登录
一、选择题
1. 下列方程组中不是二元一次方程组的是 （
A.$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=1, \\ x-y=2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=5, \\ xy=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y=x, \\ x-2y=1 \end{cases}$
1. 下列方程组中不是二元一次方程组的是 （
C
）A.$\begin{cases} x=2, \\ y=3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=1, \\ x-y=2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=5, \\ xy=1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y=x, \\ x-2y=1 \end{cases}$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断一个方程组是不是二元一次方程组，首先要明确二元一次方程组的判定标准：①方程组中一共含有2个不同的未知数；②所有方程都是整式方程；③每个方程中含未知数的项的次数都为1。我们只要对照这三个标准逐一排查选项即可得出答案。
【解析】
结合二元一次方程组的判定条件逐一分析选项：
选项A：方程组含x、y两个未知数，两个方程中未知数的次数都是1，且都是整式方程，属于二元一次方程组；
选项B：方程组含x、y两个未知数，两个方程中含未知数的项的次数都是1，且都是整式方程，属于二元一次方程组；
选项C：第二个方程$xy=1$中，$xy$项的次数是$1+1=2$，不满足“含未知数的项的次数为1”的条件，因此这个方程组不是二元一次方程组；
选项D：方程组含x、y两个未知数，两个方程中含未知数的项的次数都是1，且都是整式方程，属于二元一次方程组。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的定义
【点评】
本题是基础概念题，解题关键是牢记二元一次方程组的判定标准，尤其要注意两个未知数相乘的项的次数是两个未知数的次数之和，这是此类题的常见易错点。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程组是不是二元一次方程组，首先要明确二元一次方程组的判定标准：①方程组中一共含有2个不同的未知数；②所有方程都是整式方程；③每个方程中含未知数的项的次数都为1。我们只要对照这三个标准逐一排查选项即可得出答案。
【解析】
结合二元一次方程组的判定条件逐一分析选项：
选项A：方程组含x、y两个未知数，两个方程中未知数的次数都是1，且都是整式方程，属于二元一次方程组；
选项B：方程组含x、y两个未知数，两个方程中含未知数的项的次数都是1，且都是整式方程，属于二元一次方程组；
选项C：第二个方程$xy=1$中，$xy$项的次数是$1+1=2$，不满足“含未知数的项的次数为1”的条件，因此这个方程组不是二元一次方程组；
选项D：方程组含x、y两个未知数，两个方程中含未知数的项的次数都是1，且都是整式方程，属于二元一次方程组。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的定义
【点评】
本题是基础概念题，解题关键是牢记二元一次方程组的判定标准，尤其要注意两个未知数相乘的项的次数是两个未知数的次数之和，这是此类题的常见易错点。
【难度系数】
0.8
2. 已知$x=4,y=-2$与$x=-2,y=-5$都是方程$y=kx+b$的解,则$k$与$b$的值分别为
(
A.$k=\dfrac{1}{2},b=4$
B.$k=\dfrac{1}{2},b=-4$
C.$k=-\dfrac{1}{2},b=4$
D.$k=-\dfrac{1}{2},b=-4$
(
B
)A.$k=\dfrac{1}{2},b=4$
B.$k=\dfrac{1}{2},b=-4$
C.$k=-\dfrac{1}{2},b=4$
D.$k=-\dfrac{1}{2},b=-4$
答案
2. B
解析
【分析】
本题可根据二元一次方程的解的定义求解。已知两组x、y的值都是方程$y=kx+b$的解，说明把这两组值分别代入方程后等式都成立，这样就能得到两个关于k、b的方程，联立成二元一次方程组后，用消元法解方程组即可求出k和b的值。
【解析】
将$x=4,y=-2$代入$y=kx+b$，可得：
$-2=4k+b$ ①
将$x=-2,y=-5$代入$y=kx+b$，可得：
$-5=-2k+b$ ②
用①式减去②式消去b：
$(-2)-(-5)=(4k+b)-(-2k+b)$
化简得：$3=6k$，解得$k=\frac{1}{2}$
把$k=\frac{1}{2}$代入①式：
$-2=4×\frac{1}{2}+b$，即$-2=2+b$，解得$b=-4$
因此$k=\frac{1}{2},b=-4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题是待定系数法的基础应用，解题关键是明确方程的解满足方程，从而列出方程组求解，计算难度较低，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.75
