4. 明代数学名著《算法统宗》里有一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其大意：100个和尚分100个馒头，如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，正好分完.则大和尚有人，小和尚有人.

4. 25 75

【分析】
这是一道典型的一元一次方程实际应用题，解题核心是梳理题干中的两个等量关系：一是大和尚人数加小和尚人数共100人，二是大和尚分得的馒头总数加小和尚分得的馒头总数共100个。我们可以先设大和尚人数为未知数x，借助总人数的等量关系表示出小和尚的人数，再根据馒头总数的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设大和尚有$ x $人，则小和尚有$ (100-x) $人。
根据馒头总数为100个，可列方程：
$ 3x + \frac{1}{3}(100-x) = 100 $
方程两边同时乘3消去分母，得：
$ 9x + 100 - x = 300 $
合并同类项，得：
$ 8x = 200 $
解得：$ x = 25 $
则小和尚人数为$ 100 - 25 = 75 $（人）
经检验，25个大和尚分$ 25×3=75 $个馒头，75个小和尚分$ 75÷3=25 $个馒头，合计100个馒头，符合题意。
【答案】
25；75
【知识点】
一元一次方程的应用；鸡兔同笼问题
【点评】
本题取材于我国古代数学名著，趣味性较强，属于基础类应用题，解题的关键是准确提取题干中的等量关系建立方程，计算时注意先消去分数可降低出错概率。
【难度系数】
0.8

5. 为了奖励兴趣小组的同学,张老师花92元钱购买了《智力大挑战》和《数学趣题》两种书.已知《智力大挑战》每本18元,《数学趣题》每本8元,则《数学趣题》买了________本.

5. 7

【分析】
这是一道生活实际类的方程应用题，书的购买数量只能是正整数，解题思路如下：首先设两种书的购买数量分别为两个未知数，根据总花费列出二元一次方程；再结合未知数为正整数的隐含限制，缩小未知数的取值范围，通过逐个验证取值即可得到符合条件的解。
【解析】
解：设购买《智力大挑战》x本，《数学趣题》y本，其中x、y均为正整数。
根据总花费为92元，可列方程：
$18x + 8y = 92$
化简方程，两边同时除以2得：
$9x + 4y = 46$
变形用x表示y：
$y = \frac{46 - 9x}{4}$
因为y是正整数，所以$46 - 9x ＞ 0$且$46 - 9x$能被4整除，解得$x ＜ \frac{46}{9} \approx 5.1$，即x可取1、2、3、4、5，逐个代入验证：
当x=1时，$y=\frac{37}{4}$，不是整数，舍去；
当x=2时，$y=\frac{28}{4}=7$，是正整数，符合要求；
当x=3时，$y=\frac{19}{4}$，不是整数，舍去；
当x=4时，$y=\frac{10}{4}$，不是整数，舍去；
当x=5时，$y=\frac{1}{4}$，不是整数，舍去；
因此只有x=2，y=7符合条件。
【答案】
7
【知识点】
二元一次方程的应用；二元一次方程的整数解
【点评】
本题结合实际消费场景考查方程的应用，解题的核心是抓住“书的数量为正整数”这一隐含条件，通过限制取值范围、枚举验证即可得到答案，解题时需要注意细心计算避免验证出错。
【难度系数】
0.7

三、解方程组
1. $\begin{cases}x - y = 1, \\x + 3y = 9.\end{cases}$
2. $\begin{cases}\dfrac{2(x - y)}{3} - \dfrac{x + y}{4} = -1, \\6(x + y) - 4(2x - y) = 16.\end{cases}$

1. $\begin{cases} x=3, \\ y=2. \end{cases}$
2. $\begin{cases} x=2, \\ y=2. \end{cases}$

