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一、选择题
1. 一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为（
A.$3:1$
B.$2:1$
C.$1:1$
D.$5:2$
1. 一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比为（
B
）A.$3:1$
B.$2:1$
C.$1:1$
D.$5:2$
答案
1. B
解析
【分析】
首先回忆流水行船问题的基本速度关系：顺流航速=船在静水中的航速+水流速度，逆流航速=船在静水中的航速-水流速度。题目给出顺流航速是逆流航速的3倍，我们可以先设出静水航速和水流速度两个未知数，再根据顺流、逆流航速的倍数关系列等式，最后化简就能求出两个速度的比值。
【解析】
设船在静水中的航速为$v$，河水的流速为$u$。
根据流水行船速度公式可得：
顺流航速$=v+u$，逆流航速$=v-u$
由题意“顺流航速是逆流航速的3倍”，列等式：
$v+u=3(v-u)$
展开等式右边：$v+u=3v-3u$
移项合并同类项：$4u=2v$
两边同时除以$2u$可得：$\frac{v}{u}=\frac{2}{1}$
即船在静水中的航速与河水的流速之比为$2:1$。
【答案】
B
【知识点】
流水行船速度关系；一元一次方程的应用；比的化简
【点评】
本题属于流水行船类基础题型，解题核心是熟练掌握顺流、逆流航速与静水航速、水流速度的数量关系，通过设未知数列等式即可快速求解，计算过程中注意移项时不要弄错符号。
【难度系数】
0.8
首先回忆流水行船问题的基本速度关系：顺流航速=船在静水中的航速+水流速度，逆流航速=船在静水中的航速-水流速度。题目给出顺流航速是逆流航速的3倍，我们可以先设出静水航速和水流速度两个未知数，再根据顺流、逆流航速的倍数关系列等式，最后化简就能求出两个速度的比值。
【解析】
设船在静水中的航速为$v$，河水的流速为$u$。
根据流水行船速度公式可得：
顺流航速$=v+u$，逆流航速$=v-u$
由题意“顺流航速是逆流航速的3倍”，列等式：
$v+u=3(v-u)$
展开等式右边：$v+u=3v-3u$
移项合并同类项：$4u=2v$
两边同时除以$2u$可得：$\frac{v}{u}=\frac{2}{1}$
即船在静水中的航速与河水的流速之比为$2:1$。
【答案】
B
【知识点】
流水行船速度关系；一元一次方程的应用；比的化简
【点评】
本题属于流水行船类基础题型，解题核心是熟练掌握顺流、逆流航速与静水航速、水流速度的数量关系，通过设未知数列等式即可快速求解，计算过程中注意移项时不要弄错符号。
【难度系数】
0.8
2. 甲是乙现在的年龄时,乙8岁.乙是甲现在的年龄时,甲26岁.那么 (
A.甲比乙大6岁
B.甲比乙大9岁
C.乙比甲大18岁
D.乙比甲大34岁
A
)A.甲比乙大6岁
B.甲比乙大9岁
C.乙比甲大18岁
D.乙比甲大34岁
答案
2. A
解析
【分析】
解决年龄问题的核心是抓住“年龄差始终不变”这一规律。我们可以先设甲、乙现在的年龄分别为未知数，再根据题目给出的两个时间场景，分别列出关于两人年龄的方程，组成二元一次方程组求解，最后计算两人的年龄差就能得到答案。
【解析】
设甲现在的年龄为$x$岁，乙现在的年龄为$y$岁，两人的年龄差为$x-y$（年龄差为正数，可先排除C、D选项）。
1. 当甲是乙现在的年龄时，即甲的年龄为$y$岁，此时距离现在过去了$(x-y)$年，当时乙的年龄为8岁，可列方程：
$y - (x - y) = 8$，整理得：$2y - x = 8$ ①
2. 当乙是甲现在的年龄时，即乙的年龄为$x$岁，此时距离现在还要过$(x-y)$年，当时甲的年龄为26岁，可列方程：
$x + (x - y) = 26$，整理得：$2x - y = 26$ ②
联立①②组成方程组，将①×2得：$4y - 2x = 16$ ③
③+②得：$3y = 42$，解得$y=14$
把$y=14$代入②得：$2x -14 =26$，解得$x=20$
所以两人年龄差为$x-y=20-14=6$岁，即甲比乙大6岁。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；年龄差不变规律
【点评】
本题是年龄类应用题的典型考法，解题的关键是明确不同时间节点下两人年龄的变化关系，牢牢把握年龄差不变的特点建立方程求解，解题时也可以通过代入选项验证的方法快速得出答案。
【难度系数】
0.7
解决年龄问题的核心是抓住“年龄差始终不变”这一规律。我们可以先设甲、乙现在的年龄分别为未知数，再根据题目给出的两个时间场景，分别列出关于两人年龄的方程，组成二元一次方程组求解，最后计算两人的年龄差就能得到答案。
【解析】
设甲现在的年龄为$x$岁，乙现在的年龄为$y$岁，两人的年龄差为$x-y$（年龄差为正数，可先排除C、D选项）。
