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一、选择题
1. [2023·许昌二模]《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就. 书中记载了一个问题，大意：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多5元；每人出6元，少4元. 问：有多少人？该物品价值多少元？设有$ x $人，物品价值$ y $元，则所列方程组正确的是（
A.$\begin{cases} 9x - 5 = y, \\ 6x - 4 = y \end{cases}$
B.$\begin{cases} 9x + 5 = y, \\ 6x - 4 = y \end{cases}$
C.$\begin{cases} 9x - 5 = y, \\ 6x + 4 = y \end{cases}$
D.$\begin{cases} 9x + 5 = y, \\ 6x + 4 = y \end{cases}$
1. [2023·许昌二模]《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就. 书中记载了一个问题，大意：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多5元；每人出6元，少4元. 问：有多少人？该物品价值多少元？设有$ x $人，物品价值$ y $元，则所列方程组正确的是（
C
）A.$\begin{cases} 9x - 5 = y, \\ 6x - 4 = y \end{cases}$
B.$\begin{cases} 9x + 5 = y, \\ 6x - 4 = y \end{cases}$
C.$\begin{cases} 9x - 5 = y, \\ 6x + 4 = y \end{cases}$
D.$\begin{cases} 9x + 5 = y, \\ 6x + 4 = y \end{cases}$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确题中两个不变的量：人数和物品价值，我们需要根据两种不同的出钱情况，分别找到总钱数和物品价值的等量关系，再列出对应的方程，组合成方程组后对应选项判断即可。首先看第一种情况：每人出9元时总钱数比物品价值多5元，说明总钱数减去多出来的5元就等于物品价值；第二种情况：每人出6元时总钱数比物品价值少4元，说明总钱数加上少的4元就等于物品价值，据此列方程即可。
【解析】
设有$x$人，物品价值$y$元：
1. 根据“每人出9元，多5元”，可知所有人出的总钱数$9x$比物品价值$y$多5元，可列方程：$9x - 5 = y$；
2. 根据“每人出6元，少4元”，可知所有人出的总钱数$6x$比物品价值$y$少4元，可列方程：$6x + 4 = y$。
联立两个方程可得方程组$\begin{cases} 9x - 5 = y, \\ 6x + 4 = y \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组应用、根据等量关系列方程
【点评】
本题以《九章算术》中的经典问题为背景，考查学生从实际问题中提取等量关系、列二元一次方程组的能力，解题的关键是理清总钱数和物品价值之间的多少关系，避免加减符号搞反。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确题中两个不变的量：人数和物品价值，我们需要根据两种不同的出钱情况，分别找到总钱数和物品价值的等量关系，再列出对应的方程，组合成方程组后对应选项判断即可。首先看第一种情况：每人出9元时总钱数比物品价值多5元，说明总钱数减去多出来的5元就等于物品价值；第二种情况：每人出6元时总钱数比物品价值少4元，说明总钱数加上少的4元就等于物品价值，据此列方程即可。
【解析】
设有$x$人，物品价值$y$元：
1. 根据“每人出9元，多5元”，可知所有人出的总钱数$9x$比物品价值$y$多5元，可列方程：$9x - 5 = y$；
2. 根据“每人出6元，少4元”，可知所有人出的总钱数$6x$比物品价值$y$少4元，可列方程：$6x + 4 = y$。
联立两个方程可得方程组$\begin{cases} 9x - 5 = y, \\ 6x + 4 = y \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组应用、根据等量关系列方程
【点评】
本题以《九章算术》中的经典问题为背景，考查学生从实际问题中提取等量关系、列二元一次方程组的能力，解题的关键是理清总钱数和物品价值之间的多少关系，避免加减符号搞反。
【难度系数】
0.8
2. 若二元一次方程$3x-2y=1$有正整数解,则$x$的取值为 （
A.0
B.偶数
C.奇数
D.奇数或偶数
C
）A.0
B.偶数
C.奇数
D.奇数或偶数
答案
2. C
解析
【分析】
首先明确二元一次方程有正整数解的含义是x、y均为正整数，我们可以先把方程变形为用x表示y的形式，再根据y是正整数的条件，结合奇偶性运算规律推导x的取值类型。具体来说，y必须是整数，因此分子3x-1必须是2的倍数即偶数，再通过奇偶性运算规则反推x的奇偶性即可得到结论。
【解析】
解：
∵二元一次方程$3x-2y=1$有正整数解，
∴x、y均为正整数。
将原方程移项变形得：$2y=3x-1$，即$y=\frac{3x-1}{2}$。
∵y是正整数，
∴$3x-1$必须是能被2整除的正偶数。
根据奇偶性运算规律：偶数+1=奇数，因此$3x=偶数+1=奇数$。
又
