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三、解答题
1. 已知三角形三个顶点的坐标,求三角形面积通常有以下三种方法.
方法1:直接法.计算三角形一边的长,并求出该边上的高.
方法2:补形法.将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差.
方法3:分割法.选择一条恰当的直线,将三角形分割成两个便于计算面积的三角形.
现给出三点坐标:$A(-1,4),B(2,2),C(4,-1)$. 请你选择一种方法计算三角形$ABC$的面积.
1. 已知三角形三个顶点的坐标,求三角形面积通常有以下三种方法.
方法1:直接法.计算三角形一边的长,并求出该边上的高.
方法2:补形法.将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差.
方法3:分割法.选择一条恰当的直线,将三角形分割成两个便于计算面积的三角形.
现给出三点坐标:$A(-1,4),B(2,2),C(4,-1)$. 请你选择一种方法计算三角形$ABC$的面积.
答案
1.2.5 方法略
解析
【分析】
我们可以选择补形法求解，解题思路如下：首先过点B作平行于x轴的直线，分别过点A、点C作该直线的垂线，得到两个垂足D、E，此时△ABC位于梯形ADEC内部，我们只需要用梯形ADEC的面积减去内部两个直角三角形△ADB、△BEC的面积，就可以得到△ABC的面积，该方法仅用到坐标求线段长度、梯形和三角形面积公式，计算简单易操作。
【解析】
我们选用补形法计算，步骤如下：
1. 过点B(2,2)作平行于x轴的直线l，过A(-1,4)作l的垂线，垂足为D，过C(4,-1)作l的垂线，垂足为E。
根据坐标计算各线段长度：
AD = 4 - 2 = 2，
CE = 2 - (-1) = 3，
DE = 4 - (-1) = 5，
BD = 2 - (-1) = 3，
BE = 4 - 2 = 2。
2. 分别计算各图形面积：
梯形ADEC的面积 = $\frac{(AD + CE) × DE}{2}$ = $\frac{(2 + 3) × 5}{2}$ = 12.5，
直角△ADB的面积 = $\frac{BD × AD}{2}$ = $\frac{3 × 2}{2}$ = 3，
直角△BEC的面积 = $\frac{BE × CE}{2}$ = $\frac{2 × 3}{2}$ = 3。
3. 计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC} = S_{梯形ADEC} - S_{△ ADB} - S_{△ BEC} = 12.5 - 3 - 3 = 2.5$。
【答案】
2.5
【知识点】
平面直角坐标系、面积和差计算、图形面积公式
【点评】
本题考查坐标平面内三角形面积的计算，给出了多种解题思路供选择，其中补形法、分割法可避免计算斜边长及斜边上的高，能有效简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
我们可以选择补形法求解，解题思路如下：首先过点B作平行于x轴的直线，分别过点A、点C作该直线的垂线，得到两个垂足D、E，此时△ABC位于梯形ADEC内部，我们只需要用梯形ADEC的面积减去内部两个直角三角形△ADB、△BEC的面积，就可以得到△ABC的面积，该方法仅用到坐标求线段长度、梯形和三角形面积公式，计算简单易操作。
【解析】
我们选用补形法计算，步骤如下：
1. 过点B(2,2)作平行于x轴的直线l，过A(-1,4)作l的垂线，垂足为D，过C(4,-1)作l的垂线，垂足为E。
根据坐标计算各线段长度：
AD = 4 - 2 = 2，
CE = 2 - (-1) = 3，
DE = 4 - (-1) = 5，
BD = 2 - (-1) = 3，
BE = 4 - 2 = 2。
2. 分别计算各图形面积：
梯形ADEC的面积 = $\frac{(AD + CE) × DE}{2}$ = $\frac{(2 + 3) × 5}{2}$ = 12.5，
直角△ADB的面积 = $\frac{BD × AD}{2}$ = $\frac{3 × 2}{2}$ = 3，
直角△BEC的面积 = $\frac{BE × CE}{2}$ = $\frac{2 × 3}{2}$ = 3。
3. 计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC} = S_{梯形ADEC} - S_{△ ADB} - S_{△ BEC} = 12.5 - 3 - 3 = 2.5$。
【答案】
2.5
【知识点】
平面直角坐标系、面积和差计算、图形面积公式
【点评】
本题考查坐标平面内三角形面积的计算，给出了多种解题思路供选择，其中补形法、分割法可避免计算斜边长及斜边上的高，能有效简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
2. 如图,根据要求完成下列各题.
(1)请写出在平面直角坐标系中的房子上点$A,B,C,D,E,F,G$的坐标.
(2)源源想把房子向下平移3个单位长度,你能帮他办到吗?请作出相应的图形,并写出平移后的7个点的坐标.
(1)请写出在平面直角坐标系中的房子上点$A,B,C,D,E,F,G$的坐标.
(2)源源想把房子向下平移3个单位长度,你能帮他办到吗?请作出相应的图形,并写出平移后的7个点的坐标.
