登录
1. 已知$3x^{2m}-2y^{n}=1$是关于$x,y$的二元一次方程，则$mn=$
$\dfrac{1}{2}$
.答案
1. $\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先要抓住二元一次方程的核心定义：一是方程中含有2个不同的未知数（本题已经满足有x、y两个未知数）；二是每个含有未知数的项的次数都是1，且方程为整式方程。我们只需根据“次数为1”的要求，分别列出关于m、n的等式，求出m、n的取值后再计算mn的值即可。
【解析】
解：
∵$3x^{2m}-2y^{n}=1$是关于$x,y$的二元一次方程
根据二元一次方程的定义，含未知数的项的次数为1，可得：
$2m=1$，$n=1$
解得：$m=\frac{1}{2}$，$n=1$
∴$mn=\frac{1}{2} × 1=\frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 二元一次方程的定义 2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题的关键是准确理解二元一次方程中“一次”的含义，即每个未知数的次数均为1，牢记相关定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要抓住二元一次方程的核心定义：一是方程中含有2个不同的未知数（本题已经满足有x、y两个未知数）；二是每个含有未知数的项的次数都是1，且方程为整式方程。我们只需根据“次数为1”的要求，分别列出关于m、n的等式，求出m、n的取值后再计算mn的值即可。
【解析】
解：
∵$3x^{2m}-2y^{n}=1$是关于$x,y$的二元一次方程
根据二元一次方程的定义，含未知数的项的次数为1，可得：
$2m=1$，$n=1$
解得：$m=\frac{1}{2}$，$n=1$
∴$mn=\frac{1}{2} × 1=\frac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 二元一次方程的定义 2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题的关键是准确理解二元一次方程中“一次”的含义，即每个未知数的次数均为1，牢记相关定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 已知方程$x+y=5$,用含$x$的式子表示$y$,则$y=$
$5-x$
.答案
2. $5-x$
解析
【分析】
本题要求用含x的式子表示y，解题思路是把x看作已知数，将原方程视为关于y的一元一次方程，利用等式的性质通过移项把y单独放在等号一侧即可，移项时要注意从等号一侧移到另一侧的项需要改变符号。
【解析】
解：已知方程 $x + y = 5$，
根据等式的基本性质，等式两边同时减去$x$，等式仍然成立，可得：
$x + y - x = 5 - x$
化简后得到：$y = 5 - x$
【答案】
$5-x$
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 二元一次方程变形
【点评】
本题属于基础题型，主要考查方程的基本变形，熟练掌握移项规则就能快速解答。
【难度系数】
0.9
本题要求用含x的式子表示y，解题思路是把x看作已知数，将原方程视为关于y的一元一次方程，利用等式的性质通过移项把y单独放在等号一侧即可，移项时要注意从等号一侧移到另一侧的项需要改变符号。
【解析】
解：已知方程 $x + y = 5$，
根据等式的基本性质，等式两边同时减去$x$，等式仍然成立，可得：
$x + y - x = 5 - x$
化简后得到：$y = 5 - x$
【答案】
$5-x$
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 二元一次方程变形
【点评】
本题属于基础题型，主要考查方程的基本变形，熟练掌握移项规则就能快速解答。
【难度系数】
0.9
3. [2023·河南]方程组$\begin{cases} 3x+y=5, \\ x+3y=7 \end{cases}$的解为________.
答案
3. $\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$
解析
【分析】
这是二元一次方程组的求解问题，解题核心思路是消元，将含两个未知数的方程组转化为我们已经掌握的一元一次方程求解。本题中两个方程的未知数系数存在倍数关系，适合用加减消元法：先根据等式的性质对其中一个方程变形，让某一个未知数的系数相等或互为相反数，再通过两个方程相加/减消去该未知数，求出另一个未知数的值，最后代入原方程求出剩余的未知数即可。
【解析】
先给方程组标注序号：
$\begin{cases} 3x+y=5&① \\ x+3y=7&② \end{cases}$
第一步，消去$y$：将①式左右两边同时乘3，得$9x+3y=15$ ③
第二步，用③式减去②式：$(9x+3y)-(x+3y)=15-7$
化简得$8x=8$，解得$x=1$
第三步，求$y$的值：把$x=1$代入①式，得$3×1+y=5$
解得$y=2$
第四步，检验：将$x=1,y=2$分别代入①②，等式均成立，解正确。
【答案】
$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解、加减消元法
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础考查题，核心考查消元的解题思想，熟练掌握加减消元法或代入消元法即可快速解题，计算量小。
【难度系数】
0.9
这是二元一次方程组的求解问题，解题核心思路是消元，将含两个未知数的方程组转化为我们已经掌握的一元一次方程求解。本题中两个方程的未知数系数存在倍数关系，适合用加减消元法：先根据等式的性质对其中一个方程变形，让某一个未知数的系数相等或互为相反数，再通过两个方程相加/减消去该未知数，求出另一个未知数的值，最后代入原方程求出剩余的未知数即可。
【解析】
先给方程组标注序号：