∵3是奇数，满足“奇数×奇数=奇数、奇数×偶数=偶数”的运算规则，因此要使$3x$为奇数，x必须为奇数。
举例验证：x=1（奇数）时，$y=\frac{3×1-1}{2}=1$，是正整数，符合要求；x=2（偶数）时，$y=\frac{3×2-1}{2}=2.5$，不是整数，不符合要求。
综上x的取值为奇数，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解；奇偶性运算性质
【点评】
本题考查二元一次方程正整数解的判断，解题核心是将方程变形后结合正整数解的限制条件，利用奇偶性运算规律推导未知数的取值特征，是基础的综合应用类题目。
【难度系数】
0.7
首先明确二元一次方程有正整数解的含义是x、y均为正整数，我们可以先把方程变形为用x表示y的形式，再根据y是正整数的条件，结合奇偶性运算规律推导x的取值类型。具体来说，y必须是整数，因此分子3x-1必须是2的倍数即偶数，再通过奇偶性运算规则反推x的奇偶性即可得到结论。
【解析】
解：
∵二元一次方程$3x-2y=1$有正整数解，
∴x、y均为正整数。
将原方程移项变形得：$2y=3x-1$，即$y=\frac{3x-1}{2}$。
∵y是正整数，
∴$3x-1$必须是能被2整除的正偶数。
根据奇偶性运算规律：偶数+1=奇数，因此$3x=偶数+1=奇数$。
又
∵3是奇数，满足“奇数×奇数=奇数、奇数×偶数=偶数”的运算规则，因此要使$3x$为奇数，x必须为奇数。
举例验证：x=1（奇数）时，$y=\frac{3×1-1}{2}=1$，是正整数，符合要求；x=2（偶数）时，$y=\frac{3×2-1}{2}=2.5$，不是整数，不符合要求。
综上x的取值为奇数，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解；奇偶性运算性质
【点评】
本题考查二元一次方程正整数解的判断，解题核心是将方程变形后结合正整数解的限制条件，利用奇偶性运算规律推导未知数的取值特征，是基础的综合应用类题目。
【难度系数】
0.7
3. 已知方程组$\begin{cases}2x+3y=1, \\3x+2y=2\end{cases}$的解满足$x-y=m-1$，则$m$的值为（ ）
A.$-1$
B.$-2$
C.$1$
D.$2$
A.$-1$
B.$-2$
C.$1$
D.$2$
答案
3. D
解析
【分析】
解题可从两种思路入手：思路1：先求解给定的二元一次方程组，得到x和y的具体值，再代入$x-y=m-1$的等式中，解关于m的一元一次方程即可得到m的值；思路2：观察两个方程的系数，发现用第二个方程减去第一个方程可以直接得到$x-y$的结果，不需要分别求解x、y，代入等式即可快速求出m，这种方法更简便。
【解析】
方法一：解方程组$\begin{cases}2x+3y=1&① \\3x+2y=2&②\end{cases}$
①×3得：$6x+9y=3$ ③
②×2得：$6x+4y=4$ ④
③-④得：$5y=-1$，解得$y=-\frac{1}{5}$
把$y=-\frac{1}{5}$代入①得：$2x + 3×(-\frac{1}{5})=1$，解得$x=\frac{4}{5}$
将$x=\frac{4}{5}$，$y=-\frac{1}{5}$代入$x-y=m-1$得：
$\frac{4}{5} - (-\frac{1}{5}) = m-1$
化简得$1=m-1$，解得$m=2$
方法二（简便方法）：用方程②减去方程①：
$(3x+2y)-(2x+3y)=2-1$
去括号合并同类项得：$x-y=1$
将$x-y=1$代入$x-y=m-1$得：
$1=m-1$，解得$m=2$
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解法；等式的性质；一元一次方程求解
【点评】本题解题时可以先观察式子的系数特点，选择更简便的整体代入法减少计算量，同时要注意移项变号等计算细节，避免粗心出错。
【难度系数】0.8
解题可从两种思路入手：思路1：先求解给定的二元一次方程组，得到x和y的具体值，再代入$x-y=m-1$的等式中，解关于m的一元一次方程即可得到m的值；思路2：观察两个方程的系数，发现用第二个方程减去第一个方程可以直接得到$x-y$的结果，不需要分别求解x、y，代入等式即可快速求出m，这种方法更简便。
【解析】
方法一：解方程组$\begin{cases}2x+3y=1&① \\3x+2y=2&②\end{cases}$
①×3得：$6x+9y=3$ ③
②×2得：$6x+4y=4$ ④
③-④得：$5y=-1$，解得$y=-\frac{1}{5}$
把$y=-\frac{1}{5}$代入①得：$2x + 3×(-\frac{1}{5})=1$，解得$x=\frac{4}{5}$
将$x=\frac{4}{5}$，$y=-\frac{1}{5}$代入$x-y=m-1$得：
$\frac{4}{5} - (-\frac{1}{5}) = m-1$
化简得$1=m-1$，解得$m=2$
方法二（简便方法）：用方程②减去方程①：
$(3x+2y)-(2x+3y)=2-1$
去括号合并同类项得：$x-y=1$
将$x-y=1$代入$x-y=m-1$得：
$1=m-1$，解得$m=2$
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解法；等式的性质；一元一次方程求解
【点评】本题解题时可以先观察式子的系数特点，选择更简便的整体代入法减少计算量，同时要注意移项变号等计算细节，避免粗心出错。
【难度系数】0.8
4. 方程组$\begin{cases}2x+y=■,\\x+y=3\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2,\\y=▲,\end{cases}$则被遮盖的前后两个数分别为（ ）
