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2. [2023·新乡一模]若一次函数$y=(k-2)x+3-k$的图象不经过第四象限,则$k$的取值范围是
2＜k≤3
.答案
2. 2＜k≤3
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象性质：当图象不经过第四象限时，图象经过第一、二、三象限或第一、三象限，对应的系数满足一次项系数$k＞0$，常数项$b≥0$。接下来我们把题目中一次函数的对应系数代入这个条件，列出不等式组，求解不等式组就能得到$k$的取值范围。
【解析】
已知该函数是一次函数，且图象不经过第四象限，根据一次函数图象与系数的关系可得：
1. 一次项系数大于0：$k-2＞0$，解得$k＞2$；
2. 常数项大于等于0：$3-k≥0$，解得$k≤3$。
联立两个解，可得$k$的取值范围是$2＜k≤3$。
【答案】
$2＜k≤3$
【知识点】
一次函数的图象与性质；解一元一次不等式组
【点评】
本题核心考查一次函数图象和系数的对应关系，解题时要注意图象不经过第四象限时常数项可以等于0，避免漏写等号导致取值范围出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象性质：当图象不经过第四象限时，图象经过第一、二、三象限或第一、三象限，对应的系数满足一次项系数$k＞0$，常数项$b≥0$。接下来我们把题目中一次函数的对应系数代入这个条件，列出不等式组，求解不等式组就能得到$k$的取值范围。
【解析】
已知该函数是一次函数，且图象不经过第四象限，根据一次函数图象与系数的关系可得：
1. 一次项系数大于0：$k-2＞0$，解得$k＞2$；
2. 常数项大于等于0：$3-k≥0$，解得$k≤3$。
联立两个解，可得$k$的取值范围是$2＜k≤3$。
【答案】
$2＜k≤3$
【知识点】
一次函数的图象与性质；解一元一次不等式组
【点评】
本题核心考查一次函数图象和系数的对应关系，解题时要注意图象不经过第四象限时常数项可以等于0，避免漏写等号导致取值范围出错。
【难度系数】
0.7
3. 函数$y=(m+3)x^{m^2 - 8} - 5$是一次函数，则$m$的值是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
3. 3
解析
【分析】
要确定m的取值，需结合一次函数的定义推导。一次函数的一般形式为y=kx+b（k、b为常数，且k≠0），因此本题需要同时满足两个要求：一是自变量x的次数等于1，二是x的系数不能为0，分别列出对应式子求解后，取同时满足两个条件的解即可。
【解析】
根据一次函数的定义，可列出如下条件：
1. 自变量x的指数为1：
$m^2 - 8 = 1$
移项得$m^2=9$，解得$m=3$或$m=-3$；
2. 一次项系数不为0：
$m+3 ≠ 0$，解得$m ≠ -3$。
综合两个条件，排除$m=-3$，因此$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
一次函数的定义、一元二次方程的解法、不等式求解
【点评】
本题是一次函数定义的基础应用题型，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制，直接得出m=±3的错误结果，解题时需逐一验证定义中的所有约束条件，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值，需结合一次函数的定义推导。一次函数的一般形式为y=kx+b（k、b为常数，且k≠0），因此本题需要同时满足两个要求：一是自变量x的次数等于1，二是x的系数不能为0，分别列出对应式子求解后，取同时满足两个条件的解即可。
【解析】
根据一次函数的定义，可列出如下条件：
1. 自变量x的指数为1：
$m^2 - 8 = 1$
移项得$m^2=9$，解得$m=3$或$m=-3$；
2. 一次项系数不为0：
$m+3 ≠ 0$，解得$m ≠ -3$。
综合两个条件，排除$m=-3$，因此$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
一次函数的定义、一元二次方程的解法、不等式求解
【点评】
本题是一次函数定义的基础应用题型，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制，直接得出m=±3的错误结果，解题时需逐一验证定义中的所有约束条件，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
