造全等三角形，解题的关键是发现∠APO与∠COD相等，这类题能有效提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先结合已知条件梳理信息：等边△ABC中∠A=∠C=60°，由旋转性质可得OP=OD、∠POD=60°；接下来通过角度推导找到相等的角，证明△AOP和△CDO全等，最后利用全等三角形对应边相等即可求出AP的长度。具体步骤：1. 先计算OC的长度；2. 推导角的关系，得到两组角相等，结合OP=OD证明三角形全等；3. 由全等对应边相等得出AP=OC。
【解析】
解：
∵在等边△ABC中，AC=9，AO=3，
∴OC=AC - AO = 9 - 3 = 6，∠A=∠C=60°，
∵线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，
∴OP=OD，∠POD=60°，
在△AOP中，∠AOP + ∠APO = 180° - ∠A = 180° - 60° = 120°，
又
∵∠AOP + ∠COD = 180° - ∠POD = 180° - 60° = 120°，
∴∠APO = ∠COD，
在△AOP和△CDO中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠C \\∠APO = ∠COD \\OP = OD\end{array} $
∴△AOP≌△CDO（AAS），
∴AP=OC=6。
【答案】
6
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【点评】
本题是几何综合题，核心是利用旋转的性质找到边和角的等量关系，通过角度推导构造全等三角形，解题的关键是发现∠APO与∠COD相等，这类题能有效提升几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
9. 如图，$∠ AOB = 60°$，点 $P$ 在 $OA$ 边上，$OP = 8\ \mathrm{cm}$，点 $M$，$N$ 在 $OB$ 边上，$PM = PN$，若 $MN = 2\ \mathrm{cm}$，则 $OM = \_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}.$
答案
9.3
解析
【分析】
首先由条件PM=PN可知△PMN是等腰三角形，对于等腰三角形的边长计算，优先考虑三线合一的性质，因此过点P作PD⊥OB于点D，可得D为MN的中点，先求出MD的长度；再在Rt△OPD中，已知∠AOB=60°，可推出∠OPD=30°，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，求出OD的长度；最后用OD减去MD即可得到OM的长度。
【解析】
解：过点P作PD⊥OB于点D。
∵ PM=PN，PD⊥MN，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，得$MD=ND=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}$。
在Rt△OPD中，∠ODP=90°，∠AOB=60°，
∴ ∠OPD=90°-60°=30°，
∴ 30°角所对的直角边$OD=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
∴ $OM=OD-MD=4-1=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题解题的关键是合理作出辅助线，结合等腰三角形三线合一和直角三角形30°角的性质进行线段长度的计算，属于基础的几何应用题型。
【难度系数】
0.7
首先由条件PM=PN可知△PMN是等腰三角形，对于等腰三角形的边长计算，优先考虑三线合一的性质，因此过点P作PD⊥OB于点D，可得D为MN的中点，先求出MD的长度；再在Rt△OPD中，已知∠AOB=60°，可推出∠OPD=30°，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，求出OD的长度；最后用OD减去MD即可得到OM的长度。
【解析】
解：过点P作PD⊥OB于点D。
∵ PM=PN，PD⊥MN，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，得$MD=ND=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}$。
在Rt△OPD中，∠ODP=90°，∠AOB=60°，
∴ ∠OPD=90°-60°=30°，
∴ 30°角所对的直角边$OD=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$。
∴ $OM=OD-MD=4-1=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题解题的关键是合理作出辅助线，结合等腰三角形三线合一和直角三角形30°角的性质进行线段长度的计算，属于基础的几何应用题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$AD⊥ BC$,垂足为$G$,且$AD=AB$.$∠ EDF=60°$,其两边分别交边$AB$,$AC$于点$E$,$F$,连接$BD$.
求证:(1)$△ ABD$是等边三角形;
(2)$BE=AF$.
求证:(1)$△ ABD$是等边三角形;
(2)$BE=AF$.
答案
证明:(1)
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC=1/2∠BAC.
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠DAC=1/2×120°=60°.
∵AD=AB,
∴△ABD是等边三角形.
(2)
∵△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.
∵∠EDF=60°,
∴∠ADB=∠EDF,
∴∠ADB−∠ADE=∠EDF−∠ADE,
∴∠BDE=∠ADF.
在△BDE和△ADF中,
$\begin{cases} ∠ DBE=∠ DAF=60°, \\ BD=AD, \\ ∠ BDE=∠ ADF, \end{cases}$
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴BE=AF.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC=1/2∠BAC.
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠DAC=1/2×120°=60°.