A.$1,2$
B.$1,5$
C.$5,1$
D.$2,4$
A.$1,2$
B.$1,5$
C.$5,1$
D.$2,4$
答案
4. C
解析
【分析】
我们知道二元一次方程组的解会同时满足方程组里的所有方程，解题时可以先利用已知的x的值和完整的第二个方程求出y的值，也就是被遮盖的▲对应的数；再把x、y的数值代入第一个方程，就能算出第一个被遮盖的■对应的数，计算时要注意两个被遮盖数的前后顺序，避免混淆。
【解析】
1. 求▲代表的数：
已知方程组的解为$x=2$，把$x=2$代入方程$x+y=3$中，可得：
$2+y=3$
解得$y=1$，即$▲=1$。
2. 求■代表的数：
把$x=2$，$y=1$代入方程$2x+y=■$中，计算可得：
$2×2+1=5$，即$■=5$。
因此被遮盖的前后两个数分别是5和1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解、代入求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查对二元一次方程组解的定义的理解，只要掌握“方程组的解满足每一个方程”的特点，通过代入计算即可得到结果，解题时注意不要弄反两个被遮盖数值的对应顺序。
【难度系数】
0.8
我们知道二元一次方程组的解会同时满足方程组里的所有方程，解题时可以先利用已知的x的值和完整的第二个方程求出y的值，也就是被遮盖的▲对应的数；再把x、y的数值代入第一个方程，就能算出第一个被遮盖的■对应的数，计算时要注意两个被遮盖数的前后顺序，避免混淆。
【解析】
1. 求▲代表的数：
已知方程组的解为$x=2$，把$x=2$代入方程$x+y=3$中，可得：
$2+y=3$
解得$y=1$，即$▲=1$。
2. 求■代表的数：
把$x=2$，$y=1$代入方程$2x+y=■$中，计算可得：
$2×2+1=5$，即$■=5$。
因此被遮盖的前后两个数分别是5和1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解、代入求值
【点评】
本题是基础题型，重点考查对二元一次方程组解的定义的理解，只要掌握“方程组的解满足每一个方程”的特点，通过代入计算即可得到结果，解题时注意不要弄反两个被遮盖数值的对应顺序。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 已知$a + b = 10$，$a - b = 30$，则$a - b^2$的值是________。
1. 已知$a + b = 10$，$a - b = 30$，则$a - b^2$的值是________。
答案
1. -80
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，给出了两个关于a、b的一次等式，可先联立组成二元一次方程组，通过加减消元法先求出a、b的具体值，再将a、b的值代入待求式$a - b^2$中计算即可得到结果。第一步先消元求a：两个等式相加可以消去b，直接算出a的值；第二步将a代入原式求b的值；第三步代入待求式计算，注意计算$b^2$时符号不要出错。
【解析】
联立已知条件得二元一次方程组：
$\begin{cases}a + b = 10 \quad ①\\a - b = 30 \quad ②\end{cases}$
由①+②，可得：$2a = 40$，解得$a = 20$。
将$a = 20$代入①式，得：$20 + b = 10$，解得$b = -10$。
将$a = 20$，$b = -10$代入$a - b^2$，得：
$a - b^2 = 20 - (-10)^2 = 20 - 100 = -80$
【答案】
-80
【知识点】
二元一次方程组的解法，代数式求值，有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础计算题，核心是通过已知方程组求出未知字母的值，再代入代数式计算，解题时需注意负数的平方结果为正数，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件，给出了两个关于a、b的一次等式，可先联立组成二元一次方程组，通过加减消元法先求出a、b的具体值，再将a、b的值代入待求式$a - b^2$中计算即可得到结果。第一步先消元求a：两个等式相加可以消去b，直接算出a的值；第二步将a代入原式求b的值；第三步代入待求式计算，注意计算$b^2$时符号不要出错。
【解析】
联立已知条件得二元一次方程组：
$\begin{cases}a + b = 10 \quad ①\\a - b = 30 \quad ②\end{cases}$
由①+②，可得：$2a = 40$，解得$a = 20$。
将$a = 20$代入①式，得：$20 + b = 10$，解得$b = -10$。
将$a = 20$，$b = -10$代入$a - b^2$，得：
$a - b^2 = 20 - (-10)^2 = 20 - 100 = -80$
【答案】
-80
【知识点】
二元一次方程组的解法，代数式求值，有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础计算题，核心是通过已知方程组求出未知字母的值，再代入代数式计算，解题时需注意负数的平方结果为正数，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.8
2. [2025·洛阳一模]方程组$\begin{cases} x+y=1, \\ 3x-y=3 \end{cases}$的解是________.