$\begin{cases} 3x+y=5&① \\ x+3y=7&② \end{cases}$
第一步，消去$y$：将①式左右两边同时乘3，得$9x+3y=15$ ③
第二步，用③式减去②式：$(9x+3y)-(x+3y)=15-7$
化简得$8x=8$，解得$x=1$
第三步，求$y$的值：把$x=1$代入①式，得$3×1+y=5$
解得$y=2$
第四步，检验：将$x=1,y=2$分别代入①②，等式均成立，解正确。
【答案】
$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解、加减消元法
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础考查题，核心考查消元的解题思想，熟练掌握加减消元法或代入消元法即可快速解题，计算量小。
【难度系数】
0.9
三、解方程组
1. $\begin{cases}x + 2y = 4, \\4x + 9y = 18.\end{cases}$
2. $[2025·山西]\begin{cases}3x - 2y = 11, \\x + 2y = 1.\end{cases}$
1. $\begin{cases}x + 2y = 4, \\4x + 9y = 18.\end{cases}$
2. $[2025·山西]\begin{cases}3x - 2y = 11, \\x + 2y = 1.\end{cases}$
答案
1. $\begin{cases} x=0, \\ y=2. \end{cases}$
2. $\begin{cases} x=3, \\ y=-1. \end{cases}$
2. $\begin{cases} x=3, \\ y=-1. \end{cases}$
解析
【分析】
求解二元一次方程组的核心思路是消元，将二元转化为一元求解。观察两个方程组的未知数系数特征选择简便的消元方法：1. 第一个方程组中x的系数为1和4，可将第一个方程乘4后与第二个方程作差消去x；2. 第二个方程组中y的系数分别为-2和+2，互为相反数，直接将两个方程相加即可消去y。消元后得到一元一次方程，解出一个未知数的值，再代入原任意一个方程求出另一个未知数的值，最后可代入原方程组检验解是否正确。
【解析】
1. 解：给方程组标序为$\begin{cases}x + 2y = 4&① \\4x + 9y = 18&②\end{cases}$
将①×4，得$4x + 8y = 16$ ③
用②-③，得：$(4x+9y)-(4x+8y)=18-16$，解得$y=2$
把$y=2$代入①，得$x + 2×2=4$，解得$x=0$
所以该方程组的解为$\begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases}$
2. 解：给方程组标序为$\begin{cases}3x - 2y = 11&① \\x + 2y = 1&②\end{cases}$
将①+②，得：$(3x-2y)+(x+2y)=11+1$，即$4x=12$，解得$x=3$
把$x=3$代入②，得$3 + 2y =1$，解得$y=-1$
所以该方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=-1 \end{cases}$
【答案】
1. $\begin{cases} x=0, \\ y=2. \end{cases}$
2. $\begin{cases} x=3, \\ y=-1. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，加减消元法，消元思想
【点评】
这两道题是二元一次方程组求解的基础题型，重点考察消元思想的应用，解题时优先观察未知数系数的特点，选择更简便的消元方法可以提升解题速度和准确率，求解后可将结果代入原方程组的两个方程检验，确保解的正确性。
【难度系数】
0.85
求解二元一次方程组的核心思路是消元，将二元转化为一元求解。观察两个方程组的未知数系数特征选择简便的消元方法：1. 第一个方程组中x的系数为1和4，可将第一个方程乘4后与第二个方程作差消去x；2. 第二个方程组中y的系数分别为-2和+2，互为相反数，直接将两个方程相加即可消去y。消元后得到一元一次方程，解出一个未知数的值，再代入原任意一个方程求出另一个未知数的值，最后可代入原方程组检验解是否正确。
【解析】
1. 解：给方程组标序为$\begin{cases}x + 2y = 4&① \\4x + 9y = 18&②\end{cases}$
将①×4，得$4x + 8y = 16$ ③
用②-③，得：$(4x+9y)-(4x+8y)=18-16$，解得$y=2$
把$y=2$代入①，得$x + 2×2=4$，解得$x=0$
所以该方程组的解为$\begin{cases} x=0 \\ y=2 \end{cases}$
2. 解：给方程组标序为$\begin{cases}3x - 2y = 11&① \\x + 2y = 1&②\end{cases}$
将①+②，得：$(3x-2y)+(x+2y)=11+1$，即$4x=12$，解得$x=3$
把$x=3$代入②，得$3 + 2y =1$，解得$y=-1$
所以该方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=-1 \end{cases}$
【答案】
1. $\begin{cases} x=0, \\ y=2. \end{cases}$
2. $\begin{cases} x=3, \\ y=-1. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，加减消元法，消元思想
【点评】
这两道题是二元一次方程组求解的基础题型，重点考察消元思想的应用，解题时优先观察未知数系数的特点，选择更简便的消元方法可以提升解题速度和准确率，求解后可将结果代入原方程组的两个方程检验，确保解的正确性。
【难度系数】
0.85
四、解答题
我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何.
