2.【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马. 如图①，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
小亮:如图②,作点B关于直线l的对称点B',连接AB'与直线l交于点C,点C就是饮马的地方,此时所走的路程之和就是最短的.
小慧:你能详细解释为什么吗?
小亮:如图③,在直线l上另取任意一点C',连接AC',BC',B'C',我只要说明AC+CB＜AC'+C'B即可.因为直线l是点B,B'的对称轴,点C,C'在直线l上,所以CB=,C'B=,所以AC+CB=AC+CB'=.
在△AC'B'中,因为AB'＜AC'+C'B',所以＜AC'+C'B,即AC+CB最小.
请完善小亮的说明过程.
本问题实际上是利用转化的思想,把在直线同侧的点A,B转化在直线的两侧,从而利用“”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决(在连接A,B'两点的线中,线段AB'最短).
【解决问题】
如图④,牧马人从A地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到B处,请画出最短路径.

2.【分析问题】CB' C'B' AB' AC+CB 两点之间,线段最短
【解决问题】解:如答图,AC−CD−DB 即为最短路径.

【分析】
这道题围绕经典的“将军饮马”最短路径问题展开，分为原理理解和拓展应用两部分：
1. 原理证明部分：核心思路是利用轴对称性质，把直线同侧的点B转化到直线另一侧的对称点B'，将原本的折线路程AC+CB转化为两点之间的线段长度，再结合三角形三边关系，对比任意其他选址点的路程长度，即可证明该路径最短。
2. 拓展作图部分：属于双边界的两次选址最短路径问题，需要分别作两个点对应边界的对称点，把三段折线的总长度转化为两个对称点之间的线段长度，利用两点之间线段最短的性质确定路径上的交点，即可画出最短路径。
【解析】
分析问题填空：
根据轴对称的性质，对称轴上任意一点到两个对称点的距离相等，因此：
直线l是点B、B'的对称轴，点C、C'在直线l上，可得$CB=\boldsymbol{CB'}$，$C'B=\boldsymbol{C'B'}$；
因此路程和$AC+CB=AC+CB'=\boldsymbol{AB'}$；
在$△ AC'B'$中，由三角形两边之和大于第三边可得$AB'＜AC'+C'B'$，代入等量关系可推得$\boldsymbol{AC+CB}＜AC'+C'B$，因此$AC+CB$最小。
整个推导的核心依据是“$\boldsymbol{两点之间，线段最短}$”和三角形三边关系。
解决问题作图：
1. 分别作点A关于草地边界的对称点$A'$，点B关于河岸边界的对称点$B'$；
2. 连接$A'B'$，与草地边交于点C，与河岸交于点D；
3. 依次连接A、C、D、B，由对称性质可得$AC=A'C$，$DB=DB'$，因此总路程$AC+CD+DB=A'C+CD+DB'=A'B'$，根据两点之间线段最短，该路径为最短路径。
【答案】
【分析问题】$CB'$；$C'B'$；$AB'$；$AC+CB$；两点之间，线段最短
【解决问题】$AC-CD-DB$即为最短路径，如下图：

【知识点】
轴对称的性质；两点之间线段最短；最短路径作图
【点评】
本题以传统数学文化为背景，考查最短路径问题的原理与应用，解题核心是掌握利用轴对称将折线距离转化为两点间线段距离的转化思想，可灵活迁移该方法解决单边界、双边界等不同类型的最短路径问题。
【难度系数】
0.7