4. 若一次函数 $ y = ax + 1 - a $，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，且它的图象与 $ y $ 轴交于正半轴，则 $ |a - 1| + \sqrt{a^2} = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
4. 1
解析
【分析】
解题时首先要利用一次函数的性质确定参数a的取值范围：①一次函数y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大，因此可得本题中a＞0；②一次函数与y轴的交点纵坐标为b，交点在正半轴说明b＞0，本题中b=1-a，因此可得1-a＞0即a＜1，综上得到0＜a＜1。接下来结合a的取值范围化简式子：负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于它本身，且√a²=|a|，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵一次函数$ y = ax + 1 - a $中$ y $随$ x $的增大而增大，
∴$ a＞0 $，
又
∵函数图象与$ y $轴交于正半轴，当$ x=0 $时，$ y=1-a $，
∴$ 1-a＞0 $，即$ a＜1 $，
综上可得$ 0＜a＜1 $，
∴$ a-1＜0 $，
∴$ |a - 1| = 1-a $，$ \sqrt{a^2} = |a| = a $，
则原式$ = 1-a + a = 1 $。
【答案】
1
【知识点】
一次函数的性质；绝对值的化简；二次根式的性质
【点评】
本题是基础常考题，综合考查了一次函数的性质与代数式化简，核心是先根据函数性质求出参数的取值范围，再结合取值范围对绝对值和二次根式进行化简，计算量小，掌握基础性质即可解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要利用一次函数的性质确定参数a的取值范围：①一次函数y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大，因此可得本题中a＞0；②一次函数与y轴的交点纵坐标为b，交点在正半轴说明b＞0，本题中b=1-a，因此可得1-a＞0即a＜1，综上得到0＜a＜1。接下来结合a的取值范围化简式子：负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于它本身，且√a²=|a|，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵一次函数$ y = ax + 1 - a $中$ y $随$ x $的增大而增大，
∴$ a＞0 $，
又
∵函数图象与$ y $轴交于正半轴，当$ x=0 $时，$ y=1-a $，
∴$ 1-a＞0 $，即$ a＜1 $，
综上可得$ 0＜a＜1 $，
∴$ a-1＜0 $，
∴$ |a - 1| = 1-a $，$ \sqrt{a^2} = |a| = a $，
则原式$ = 1-a + a = 1 $。
【答案】
1
【知识点】
一次函数的性质；绝对值的化简；二次根式的性质
【点评】
本题是基础常考题，综合考查了一次函数的性质与代数式化简，核心是先根据函数性质求出参数的取值范围，再结合取值范围对绝对值和二次根式进行化简，计算量小，掌握基础性质即可解题。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 已知函数$y=(2m-10)x+m-3$.
(1)若函数图象经过原点,求$m$的值.
(2)若这个函数是一次函数,且图象经过第一、二、四象限,求$m$的整数值.
1. 已知函数$y=(2m-10)x+m-3$.
(1)若函数图象经过原点,求$m$的值.
(2)若这个函数是一次函数,且图象经过第一、二、四象限,求$m$的整数值.
答案
1. 解:(1)若函数$y=(2m-10)x+m-3$的图象经过原点,则$0=m-3$.
$\therefore m=3$.
(2)若一次函数$y=(2m-10)x+m-3$的图象经过第一、二、四象限,则有$\begin{cases}2m-10＜0,\\m-3＞0.\end{cases}$
$\therefore 3＜m＜5.\therefore m$的整数值为4.
$\therefore m=3$.
(2)若一次函数$y=(2m-10)x+m-3$的图象经过第一、二、四象限,则有$\begin{cases}2m-10＜0,\\m-3＞0.\end{cases}$
$\therefore 3＜m＜5.\therefore m$的整数值为4.