∵AD=AB,
∴△ABD是等边三角形.
(2)
∵△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.
∵∠EDF=60°,
∴∠ADB=∠EDF,
∴∠ADB−∠ADE=∠EDF−∠ADE,
∴∠BDE=∠ADF.
在△BDE和△ADF中,
$\begin{cases} ∠ DBE=∠ DAF=60°, \\ BD=AD, \\ ∠ BDE=∠ ADF, \end{cases}$
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴BE=AF.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABD是等边三角形，已知AD=AB，即△ABD为等腰三角形，只需证明其有一个内角为60°即可。由AB=AC、AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD平分∠BAC，结合∠BAC=120°可算出∠BAD=60°，满足等边三角形的判定条件。
(2) 要证明BE=AF，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知BE、AF分别属于△BDE和△ADF，由(1)的等边三角形结论可得BD=AD、∠DBE=∠DAF=60°，再结合∠EDF和∠ADB均为60°，通过等式性质可推出∠BDE=∠ADF，用ASA即可判定两三角形全等，进而得到对应边相等。
【解析】
证明：(1)
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC。
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°。
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形。
(2)
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD。
∵∠EDF=60°，
∴∠ADB=∠EDF，
∴∠ADB−∠ADE=∠EDF−∠ADE，
∴∠BDE=∠ADF。
在△BDE和△ADF中，
$\begin{cases} ∠DBE=∠DAF=60°, \\ BD=AD, \\ ∠BDE=∠ADF, \end{cases}$
∴△BDE≌△ADF(ASA)，
∴BE=AF。
【答案】
(1) △ABD是等边三角形成立；(2) BE=AF成立，证明过程见解析。
【知识点】
等腰三角形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形模块的基础综合题，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质推导角度关系，结合等边三角形的性质获得全等判定所需的边、角条件，能够有效锻炼几何证明的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABD是等边三角形，已知AD=AB，即△ABD为等腰三角形，只需证明其有一个内角为60°即可。由AB=AC、AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD平分∠BAC，结合∠BAC=120°可算出∠BAD=60°，满足等边三角形的判定条件。
(2) 要证明BE=AF，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知BE、AF分别属于△BDE和△ADF，由(1)的等边三角形结论可得BD=AD、∠DBE=∠DAF=60°，再结合∠EDF和∠ADB均为60°，通过等式性质可推出∠BDE=∠ADF，用ASA即可判定两三角形全等，进而得到对应边相等。
【解析】
证明：(1)
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC。
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°。
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形。
(2)
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD。
∵∠EDF=60°，
∴∠ADB=∠EDF，
∴∠ADB−∠ADE=∠EDF−∠ADE，
∴∠BDE=∠ADF。
在△BDE和△ADF中，
$\begin{cases} ∠DBE=∠DAF=60°, \\ BD=AD, \\ ∠BDE=∠ADF, \end{cases}$
∴△BDE≌△ADF(ASA)，
∴BE=AF。
【答案】
(1) △ABD是等边三角形成立；(2) BE=AF成立，证明过程见解析。
【知识点】
等腰三角形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形模块的基础综合题，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质推导角度关系，结合等边三角形的性质获得全等判定所需的边、角条件，能够有效锻炼几何证明的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
11. 已知$△ ABC$为等边三角形，$D$为射线$BC$上一点，$∠ ADE=60°$，$DE$与$△ ABC$的外角平分线交于点$E$.
(1)如图①，点$D$在边$BC$上，求证：$CA=CD+CE$；
(2)如图②，若点$D$在$BC$的延长线上，直接写出$CA,CD,CE$之间的数量关系.
(1)如图①，点$D$在边$BC$上，求证：$CA=CD+CE$；
(2)如图②，若点$D$在$BC$的延长线上，直接写出$CA,CD,CE$之间的数量关系.
答案
(1)证明:如答图,在AC上截取CM=CD,连接DM.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∴△CDM是等边三角形,
∴MD=CD=CM,∠CMD=∠CDM=60°,
∴∠AMD=120°.
∵∠ADE=60°,
∴∠ADE=∠MDC,
∴∠ADM=∠EDC.
∵CE是△ABC的外角平分线,
∴∠ACE=60°,
∴∠DCE=120°=∠AMD.
在△ADM和△EDC中,
$\begin{cases} ∠ ADM=∠ EDC, \\ MD=CD, \\ ∠ AMD=∠ ECD, \end{cases}$
∴△ADM≌△EDC(ASA),
∴AM=EC,
∴CA=CM+AM=CD+CE.