【分析】
1. 第一个方程组中两个方程的x系数相同，可直接用加减消元法消去x求解，也可将第一个方程变形为用y表示x的形式，用代入消元法求解，两种方法均符合该学段解题要求。
2. 第二个方程组不是标准二元一次方程组形式，需先化简整理：第一个方程两边同乘分母最小公倍数12去分母，第二个方程先去括号、合并同类项，转化为标准形式后再用消元法求解即可。
【解析】
1. 解：$\begin{cases}x - y = 1&① \\x + 3y = 9&②\end{cases}$
用加减消元法，②$-$①得：
$(x+3y)-(x-y)=9-1$
$4y=8$
解得$y=2$
将$y=2$代入①得：
$x-2=1$
解得$x=3$
2. 解：先化简原方程组：
对第一个方程$\dfrac{2(x-y)}{3}-\dfrac{x+y}{4}=-1$，两边同乘12去分母得：
$8(x-y)-3(x+y)=-12$
去括号、合并同类项得：$5x-11y=-12$ ③
对第二个方程$6(x+y)-4(2x-y)=16$，去括号、合并同类项得：
$-2x+10y=16$，两边同时除以$-2$化简得：$x-5y=-8$ ④
由④变形得：$x=5y-8$ ⑤
将⑤代入③得：
$5(5y-8)-11y=-12$
$25y-40-11y=-12$
$14y=28$
解得$y=2$
将$y=2$代入⑤得：$x=5×2-8=2$
【答案】
1. $\begin{cases} x=3, \\ y=2. \end{cases}$
2. $\begin{cases} x=2, \\ y=2. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法、代入消元法、加减消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的常规考查题型，第一题可直接消元求解，第二题需要先对非标准形式的方程进行化简，计算时需注意去分母、去括号时的符号变化，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7

四、解答题
[2023·吉林]2022年12月28日查干湖冬捕活动后,某商家销售A,B两种查干湖野生鱼,如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼,需花费1 300元;如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼,需花费2 300元.分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格.

解:设每箱 A 种鱼的价格是 x 元,每箱 B 种鱼的价格是 y 元,
由题意得$\begin{cases} x+2y=1\ 300, \\ 2x+3y=2\ 300, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=700, \\ y=300. \end{cases}$
答:每箱 A 种鱼的价格是 700 元,每箱 B 种鱼的价格是 300 元.

【分析】
本题是典型的购物类二元一次方程组应用题，解题思路如下：第一步，确定两个未知量，即每箱A种鱼的价格、每箱B种鱼的价格；第二步，从题干中提取两个等量关系：①1箱A种鱼的费用+2箱B种鱼的费用=1300元，②2箱A种鱼的费用+3箱B种鱼的费用=2300元；第三步，设两个未知数，根据等量关系列出二元一次方程组；第四步，用代入消元法或加减消元法解方程组，得到未知数的值后检验是否符合实际意义即可。
【解析】
解：设每箱A种鱼的价格是x元，每箱B种鱼的价格是y元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases} x+2y=1300 \quad \mathrm{①} \\ 2x+3y=2300 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
由①得：$x=1300-2y$ ③
将③代入②得：$2(1300-2y)+3y=2300$
展开计算：$2600-4y+3y=2300$
化简得：$2600-y=2300$
解得：$y=300$
把$y=300$代入③得：$x=1300-2×300=700$
经检验，所得结果符合题意。
【答案】
每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题核心是准确从题干中提取等量关系，正确列出方程组求解，计算量小，掌握二元一次方程组的解法和应用题列方程的逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

五、趣味题
画一个“$□$”，将下图中的5个草莓彼此都隔开.

【分析】
首先观察5个草莓的分布：1个草莓位于大正方形中心位置，剩余4个草莓分别靠近大正方形的四个顶角。要画出正方形将5个草莓彼此隔开，本质是用新画的正方形把原图形分割为5个独立的区域，每个区域恰好有1个草莓。我们可以突破“正方形只能正放”的思维定势，先找到原大正方形四条边的中点，再顺次连接这四个中点，得到的斜放正方形就能满足分割要求：四个角的草莓分别处于原大正方形和新正方形之间的4个三角形区域，中心的草莓处于新正方形内部，彼此互不连通。
【解析】
作图步骤如下：
1. 分别标记出原大正方形四条边的中点；
2. 按顺时针（或逆时针）顺序依次连接这四个中点，得到的新正方形即为所求，可将5个草莓完全隔开。
【答案】

【知识点】
正方形性质、图形分割、中点应用
【点评】
本题属于趣味几何作图题，需要打破常规思维定势，结合图形元素的分布特点灵活设计分割方案，有助于提升空间想象能力和几何作图的实践能力。
【难度系数】
0.5