答案
2. $\begin{cases} x=1, \\ y=0 \end{cases}$
解析
【分析】
观察给出的二元一次方程组，两个方程中未知数y的系数分别为1和-1，互为相反数，因此优先选择加减消元法解题：先将两个方程左右两边直接相加，消去y得到只含x的一元一次方程，解出x的取值后，再代入任意一个原方程求出y的取值，即可得到方程组的解。
【解析】
解：令$\begin{cases} x+y=1 \ \ \ ① \\ 3x-y=3 \ \ ② \end{cases}$
将①+②消去y，可得：
$(x+y)+(3x-y)=1+3$
合并同类项得：$4x=4$
解得：$x=1$
把$x=1$代入①式，得：
$1+y=1$
解得：$y=0$
因此原方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=0 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=1, \\ y=0 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法；加减消元法；一元一次方程求解
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，解题时可先观察未知数的系数特点，选择更简便的消元方法，计算过程难度较低，注意避免计算失误即可。
【难度系数】
0.9
观察给出的二元一次方程组，两个方程中未知数y的系数分别为1和-1，互为相反数，因此优先选择加减消元法解题：先将两个方程左右两边直接相加，消去y得到只含x的一元一次方程，解出x的取值后，再代入任意一个原方程求出y的取值，即可得到方程组的解。
【解析】
解：令$\begin{cases} x+y=1 \ \ \ ① \\ 3x-y=3 \ \ ② \end{cases}$
将①+②消去y，可得：
$(x+y)+(3x-y)=1+3$
合并同类项得：$4x=4$
解得：$x=1$
把$x=1$代入①式，得：
$1+y=1$
解得：$y=0$
因此原方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=0 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=1, \\ y=0 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法；加减消元法；一元一次方程求解
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，解题时可先观察未知数的系数特点，选择更简便的消元方法，计算过程难度较低，注意避免计算失误即可。
【难度系数】
0.9
3. 某人买了60分的邮票和80分的邮票共20枚,用去了13元2角,则60分的邮票买了________枚,80分的邮票买了________枚.
