5. 对于任意有理数 $a,b,c,d$，我们规定 $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$。已知 $x,y$ 同时满足 $\begin{vmatrix} x & y \\ -1 & 4 \end{vmatrix} =5$，$\begin{vmatrix} 5 & y \\ -3 & x \end{vmatrix} =1$，则 $x=$ ______ ，$y=$ ______ 。

5. 2 -3

【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题第一步要先明确题目给出的二阶行列式的运算规则：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，即结果为左上角元素乘右下角元素减去右上角元素乘左下角元素。接下来将题目给出的两个行列式分别按照规则展开，就能得到关于x、y的二元一次方程组，最后求解二元一次方程组即可得到x、y的值。
【解析】
根据题中规定的运算规则：
第一个行列式展开：$\begin{vmatrix}x&y\\-1&4\end{vmatrix}=4x - y×(-1)=4x + y$，由题意得$4x + y =5$ ①；
第二个行列式展开：$\begin{vmatrix}5&y\\-3&x\end{vmatrix}=5x - y×(-3)=5x + 3y$，由题意得$5x + 3y =1$ ②；
联立①②得二元一次方程组：
$\begin{cases}4x + y =5 \\5x + 3y =1 \end{cases}$
由①式变形得：$y=5 - 4x$ ③，将③代入②式：
$5x + 3×(5 - 4x)=1$
展开计算：$5x +15 -12x =1$
合并同类项：$-7x = -14$
解得：$x=2$
将$x=2$代入③式，得$y=5 - 4×2= -3$。
【答案】
2；-3
【知识点】
新定义运算，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题解题核心是正确理解新定义的运算规则，将陌生的行列式运算转化为熟悉的方程问题，再通过消元法求解二元一次方程组即可，计算过程注意符号问题，避免出错。
【难度系数】
0.7

三、解方程组
1. $\begin{cases}2x - y = 4, \\ x + y = 2.\end{cases}$
2. $[2024·浙江]\begin{cases}2x - y = 5, \\ 4x + 3y = -10.\end{cases}$

1. $\begin{cases} x=2, \\ y=0. \end{cases}$
2. $\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}, \\ y=-4. \end{cases}$

【分析】
这两道题均为二元一次方程组求解问题，核心解题思路是消元，将二元方程转化为一元方程求解。第1题观察到两个方程中y的系数互为相反数，可直接用加减消元法，两式相加消去y，先求出x的值，再代入任意一个方程求y即可。第2题可先将第一个方程两边同乘3，使两个方程中y的系数互为相反数，再用加减消元法消去y求x，后续步骤同第1题，也可选择代入消元法求解。
【解析】
1. 给方程组标号：
$\begin{cases}2x - y = 4 \quad ① \\ x + y = 2 \quad ②\end{cases}$
由①+②，得$3x=6$，解得$x=2$。
将$x=2$代入②，得$2+y=2$，解得$y=0$。
2. 给方程组标号：
$\begin{cases}2x - y = 5 \quad ① \\ 4x + 3y = -10 \quad ②\end{cases}$
将①×3，得$6x - 3y = 15 \quad ③$
由③+②，得$10x=5$，解得$x=\dfrac{1}{2}$。
将$x=\dfrac{1}{2}$代入①，得$2×\dfrac{1}{2}-y=5$，即$1-y=5$，解得$y=-4$。
【答案】
1. $\begin{cases} x=2, \\ y=0. \end{cases}$
2. $\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}, \\ y=-4. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法、加减消元法、代入消元法
【点评】
这两道是二元一次方程组求解的常规基础题，重点考察消元思想的运用，熟练掌握消元方法、计算时细心即可拿到全分。
【难度系数】
0.85

四、解答题
1. 有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则地上的鸽子就是整个鸽群的$\frac{1}{3}$；若从树上飞下去一只，则树上、地上的鸽子就一样多了.”你知道树上、地上各有多少只鸽子吗？

解:设树上有x只鸽子,地上有y只鸽子.
由题意得$\begin{cases} y-1=\dfrac{1}{3}(x+y), \\ x-1=y+1. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=7, \\ y=5. \end{cases}$
答:树上有7只鸽子,地上有5只鸽子.