1. 当甲是乙现在的年龄时，即甲的年龄为$y$岁，此时距离现在过去了$(x-y)$年，当时乙的年龄为8岁，可列方程：
$y - (x - y) = 8$，整理得：$2y - x = 8$ ①
2. 当乙是甲现在的年龄时，即乙的年龄为$x$岁，此时距离现在还要过$(x-y)$年，当时甲的年龄为26岁，可列方程：
$x + (x - y) = 26$，整理得：$2x - y = 26$ ②
联立①②组成方程组，将①×2得：$4y - 2x = 16$ ③
③+②得：$3y = 42$，解得$y=14$
把$y=14$代入②得：$2x -14 =26$，解得$x=20$
所以两人年龄差为$x-y=20-14=6$岁，即甲比乙大6岁。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；年龄差不变规律
【点评】
本题是年龄类应用题的典型考法，解题的关键是明确不同时间节点下两人年龄的变化关系，牢牢把握年龄差不变的特点建立方程求解，解题时也可以通过代入选项验证的方法快速得出答案。
【难度系数】
0.7
3. [2025·浙江]手工社团的同学制作两种手工艺品A和B,需要用到彩色纸和细木条,单个手工艺品材料用量如下表.
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条,问他们制作的两种手工艺品各有多少个.设手工艺品A有$x$个,手工艺品B有$y$个,则$x$和$y$满足的方程组是 (
A.$\begin{cases}5x+3y=17, \\2x+y=10\end{cases}$
B.$\begin{cases}5x+3y=10, \\2x+y=17\end{cases}$
C.$\begin{cases}5x+2y=17, \\3x+y=10\end{cases}$
D.$\begin{cases}5x+2y=10, \\3x+y=17\end{cases}$
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条,问他们制作的两种手工艺品各有多少个.设手工艺品A有$x$个,手工艺品B有$y$个,则$x$和$y$满足的方程组是 (
C
)A.$\begin{cases}5x+3y=17, \\2x+y=10\end{cases}$
B.$\begin{cases}5x+3y=10, \\2x+y=17\end{cases}$
C.$\begin{cases}5x+2y=17, \\3x+y=10\end{cases}$
D.$\begin{cases}5x+2y=10, \\3x+y=17\end{cases}$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时先明确题目中的两个等量关系：一是制作手工艺品A、B消耗的彩色纸总量为17张，二是制作手工艺品A、B消耗的细木条总量为10捆。接下来分别计算x个A、y个B对两种材料的消耗量，代入等量关系即可列出对应的方程组，再匹配选项得到答案。
【解析】
首先根据彩色纸的总用量列第一个方程：
每个手工艺品A用5张彩色纸，x个A共消耗5x张；每个手工艺品B用2张彩色纸，y个B共消耗2y张，总用量为17张，因此得方程：$5x+2y=17$。
再根据细木条的总用量列第二个方程：
每个手工艺品A用3捆细木条，x个A共消耗3x捆；每个手工艺品B用1捆细木条，y个B共消耗y捆，总用量为10捆，因此得方程：$3x+y=10$。
综上，可列方程组为$\begin{cases}5x+2y=17 \\3x+y=10\end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列二元一次方程组；等量关系分析
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题型，核心是找准不同材料对应的用量关系，不要混淆两种手工艺品的材料消耗量，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时先明确题目中的两个等量关系：一是制作手工艺品A、B消耗的彩色纸总量为17张，二是制作手工艺品A、B消耗的细木条总量为10捆。接下来分别计算x个A、y个B对两种材料的消耗量，代入等量关系即可列出对应的方程组，再匹配选项得到答案。
【解析】
首先根据彩色纸的总用量列第一个方程：
每个手工艺品A用5张彩色纸，x个A共消耗5x张；每个手工艺品B用2张彩色纸，y个B共消耗2y张，总用量为17张，因此得方程：$5x+2y=17$。
再根据细木条的总用量列第二个方程：
每个手工艺品A用3捆细木条，x个A共消耗3x捆；每个手工艺品B用1捆细木条，y个B共消耗y捆，总用量为10捆，因此得方程：$3x+y=10$。
综上，可列方程组为$\begin{cases}5x+2y=17 \\3x+y=10\end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列二元一次方程组；等量关系分析