解析
【分析】
（1）函数图象经过原点，说明原点$(0,0)$满足函数解析式，将$x=0$、$y=0$代入函数式即可得到关于$m$的方程，解方程就能求出$m$的值；
（2）一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象经过第一、二、四象限时，对应一次项系数$k＜0$、常数项$b＞0$，结合本题函数式可列出关于$m$的一元一次不等式组，解不等式组得到$m$的取值范围，再在范围内取整数即可得到结果。
【解析】
(1) 已知函数图象经过原点$(0,0)$，将$x=0$，$y=0$代入$y=(2m-10)x+m-3$，可得：
$0=(2m-10)×0 + m-3$
即$m-3=0$，解得$m=3$。
(2) 该函数是一次函数且图象经过第一、二、四象限，根据一次函数图象性质可列不等式组：
$\begin{cases}2m-10＜0 \\ m-3＞0 \end{cases}$
解不等式$2m-10＜0$，得$m＜5$；
解不等式$m-3＞0$，得$m＞3$；
因此不等式组的解集为$3＜m＜5$，范围内的整数为$4$，即$m$的整数值为$4$。
【答案】
(1) $m=3$；(2) $m$的整数值为$4$
【知识点】
一次函数的图象与性质，解一元一次不等式组，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数基础题，解题核心是熟练掌握一次函数图象经过的象限与系数$k$、$b$的对应关系，解题时要注意题目对参数的特殊要求，如本题第二问的整数要求，避免漏解。
【难度系数】
0.8
（1）函数图象经过原点，说明原点$(0,0)$满足函数解析式，将$x=0$、$y=0$代入函数式即可得到关于$m$的方程，解方程就能求出$m$的值；
（2）一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象经过第一、二、四象限时，对应一次项系数$k＜0$、常数项$b＞0$，结合本题函数式可列出关于$m$的一元一次不等式组，解不等式组得到$m$的取值范围，再在范围内取整数即可得到结果。
【解析】
(1) 已知函数图象经过原点$(0,0)$，将$x=0$，$y=0$代入$y=(2m-10)x+m-3$，可得：
$0=(2m-10)×0 + m-3$
即$m-3=0$，解得$m=3$。
(2) 该函数是一次函数且图象经过第一、二、四象限，根据一次函数图象性质可列不等式组：
$\begin{cases}2m-10＜0 \\ m-3＞0 \end{cases}$
解不等式$2m-10＜0$，得$m＜5$；
解不等式$m-3＞0$，得$m＞3$；
因此不等式组的解集为$3＜m＜5$，范围内的整数为$4$，即$m$的整数值为$4$。
【答案】
(1) $m=3$；(2) $m$的整数值为$4$
【知识点】
一次函数的图象与性质，解一元一次不等式组，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数基础题，解题核心是熟练掌握一次函数图象经过的象限与系数$k$、$b$的对应关系，解题时要注意题目对参数的特殊要求，如本题第二问的整数要求，避免漏解。
【难度系数】
0.8
2. 已知直线 $ m $ 与直线 $ y=2x+1 $ 的交点的横坐标为 2,与直线 $ y=-x+2 $ 的交点的纵坐标为 1,求直线 $ m $ 的函数解析式.
答案
2. 解:把$x=2$代入$y=2x+1$得$y=5$.
把$y=1$代入$y=-x+2$得$x=1$.
$\therefore$ 直线$m$过点$(2,5)$和点$(1,1)$.
设直线$m$的函数解析式为$y=kx+b$.
则$\begin{cases}2k+b=5,\\k+b=1.\end{cases}$
$\therefore k=4,b=-3$.
$\therefore$ 直线$m$的函数解析式为$y=4x-3$.
把$y=1$代入$y=-x+2$得$x=1$.
$\therefore$ 直线$m$过点$(2,5)$和点$(1,1)$.
设直线$m$的函数解析式为$y=kx+b$.
则$\begin{cases}2k+b=5,\\k+b=1.\end{cases}$
$\therefore k=4,b=-3$.
$\therefore$ 直线$m$的函数解析式为$y=4x-3$.
解析
【分析】
要求直线m的函数解析式，我们可采用待定系数法求解，该方法需要先得到直线m经过的2个点的坐标：①已知直线m与y=2x+1交点的横坐标为2，交点同时在两条直线上，将x=2代入y=2x+1即可算出对应纵坐标，得到第一个交点坐标；②已知直线m与y=-x+2交点的纵坐标为1，同理将y=1代入y=-x+2即可算出对应横坐标，得到第二个交点坐标；最后将两个点坐标代入所设的一次函数一般式，解二元一次方程组求出参数即可得到解析式。
【解析】
解：把$x=2$代入$y=2x+1$，得$y=2×2+1=5$，
$\therefore$ 直线$m$经过点$(2,5)$。
把$y=1$代入$y=-x+2$，得$1=-x+2$，解得$x=1$，
$\therefore$ 直线$m$经过点$(1,1)$。
设直线$m$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(2,5)$、$(1,1)$代入解析式得：