【分析】
这是一道利用二元一次方程组解决的实际应用题，解题思路如下：第一步，明确两个未知量：树上鸽子的数量和地上鸽子的数量，可分别设为两个未知数；第二步，从题目给出的两个条件中提取等量关系：①地上的鸽子飞走1只后，剩余地上鸽子数等于整个鸽群总数量的$\frac{1}{3}$；②树上的鸽子飞下去1只后，剩余树上鸽子数等于此时地上的鸽子数；第三步，将等量关系转化为方程组，求解即可得到结果。
【解析】
解：设树上有$x$只鸽子，地上有$y$只鸽子。
根据题意列方程组得：
$\begin{cases} y-1=\dfrac{1}{3}(x+y) ①\\ x-1=y+1 ② \end{cases}$
整理方程②可得：$x = y + 2$ ③
把③代入①中：
$y - 1 = \dfrac{1}{3}(y + 2 + y)$
两边同时乘3消去分母：
$3(y - 1) = 2y + 2$
展开计算得：$3y - 3 = 2y + 2$
移项解得：$y = 5$
把$y=5$代入③得：$x = 5 + 2 = 7$
因此方程组的解为$\begin{cases} x=7 \\ y=5 \end{cases}$
【答案】
树上有7只鸽子，地上有5只鸽子。
【知识点】
二元一次方程组的应用，解二元一次方程组
【点评】
本题是典型的方程类实际应用题，解题核心是读懂题意，准确提取题干中的等量关系，再根据等量关系列方程求解即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7

2. 小阳骑车每分钟行 240 m,步行每分钟走 80 m,小红每次从家步行到学校所需时间相同.请根据两人的对话解决如下问题.
小阳:“如果我骑车,你步行,那么从家到学校我比你少用 4 min.”
小红:“如果我们俩都步行,那么从家到学校我比你少用 2 min.”
设小阳从家到学校的路程为 $ x $ m,小红从家到学校所需的时间为 $ y $ min.
(1) 小阳从家到学校骑车的时间是 min,步行的时间是 min.
(用含 $ x $ 的式子表示)
(2) 求 $ x,y $ 的值.

(1) $\dfrac{x}{240}$ $\dfrac{x}{80}$
(2)由题意得
$\begin{cases} \dfrac{x}{80}-2=y, \\ \dfrac{x}{240}+4=y. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=720, \\ y=7. \end{cases}$
故x的值是720,y的值是7.

【分析】
（1）本题第一问可利用行程问题的核心公式“时间=路程÷速度”求解，已知小阳家到学校的路程为$x$ m，分别对应骑车和步行的速度，代入公式即可得到含$x$的时间表达式。
（2）第二问需要从两人的对话中提取等量关系：①小阳骑车到学校的时间比小红步行到学校的时间少4 min，即小阳骑车时间+4 min=小红的到校时间$y$；②两人都步行时，小红比小阳少用2 min，即小阳步行时间-2 min=小红的到校时间$y$。将两个等量关系转化为方程后联立为二元一次方程组，求解即可得到$x$和$y$的值。
【解析】
（1）根据时间=路程÷速度：
小阳骑车的时间为路程除以骑车速度，即$\frac{x}{240}$ min；
小阳步行的时间为路程除以步行速度，即$\frac{x}{80}$ min。
（2）根据题意列方程组：
$\begin{cases} \dfrac{x}{80}-2=y \\ \dfrac{x}{240}+4=y \end{cases}$
联立两个等式得：$\frac{x}{80} - 2 = \frac{x}{240} + 4$
等式两边同时乘240消去分母，得：$3x - 480 = x + 960$
移项合并同类项，得：$2x = 1440$
解得$x=720$，将$x=720$代入$\frac{x}{80}-2=y$，得$y=\frac{720}{80}-2=7$。
【答案】
(1) $\dfrac{x}{240}$；$\dfrac{x}{80}$
(2) $\begin{cases} x=720 \\ y=7 \end{cases}$
【知识点】
行程问题公式；列二元一次方程组；解二元一次方程组
【点评】
本题是典型的行程类实际应用题，解题关键是准确梳理题干中的数量关系，找准等量关系列方程组，计算难度较低，主要考察对题意的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7