答案
3. 14 6
解析
【分析】
这是典型的实际应用类方程问题，解题思路如下：第一步先统一单位，题目中面值单位为分，总花费单位为元、角，先统一为相同单位避免计算错误；第二步找等量关系：①60分邮票枚数+80分邮票枚数=20枚，②60分邮票总花费+80分邮票总花费=13元2角；第三步设其中一种邮票的数量为未知数，借助第一个等量关系表示出另一种邮票的数量，代入第二个等量关系列方程求解即可。
【解析】
首先进行单位换算：13元2角=13.2元，60分=0.6元，80分=0.8元。
设60分的邮票买了$x$枚，则80分的邮票买了$(20-x)$枚，根据总花费列方程：
$0.6x + 0.8(20 - x) = 13.2$
展开得：$0.6x + 16 - 0.8x = 13.2$
合并同类项得：$-0.2x = -2.8$
解得：$x = 14$
则80分邮票的数量为：$20 - 14 = 6$（枚）
【答案】
14；6
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 单位换算
3. 等量关系梳理
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考察将实际问题转化为数学方程的能力，解题的关键点一是提前统一单位避免计算失误，二是准确找到题目中对应的两个等量关系，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
这是典型的实际应用类方程问题，解题思路如下：第一步先统一单位，题目中面值单位为分，总花费单位为元、角，先统一为相同单位避免计算错误；第二步找等量关系：①60分邮票枚数+80分邮票枚数=20枚，②60分邮票总花费+80分邮票总花费=13元2角；第三步设其中一种邮票的数量为未知数，借助第一个等量关系表示出另一种邮票的数量，代入第二个等量关系列方程求解即可。
【解析】
首先进行单位换算：13元2角=13.2元，60分=0.6元，80分=0.8元。
设60分的邮票买了$x$枚，则80分的邮票买了$(20-x)$枚，根据总花费列方程：
$0.6x + 0.8(20 - x) = 13.2$
展开得：$0.6x + 16 - 0.8x = 13.2$
合并同类项得：$-0.2x = -2.8$
解得：$x = 14$
则80分邮票的数量为：$20 - 14 = 6$（枚）
【答案】
14；6
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 单位换算
3. 等量关系梳理
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考察将实际问题转化为数学方程的能力，解题的关键点一是提前统一单位避免计算失误，二是准确找到题目中对应的两个等量关系，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
4. 某种植大户计划安排10个人来耕作30亩(1亩≈666.7平方米)土地,这些土地可以种蔬菜也可以种水稻,种这些作物所需人数及预计产值如下表.
为了使所有土地都种上作物,10个人都有工作,应安排种蔬菜的人数为
为了使所有土地都种上作物,10个人都有工作,应安排种蔬菜的人数为
5
人,这时预计总产值为44 000
元.答案
4. 5 44 000
解析
【分析】
要解决本题，我们可以通过设未知数列方程的方式求解：首先明确两个核心条件：总人数为10人，总种植面积为30亩。我们可以先设种蔬菜的人数为x，用x分别表示出蔬菜、水稻的种植亩数，再根据总亩数为30亩的等量关系列方程，求出种蔬菜的人数后，再计算对应的总产值即可。
【解析】
设安排种蔬菜的人数为$x$人，则种水稻的人数为$(10-x)$人。
根据“种植亩数=总人数÷每亩所需人数”，可得：
蔬菜种植亩数为：$x÷\frac{1}{2}=2x$亩
水稻种植亩数为：$(10-x)÷\frac{1}{4}=4(10-x)$亩
根据总亩数为30亩，列方程：
$2x + 4(10-x) = 30$
解方程：
$2x + 40 - 4x = 30$
$-2x = -10$
$x=5$
即安排种蔬菜的人数为5人。
接下来计算总产值：
蔬菜种植亩数：$2×5=10$亩，蔬菜产值：$10×3000=30000$元
水稻种植亩数：$30-10=20$亩，水稻产值：$20×700=14000$元
总产值：$30000+14000=44000$元
【答案】
5；44000
【知识点】
一元一次方程的应用；有理数混合运算
【点评】
本题属于方程类实际应用题，解题的核心是找准总亩数的等量关系，正确根据人数和每亩所需人数的关系表示出两种作物的种植面积，计算时注意理清数量关系，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，我们可以通过设未知数列方程的方式求解：首先明确两个核心条件：总人数为10人，总种植面积为30亩。我们可以先设种蔬菜的人数为x，用x分别表示出蔬菜、水稻的种植亩数，再根据总亩数为30亩的等量关系列方程，求出种蔬菜的人数后，再计算对应的总产值即可。
【解析】
设安排种蔬菜的人数为$x$人，则种水稻的人数为$(10-x)$人。
根据“种植亩数=总人数÷每亩所需人数”，可得：
蔬菜种植亩数为：$x÷\frac{1}{2}=2x$亩
水稻种植亩数为：$(10-x)÷\frac{1}{4}=4(10-x)$亩
根据总亩数为30亩，列方程：
$2x + 4(10-x) = 30$
解方程：
$2x + 40 - 4x = 30$
$-2x = -10$
$x=5$
即安排种蔬菜的人数为5人。
接下来计算总产值：
蔬菜种植亩数：$2×5=10$亩，蔬菜产值：$10×3000=30000$元
水稻种植亩数：$30-10=20$亩，水稻产值：$20×700=14000$元
总产值：$30000+14000=44000$元
【答案】
5；44000
【知识点】
一元一次方程的应用；有理数混合运算
【点评】
本题属于方程类实际应用题，解题的核心是找准总亩数的等量关系，正确根据人数和每亩所需人数的关系表示出两种作物的种植面积，计算时注意理清数量关系，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