本题可根据二元一次方程的解的定义求解。已知两组x、y的值都是方程$y=kx+b$的解，说明把这两组值分别代入方程后等式都成立，这样就能得到两个关于k、b的方程，联立成二元一次方程组后，用消元法解方程组即可求出k和b的值。
【解析】
将$x=4,y=-2$代入$y=kx+b$，可得：
$-2=4k+b$ ①
将$x=-2,y=-5$代入$y=kx+b$，可得：
$-5=-2k+b$ ②
用①式减去②式消去b：
$(-2)-(-5)=(4k+b)-(-2k+b)$
化简得：$3=6k$，解得$k=\frac{1}{2}$
把$k=\frac{1}{2}$代入①式：
$-2=4×\frac{1}{2}+b$，即$-2=2+b$，解得$b=-4$
因此$k=\frac{1}{2},b=-4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的解的定义；解二元一次方程组
【点评】
本题是待定系数法的基础应用，解题关键是明确方程的解满足方程，从而列出方程组求解，计算难度较低，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.75
3. [2024·安阳一模]明代数学著作《算法统宗》一书中记载这样一题:“隔墙听得客分银,不知人数不知银,七两分之多四两,九两分之少半斤(一斤 = 16 两).问:人和银各几何?”其大意:隔墙听人分银子,每人分 7 两,则多 4 两;每人分9 两,则少半斤.问人和银各多少.设共有 x 人,y 两银,则可列方程组为 (
A.$\begin{cases} 7x - 4 = y, \\ 9x - 8 = y \end{cases}$
B.$\begin{cases} 7x + 4 = y, \\ 9x - 8 = y \end{cases}$
C.$\begin{cases} 7x - 4 = y, \\ 9x + 8 = y \end{cases}$
D.$\begin{cases} 7x + 4 = y, \\ 9x + 8 = y \end{cases}$
B
)A.$\begin{cases} 7x - 4 = y, \\ 9x - 8 = y \end{cases}$
B.$\begin{cases} 7x + 4 = y, \\ 9x - 8 = y \end{cases}$
C.$\begin{cases} 7x - 4 = y, \\ 9x + 8 = y \end{cases}$
D.$\begin{cases} 7x + 4 = y, \\ 9x + 8 = y \end{cases}$
答案
3. B
解析
【分析】
本题是列二元一次方程组的实际应用题，解题核心是找准两个不变量：总人数和总银两，再根据题干给出的两种分银规则提取等量关系即可。首先总银两是固定的，第一种分银规则下，总银两=人数×每人分7两 + 剩余的4两；第二种分银规则下，总银两=人数×每人分9两 - 缺少的银两，注意题干明确1斤=16两，因此半斤为8两，联立两个等量关系就能得到对应方程组，再匹配选项即可。
【解析】
首先进行单位换算：由题意1斤=16两，因此半斤=8两。
根据“每人分7两，则多4两”，总银两等于x人分得的7x两加上多余的4两，可得方程：$\boldsymbol{7x + 4 = y}$；
根据“每人分9两，则少半斤（即8两）”，总银两等于x人分共需要的9x两减去缺少的8两，可得方程：$\boldsymbol{9x - 8 = y}$；
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} 7x + 4 = y, \\ 9x - 8 = y \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 单位换算
【点评】
本题结合古代数学经典问题设置考点，主要考查学生从题干提取等量关系、建立方程模型的能力，易错点是忽略题目给出的特殊单位换算规则，误将半斤按常用的5两计算，解题时要注意审题，优先使用题干给出的换算条件。
【难度系数】
0.7
本题是列二元一次方程组的实际应用题，解题核心是找准两个不变量：总人数和总银两，再根据题干给出的两种分银规则提取等量关系即可。首先总银两是固定的，第一种分银规则下，总银两=人数×每人分7两 + 剩余的4两；第二种分银规则下，总银两=人数×每人分9两 - 缺少的银两，注意题干明确1斤=16两，因此半斤为8两，联立两个等量关系就能得到对应方程组，再匹配选项即可。
【解析】
首先进行单位换算：由题意1斤=16两，因此半斤=8两。
根据“每人分7两，则多4两”，总银两等于x人分得的7x两加上多余的4两，可得方程：$\boldsymbol{7x + 4 = y}$；
根据“每人分9两，则少半斤（即8两）”，总银两等于x人分共需要的9x两减去缺少的8两，可得方程：$\boldsymbol{9x - 8 = y}$；
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} 7x + 4 = y, \\ 9x - 8 = y \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 单位换算
【点评】
本题结合古代数学经典问题设置考点，主要考查学生从题干提取等量关系、建立方程模型的能力，易错点是忽略题目给出的特殊单位换算规则，误将半斤按常用的5两计算，解题时要注意审题，优先使用题干给出的换算条件。
【难度系数】
0.7