设鸡有$ x $只,兔有$ y $只,请你写出关于$ x,y $的二元一次方程组,并解这个方程组.
我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何.
设鸡有$ x $只,兔有$ y $只,请你写出关于$ x,y $的二元一次方程组,并解这个方程组.
答案
解:由题意得$\begin{cases} x+y=35, \\ 2x+4y=94. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=23, \\ y=12. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=23, \\ y=12. \end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先从题目中提取两个等量关系：①鸡和兔的总数量等于头的总数35，因为每只鸡和每只兔都只有1个头；②鸡和兔的总脚数等于94，其中每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚。将未知数x、y代入这两个等量关系即可列出二元一次方程组，再使用代入消元法或加减消元法求解方程组即可得到结果。
【解析】
根据题意可列方程组：
$\begin{cases} x+y=35&① \\ 2x+4y=94&② \end{cases}$
使用加减消元法求解：
将①两边同时乘2，得$2x+2y=70$ ③
用②减去③，得：$(2x+4y)-(2x+2y)=94-70$
化简得$2y=24$，解得$y=12$
将$y=12$代入①，得$x+12=35$，解得$x=23$
【答案】
$\begin{cases} x+y=35, \\ 2x+4y=94. \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=23, \\ y=12. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是经典的鸡兔同笼问题，核心考查从实际情境中提取等量关系列方程组的能力，以及二元一次方程组的计算能力，找准两个独立的等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先从题目中提取两个等量关系：①鸡和兔的总数量等于头的总数35，因为每只鸡和每只兔都只有1个头；②鸡和兔的总脚数等于94，其中每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚。将未知数x、y代入这两个等量关系即可列出二元一次方程组，再使用代入消元法或加减消元法求解方程组即可得到结果。
【解析】
根据题意可列方程组：
$\begin{cases} x+y=35&① \\ 2x+4y=94&② \end{cases}$
使用加减消元法求解：
将①两边同时乘2，得$2x+2y=70$ ③
用②减去③，得：$(2x+4y)-(2x+2y)=94-70$
化简得$2y=24$，解得$y=12$
将$y=12$代入①，得$x+12=35$，解得$x=23$
【答案】
$\begin{cases} x+y=35, \\ 2x+4y=94. \end{cases}$，解得$\begin{cases} x=23, \\ y=12. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是经典的鸡兔同笼问题，核心考查从实际情境中提取等量关系列方程组的能力，以及二元一次方程组的计算能力，找准两个独立的等量关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
五、趣味题
如图所示,强强和红红一起搭积木. 强强所搭的“小塔”高度为 23 cm,红红所搭的“小树”高度为 22 cm. 设每块 A 型积木的高为 $ x $ cm,每块 B 型积木的高为 $ y $ cm,求出 $ x $ 和 $ y $ 的值.
如图所示,强强和红红一起搭积木. 强强所搭的“小塔”高度为 23 cm,红红所搭的“小树”高度为 22 cm. 设每块 A 型积木的高为 $ x $ cm,每块 B 型积木的高为 $ y $ cm,求出 $ x $ 和 $ y $ 的值.
答案
$x=4,y=5.$
解析
【分析】
首先观察图形提取信息：强强搭建的积木用了2块A型积木、3块B型积木，总高度为23cm；红红搭建的积木用了3块A型积木、2块B型积木，总高度为22cm。根据“总高度=A型积木总高度+B型积木总高度”的等量关系，列出二元一次方程组，再求解方程组即可得到x和y的值。
【解析】
根据题意可列二元一次方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 23&①\\3x + 2y = 22&②\end{cases}$
用加减消元法求解：
①×3得：$6x + 9y = 69$ ③
②×2得：$6x + 4y = 44$ ④
③-④得：$5y=25$，解得$y=5$
将$y=5$代入①得：$2x+3×5=23$，即$2x=8$，解得$x=4$
【答案】
$x=4,y=5$
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 加减消元法解方程组
【点评】
本题结合搭积木的生活场景，考查学生读取图形信息、建立等量关系的能力，解题核心是准确数出两人所用两种积木的数量，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
首先观察图形提取信息：强强搭建的积木用了2块A型积木、3块B型积木，总高度为23cm；红红搭建的积木用了3块A型积木、2块B型积木，总高度为22cm。根据“总高度=A型积木总高度+B型积木总高度”的等量关系，列出二元一次方程组，再求解方程组即可得到x和y的值。
【解析】
根据题意可列二元一次方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 23&①\\3x + 2y = 22&②\end{cases}$
用加减消元法求解：
①×3得：$6x + 9y = 69$ ③
②×2得：$6x + 4y = 44$ ④
③-④得：$5y=25$，解得$y=5$
将$y=5$代入①得：$2x+3×5=23$，即$2x=8$，解得$x=4$
【答案】
$x=4,y=5$
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 加减消元法解方程组
【点评】
本题结合搭积木的生活场景，考查学生读取图形信息、建立等量关系的能力，解题核心是准确数出两人所用两种积木的数量，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