答案
2. 解:(1)$A(2,3),B(6,5),C(10,3),D(3,3),E(9,3),F(3,0),G(9,0)$.
(2)图形略,平移后的坐标为
$A'(2,0),B'(6,2),C'(10,0),D'(3,0),E'(9,0),F'(3,-3),G'(9,-3)$.
(2)图形略,平移后的坐标为
$A'(2,0),B'(6,2),C'(10,0),D'(3,0),E'(9,0),F'(3,-3),G'(9,-3)$.
解析
【分析】
(1) 确定平面直角坐标系中点的坐标时，过点向x轴作垂线，垂足对应的x轴数值就是该点的横坐标，过点向y轴作垂线，垂足对应的y轴数值就是该点的纵坐标，按此方法依次读取各点坐标即可。
(2) 图形平移时，图形上所有点的平移规则一致：向下平移3个单位长度，对应点的横坐标不变，纵坐标减去3（即“上加下减”的纵坐标平移规则），先计算平移后各点的坐标，再描点顺次连接就能得到平移后的图形。
【解析】
(1) 逐个读取各点横、纵坐标：
点A横坐标为2，纵坐标为3，即$A(2,3)$；
点B横坐标为6，纵坐标为5，即$B(6,5)$；
点C横坐标为10，纵坐标为3，即$C(10,3)$；
点D横坐标为3，纵坐标为3，即$D(3,3)$；
点E横坐标为9，纵坐标为3，即$E(9,3)$；
点F横坐标为3，纵坐标为0，即$F(3,0)$；
点G横坐标为9，纵坐标为0，即$G(9,0)$。
(2) 向下平移3个单位，各点横坐标不变，纵坐标减3：
$A'$的坐标为$(2, 3-3)=(2,0)$；
$B'$的坐标为$(6, 5-3)=(6,2)$；
$C'$的坐标为$(10, 3-3)=(10,0)$；
$D'$的坐标为$(3, 3-3)=(3,0)$；
$E'$的坐标为$(9, 3-3)=(9,0)$；
$F'$的坐标为$(3, 0-3)=(3,-3)$；
$G'$的坐标为$(9, 0-3)=(9,-3)$。
将平移后的7个点按原图形的连接顺序依次连接，即可得到平移后的房子图形。
【答案】
(1) $A(2,3),B(6,5),C(10,3),D(3,3),E(9,3),F(3,0),G(9,0)$
(2) 平移后坐标为$A'(2,0),B'(6,2),C'(10,0),D'(3,0),E'(9,0),F'(3,-3),G'(9,-3)$，图形略。
【知识点】
点的坐标确定、平移的坐标变化、平移作图
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题目，重点考查坐标读取和平移变换的规则，熟练掌握“上加下减、左减右加”的坐标平移规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
(1) 确定平面直角坐标系中点的坐标时，过点向x轴作垂线，垂足对应的x轴数值就是该点的横坐标，过点向y轴作垂线，垂足对应的y轴数值就是该点的纵坐标，按此方法依次读取各点坐标即可。
(2) 图形平移时，图形上所有点的平移规则一致：向下平移3个单位长度，对应点的横坐标不变，纵坐标减去3（即“上加下减”的纵坐标平移规则），先计算平移后各点的坐标，再描点顺次连接就能得到平移后的图形。
【解析】
(1) 逐个读取各点横、纵坐标：
点A横坐标为2，纵坐标为3，即$A(2,3)$；
点B横坐标为6，纵坐标为5，即$B(6,5)$；
点C横坐标为10，纵坐标为3，即$C(10,3)$；
点D横坐标为3，纵坐标为3，即$D(3,3)$；
点E横坐标为9，纵坐标为3，即$E(9,3)$；
点F横坐标为3，纵坐标为0，即$F(3,0)$；
点G横坐标为9，纵坐标为0，即$G(9,0)$。
(2) 向下平移3个单位，各点横坐标不变，纵坐标减3：
$A'$的坐标为$(2, 3-3)=(2,0)$；
$B'$的坐标为$(6, 5-3)=(6,2)$；
$C'$的坐标为$(10, 3-3)=(10,0)$；
$D'$的坐标为$(3, 3-3)=(3,0)$；
$E'$的坐标为$(9, 3-3)=(9,0)$；
$F'$的坐标为$(3, 0-3)=(3,-3)$；
$G'$的坐标为$(9, 0-3)=(9,-3)$。
将平移后的7个点按原图形的连接顺序依次连接，即可得到平移后的房子图形。
【答案】
(1) $A(2,3),B(6,5),C(10,3),D(3,3),E(9,3),F(3,0),G(9,0)$
(2) 平移后坐标为$A'(2,0),B'(6,2),C'(10,0),D'(3,0),E'(9,0),F'(3,-3),G'(9,-3)$，图形略。
【知识点】
点的坐标确定、平移的坐标变化、平移作图
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础应用题目，重点考查坐标读取和平移变换的规则，熟练掌握“上加下减、左减右加”的坐标平移规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