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题型，核心是找准不同材料对应的用量关系，不要混淆两种手工艺品的材料消耗量，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. [2024·开封二模]我国古代算书《四元玉鉴》记载“二果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱.”其大意：现有九百九十九文钱，共买甜果和苦果一千个，已知九个甜果十一文钱，七个苦果四文钱，问甜果和苦果各买多少个，买甜果和苦果各需要多少文钱.设甜果买$ x $个，苦果买$ y $个，则可列方程组为________.
1. [2024·开封二模]我国古代算书《四元玉鉴》记载“二果问价”问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱.”其大意：现有九百九十九文钱，共买甜果和苦果一千个，已知九个甜果十一文钱，七个苦果四文钱，问甜果和苦果各买多少个，买甜果和苦果各需要多少文钱.设甜果买$ x $个，苦果买$ y $个，则可列方程组为________.
答案
1. $\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ \dfrac{11}{9}x+\dfrac{4}{7}y=999 \end{cases}$
解析
【分析】
要列出符合题意的方程组，首先需要从题干中提取两个核心等量关系：一是甜果和苦果的总个数为1000个，二是购买两种果的总费用为999文。我们先根据总个数的关系推导第一个方程，再先算出单个甜果、单个苦果的价格，结合总费用的关系推导第二个方程，联立两个方程即可得到所求方程组。
【解析】
1. 根据“甜果和苦果共买一千个”的条件，已知甜果买$x$个，苦果买$y$个，可得第一个方程：
$x + y = 1000$
2. 计算两种水果的单价：已知9个甜果11文，因此1个甜果的价格为$\frac{11}{9}$文；7个苦果4文，因此1个苦果的价格为$\frac{4}{7}$文。
根据“总共花费九百九十九文钱”的条件，买$x$个甜果的总费用为$\frac{11}{9}x$文，买$y$个苦果的总费用为$\frac{4}{7}y$文，可得第二个方程：
$\frac{11}{9}x + \frac{4}{7}y = 999$
将两个方程联立，即可得到符合题意的方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ \dfrac{11}{9}x+\dfrac{4}{7}y=999 \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 等量关系的确定
【点评】
本题以我国古代传统数学问题为载体，考查根据实际问题列二元一次方程组的能力，解题的关键是准确提取总数量、总费用两类等量关系，注意计算单价时不要颠倒分子和分母的位置。
【难度系数】
0.8
要列出符合题意的方程组，首先需要从题干中提取两个核心等量关系：一是甜果和苦果的总个数为1000个，二是购买两种果的总费用为999文。我们先根据总个数的关系推导第一个方程，再先算出单个甜果、单个苦果的价格，结合总费用的关系推导第二个方程，联立两个方程即可得到所求方程组。
【解析】
1. 根据“甜果和苦果共买一千个”的条件，已知甜果买$x$个，苦果买$y$个，可得第一个方程：
$x + y = 1000$
2. 计算两种水果的单价：已知9个甜果11文，因此1个甜果的价格为$\frac{11}{9}$文；7个苦果4文，因此1个苦果的价格为$\frac{4}{7}$文。
根据“总共花费九百九十九文钱”的条件，买$x$个甜果的总费用为$\frac{11}{9}x$文，买$y$个苦果的总费用为$\frac{4}{7}y$文，可得第二个方程：
$\frac{11}{9}x + \frac{4}{7}y = 999$
将两个方程联立，即可得到符合题意的方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ \dfrac{11}{9}x+\dfrac{4}{7}y=999 \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 等量关系的确定
【点评】
本题以我国古代传统数学问题为载体，考查根据实际问题列二元一次方程组的能力，解题的关键是准确提取总数量、总费用两类等量关系，注意计算单价时不要颠倒分子和分母的位置。
【难度系数】
0.8
2. 已知$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$是方程$2x+ay=5$的解，则$a=$______.