$\begin{cases}2k+b=5\\k+b=1\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$k=4$，
将$k=4$代入$k+b=1$，得$4+b=1$，解得$b=-3$，
$\therefore$ 直线$m$的函数解析式为$y=4x-3$。
【答案】
$y=4x-3$
【知识点】
一次函数点坐标特征；待定系数法求解析式；二元一次方程组解法
【点评】
本题是一次函数的基础常规题，解题关键是先利用交点的属性求出未知直线经过的两个点的坐标，再用待定系数法求解即可，熟练掌握一次函数的基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
要求直线m的函数解析式，我们可采用待定系数法求解，该方法需要先得到直线m经过的2个点的坐标：①已知直线m与y=2x+1交点的横坐标为2，交点同时在两条直线上，将x=2代入y=2x+1即可算出对应纵坐标，得到第一个交点坐标；②已知直线m与y=-x+2交点的纵坐标为1，同理将y=1代入y=-x+2即可算出对应横坐标，得到第二个交点坐标；最后将两个点坐标代入所设的一次函数一般式，解二元一次方程组求出参数即可得到解析式。
【解析】
解：把$x=2$代入$y=2x+1$，得$y=2×2+1=5$，
$\therefore$ 直线$m$经过点$(2,5)$。
把$y=1$代入$y=-x+2$，得$1=-x+2$，解得$x=1$，
$\therefore$ 直线$m$经过点$(1,1)$。
设直线$m$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(2,5)$、$(1,1)$代入解析式得：
$\begin{cases}2k+b=5\\k+b=1\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得$k=4$，
将$k=4$代入$k+b=1$，得$4+b=1$，解得$b=-3$，
$\therefore$ 直线$m$的函数解析式为$y=4x-3$。
【答案】
$y=4x-3$
【知识点】
一次函数点坐标特征；待定系数法求解析式；二元一次方程组解法
【点评】
本题是一次函数的基础常规题，解题关键是先利用交点的属性求出未知直线经过的两个点的坐标，再用待定系数法求解即可，熟练掌握一次函数的基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8
四、趣味题
如图所示,有4个三角形,你能再添加一个三角形,使之变成14个三角形吗?
如图所示,有4个三角形,你能再添加一个三角形,使之变成14个三角形吗?
答案
能,再加一个大三角形(如下图).
解析
【分析】
首先明确题干要求：原图形共有4个三角形，仅添加1个三角形后总数量要变为14，即需要新增10个三角形。若添加小三角形，最多只能新增少量三角形，远达不到要求，因此需要考虑添加更大的三角形，让它的三条边都和原有图形的线段相交，每一处交叉都会分割原有区域、围出新的三角形。我们选择添加一个覆盖原有图形的大三角形，使其三条边分别与原图形的交叉线段、横向线段相交，即可分割出足够多的新三角形，满足总数要求。
【解析】
1. 首先计数原图形的三角形：观察原图形，可数出共有4个独立三角形，与题干描述一致。
2. 按照参考答案所示添加一个覆盖原有图形的大三角形，该大三角形的三条边分别与原图形的多条线段相交，将原有区域分割为更多小区域。
3. 逐一枚举添加后的所有三角形（包含不同大小的三角形），最终总数量为14个，符合题目要求。
【答案】
能,再加一个大三角形(如下图).
【知识点】
三角形计数，图形的分割与组合
【点评】
本题是趣味几何探究题，需要跳出“添加小图形”的思维定式，通过添加大三角形与原有线条相交得到更多新图形，能够很好地锻炼图形观察能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.3
首先明确题干要求：原图形共有4个三角形，仅添加1个三角形后总数量要变为14，即需要新增10个三角形。若添加小三角形，最多只能新增少量三角形，远达不到要求，因此需要考虑添加更大的三角形，让它的三条边都和原有图形的线段相交，每一处交叉都会分割原有区域、围出新的三角形。我们选择添加一个覆盖原有图形的大三角形，使其三条边分别与原图形的交叉线段、横向线段相交，即可分割出足够多的新三角形，满足总数要求。
【解析】
1. 首先计数原图形的三角形：观察原图形，可数出共有4个独立三角形，与题干描述一致。
2. 按照参考答案所示添加一个覆盖原有图形的大三角形，该大三角形的三条边分别与原图形的多条线段相交，将原有区域分割为更多小区域。
3. 逐一枚举添加后的所有三角形（包含不同大小的三角形），最终总数量为14个，符合题目要求。
【答案】
能,再加一个大三角形(如下图).
【知识点】
三角形计数，图形的分割与组合
【点评】
本题是趣味几何探究题，需要跳出“添加小图形”的思维定式，通过添加大三角形与原有线条相交得到更多新图形，能够很好地锻炼图形观察能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.3