(2)CA=CE−CD.
解析
【分析】
(1) 要证明$CA=CD+CE$，属于线段和差类证明题，优先考虑截长补短法。本题采用截长法：在$CA$上截取$CM=CD$，结合等边三角形$ABC$的$∠ACB=60°$，可证得$△CDM$是等边三角形，得到边和角的相等关系，再通过角度推导证明$△ADM$和$△EDC$全等，得到$AM=CE$，即可通过线段和的关系推导出结论。
(2) 当点$D$在$BC$延长线上时，沿用构造全等三角形的思路，对比第一问的线段位置，即可得出三条线段的数量关系。
【解析】
(1) 证明：如答图，在$AC$上截取$CM=CD$，连接$DM$。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ ACB=60°$，
∴$△ CDM$是等边三角形，
∴$MD=CD=CM$，$∠ CMD=∠ CDM=60°$，
∴$∠ AMD=180°-∠ CMD=120°$。
∵$∠ ADE=60°$，
∴$∠ ADE=∠ MDC$，
∴$∠ ADE-∠ MDE=∠ MDC-∠ MDE$，即$∠ ADM=∠ EDC$。
∵$CE$是$△ ABC$的外角平分线，$△ ABC$的外角为$180°-∠ ACB=120°$，
∴$∠ ACE=60°$，
∴$∠ DCE=∠ ACB+∠ ACE=120°=∠ AMD$。
在$△ ADM$和$△ EDC$中，
$\begin{cases} ∠ ADM=∠ EDC, \\ MD=CD, \\ ∠ AMD=∠ ECD, \end{cases}$
∴$△ ADM≌△ EDC(\mathrm{ASA})$，
∴$AM=EC$，
∵$CA=CM+AM$，$CM=CD$，
∴$CA=CD+CE$。
(2) 当点$D$在$BC$的延长线上时，同理构造全等可证得$CA=CE-CD$。
【答案】
(1) 证明成立，$CA=CD+CE$；
(2) $\boldsymbol{CA=CE-CD}$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是等边三角形的典型综合题，核心解题方法是通过截长补短构造全等三角形，将线段和差问题转化为全等三角形对应边相等的问题，两种图形位置的设置考查了分类讨论思想，解题时需注意角度推导的严谨性，避免线段关系混淆。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$CA=CD+CE$，属于线段和差类证明题，优先考虑截长补短法。本题采用截长法：在$CA$上截取$CM=CD$，结合等边三角形$ABC$的$∠ACB=60°$，可证得$△CDM$是等边三角形，得到边和角的相等关系，再通过角度推导证明$△ADM$和$△EDC$全等，得到$AM=CE$，即可通过线段和的关系推导出结论。
(2) 当点$D$在$BC$延长线上时，沿用构造全等三角形的思路，对比第一问的线段位置，即可得出三条线段的数量关系。
【解析】
(1) 证明：如答图，在$AC$上截取$CM=CD$，连接$DM$。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ ACB=60°$，
∴$△ CDM$是等边三角形，
∴$MD=CD=CM$，$∠ CMD=∠ CDM=60°$，
∴$∠ AMD=180°-∠ CMD=120°$。
∵$∠ ADE=60°$，
∴$∠ ADE=∠ MDC$，
∴$∠ ADE-∠ MDE=∠ MDC-∠ MDE$，即$∠ ADM=∠ EDC$。
∵$CE$是$△ ABC$的外角平分线，$△ ABC$的外角为$180°-∠ ACB=120°$，
∴$∠ ACE=60°$，
∴$∠ DCE=∠ ACB+∠ ACE=120°=∠ AMD$。
在$△ ADM$和$△ EDC$中，
$\begin{cases} ∠ ADM=∠ EDC, \\ MD=CD, \\ ∠ AMD=∠ ECD, \end{cases}$
∴$△ ADM≌△ EDC(\mathrm{ASA})$，
∴$AM=EC$，
∵$CA=CM+AM$，$CM=CD$，
∴$CA=CD+CE$。
(2) 当点$D$在$BC$的延长线上时，同理构造全等可证得$CA=CE-CD$。
【答案】
(1) 证明成立，$CA=CD+CE$；
(2) $\boldsymbol{CA=CE-CD}$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是等边三角形的典型综合题，核心解题方法是通过截长补短构造全等三角形，将线段和差问题转化为全等三角形对应边相等的问题，两种图形位置的设置考查了分类讨论思想，解题时需注意角度推导的严谨性，避免线段关系混淆。
【难度系数】
0.6