答案
2. 1
解析
【分析】
首先明确二元一次方程解的定义：能让二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的解。题目已经给出了方程的解，我们只需要把x=2、y=1代入原方程，就能得到一个只含未知数a的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出a的取值。
【解析】
把$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$代入方程$2x+ay=5$中，得：
$2×2 + a×1 = 5$
化简计算：$4 + a = 5$
移项得：$a = 5 - 4 = 1$
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程的解的定义，解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题型，考察方程解的基本应用，只需代入转化求解即可，解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.9
首先明确二元一次方程解的定义：能让二元一次方程左右两边相等的未知数的值就是该方程的解。题目已经给出了方程的解，我们只需要把x=2、y=1代入原方程，就能得到一个只含未知数a的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出a的取值。
【解析】
把$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$代入方程$2x+ay=5$中，得：
$2×2 + a×1 = 5$
化简计算：$4 + a = 5$
移项得：$a = 5 - 4 = 1$
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程的解的定义，解一元一次方程
【点评】
本题是基础类题型，考察方程解的基本应用，只需代入转化求解即可，解题逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.9
3. 如果$\begin{cases} x+2y=1, \\ 2x-3y=2, \end{cases}$那么$\dfrac{2x+4y-2}{2}+\dfrac{6x-9y}{3}=$______.
答案
3. 2
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，发现代数式中含未知数的部分可以变形为与已知方程组中方程左边形式一致的式子，因此优先考虑整体代入法求解，无需先解出x、y的具体值，可简化计算步骤：第一步先化简所求代数式，第二步将已知的$x+2y=1$和$2x-3y=2$整体代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
先对所求代数式进行化简：
$\begin{aligned}\frac{2x+4y-2}{2}+\frac{6x-9y}{3}&=\frac{2(x+2y)-2}{2}+\frac{3(2x-3y)}{3}\\&=(x+2y)-1+(2x-3y)\end{aligned}$
已知$\begin{cases} x+2y=1, \\ 2x-3y=2, \end{cases}$，将两个式子整体代入上式：
原式$=1 -1 +2=2$
【答案】
2
【知识点】
代数式化简、整体代入法、二元一次方程组
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是灵活运用整体代入思想，通过观察代数式和已知条件的关联，避开求解未知数的复杂步骤，快速得出结果，有助于培养学生的观察能力和简便运算思维。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察所求代数式的结构，发现代数式中含未知数的部分可以变形为与已知方程组中方程左边形式一致的式子，因此优先考虑整体代入法求解，无需先解出x、y的具体值，可简化计算步骤：第一步先化简所求代数式，第二步将已知的$x+2y=1$和$2x-3y=2$整体代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
先对所求代数式进行化简：
$\begin{aligned}\frac{2x+4y-2}{2}+\frac{6x-9y}{3}&=\frac{2(x+2y)-2}{2}+\frac{3(2x-3y)}{3}\\&=(x+2y)-1+(2x-3y)\end{aligned}$
已知$\begin{cases} x+2y=1, \\ 2x-3y=2, \end{cases}$，将两个式子整体代入上式：
原式$=1 -1 +2=2$
【答案】
2
【知识点】
代数式化简、整体代入法、二元一次方程组
【点评】
本题考查代数式的化简求值，核心是灵活运用整体代入思想，通过观察代数式和已知条件的关联，避开求解未知数的复杂步骤，快速得出结果，有助于培养学生的观察能力和简便运算思维。
【难度系数】
0.7
