登录
7. 如图 19-1,在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ B = 90°$,点 $P$ 从点 $B$ 开始沿 $BA$ 边以 $1 \ \mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $A$ 移动;同时,点 $Q$ 也从点 $B$ 开始沿 $BC$ 边以 $2 \ \mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $C$ 移动.问:经过多少秒后 $△ PBQ$ 的面积为 $35 \ \mathrm{cm}^2$? 此时 $PQ$ 的长度是多少厘米?(结果用最简二次根式表示)
图 19-1
图 19-1
答案
7.设经过$x$ s 后$△ PBQ$的面积为$35\ \mathrm{cm}^2$.则有$PB=x\ \mathrm{cm},BQ=2x\ \mathrm{cm}$.依题意,得$\dfrac{1}{2}x · 2x=35,x^2=35,x=\sqrt{35}$.所以$\sqrt{35}$ s 后$△ PBQ$的面积为$35\ \mathrm{cm}^2$.此时$PQ=\sqrt{PB^2+BQ^2}=\sqrt{x^2+4x^2}=\sqrt{5x^2}=\sqrt{5×35}=5\sqrt{7}\ (\mathrm{cm})$.所以$\sqrt{35}$ s 后$△ PBQ$的面积为$35\ \mathrm{cm}^2$,此时$PQ$的长度为$5\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
这是一道动点与直角三角形结合的应用题，解题思路如下：第一步，设运动时间为x秒，根据“路程=速度×时间”分别表示出两条直角边PB、BQ的长度；第二步，因为∠B是直角，△PBQ是直角三角形，利用直角三角形面积公式列出关于x的方程；第三步，解方程时结合时间为正数的隐含要求，取正根得到运动时间；第四步，利用勾股定理计算斜边PQ的长度，最后化简二次根式得到结果。
【解析】
解：设经过$x$ s后$△ PBQ$的面积为$35\ \mathrm{cm}^2$。
由点P、Q的运动速度可得：$PB=x\ \mathrm{cm},BQ=2x\ \mathrm{cm}$。
∵$∠B=90°$，△PBQ为直角三角形，根据直角三角形面积公式列方程：
$\dfrac{1}{2} · PB · BQ = 35$
代入线段长度表达式得：
$\dfrac{1}{2}x · 2x=35$
化简得$x^2=35$，
∵x代表时间，为正数，
∴$x=\sqrt{35}$（负根舍去）。
此时在Rt△PBQ中，由勾股定理计算PQ的长度：
$PQ=\sqrt{PB^2+BQ^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5x^2}$
将$x^2=35$代入得：
$PQ=\sqrt{5×35}=\sqrt{175}=5\sqrt{7}\ (\mathrm{cm})$
【答案】
经过$\sqrt{35}$秒后$△ PBQ$的面积为$35\ \mathrm{cm}^2$，此时$PQ$的长度为$5\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
一元二次方程应用，直角三角形面积计算，勾股定理
【点评】
本题属于动态几何的基础题型，解题核心是将运动的线段长度转化为含时间的代数式，把动态问题转化为静态的方程求解问题，计算时需注意二次根式的化简以及实际问题中未知数的取值限制。
【难度系数】
0.7
这是一道动点与直角三角形结合的应用题，解题思路如下：第一步，设运动时间为x秒，根据“路程=速度×时间”分别表示出两条直角边PB、BQ的长度；第二步，因为∠B是直角，△PBQ是直角三角形，利用直角三角形面积公式列出关于x的方程；第三步，解方程时结合时间为正数的隐含要求，取正根得到运动时间；第四步，利用勾股定理计算斜边PQ的长度，最后化简二次根式得到结果。
【解析】
解：设经过$x$ s后$△ PBQ$的面积为$35\ \mathrm{cm}^2$。
由点P、Q的运动速度可得：$PB=x\ \mathrm{cm},BQ=2x\ \mathrm{cm}$。
∵$∠B=90°$，△PBQ为直角三角形，根据直角三角形面积公式列方程：
$\dfrac{1}{2} · PB · BQ = 35$
代入线段长度表达式得：
$\dfrac{1}{2}x · 2x=35$
化简得$x^2=35$，
∵x代表时间，为正数，
∴$x=\sqrt{35}$（负根舍去）。
此时在Rt△PBQ中，由勾股定理计算PQ的长度：
$PQ=\sqrt{PB^2+BQ^2}=\sqrt{x^2+(2x)^2}=\sqrt{5x^2}$
将$x^2=35$代入得：
$PQ=\sqrt{5×35}=\sqrt{175}=5\sqrt{7}\ (\mathrm{cm})$
【答案】
经过$\sqrt{35}$秒后$△ PBQ$的面积为$35\ \mathrm{cm}^2$，此时$PQ$的长度为$5\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
一元二次方程应用，直角三角形面积计算，勾股定理
【点评】
本题属于动态几何的基础题型，解题核心是将运动的线段长度转化为含时间的代数式，把动态问题转化为静态的方程求解问题，计算时需注意二次根式的化简以及实际问题中未知数的取值限制。
【难度系数】
0.7
三、二次根式的加法与减法
1. 下列各式计算正确的是 （
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{12}-\sqrt{10}}{2}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$
1. 下列各式计算正确的是 （
C
）A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{12}-\sqrt{10}}{2}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断二次根式加减运算是否正确，首先要明确二次根式加减的核心规则：首先把所有二次根式化为最简二次根式，只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅将系数相加减，被开方数保持不变，非同类二次根式不能直接合并。我们可以依据这个规则逐一验证每个选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$都是最简二次根式，被开方数分别为2和3，不属于同类二次根式，不能直接相加合并，因此$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，A错误。
选项B：2是整数，$\sqrt{2}$是最简二次根式，二者不属于同类二次根式，不能直接合并，因此$2+\sqrt{2}≠2\sqrt{2}$，B错误。
选项C：$3\sqrt{2}$和$\sqrt{2}$是同类二次根式，合并时系数相减，被开方数不变，即$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，C正确。
选项D：先化简分子中的$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，代入原式得$\frac{\sqrt{12}-\sqrt{10}}{2}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{10}}{2}=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{10}}{2}≠\sqrt{6}-\sqrt{5}$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减法则，同类二次根式，最简二次根式化简
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础考查题，解题的关键是牢记二次根式加减的运算规则，避免出现非同类二次根式随意合并、除法运算时错误拆分根号的常见失误。
【难度系数】
0.8
要判断二次根式加减运算是否正确，首先要明确二次根式加减的核心规则：首先把所有二次根式化为最简二次根式，只有被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅将系数相加减，被开方数保持不变，非同类二次根式不能直接合并。我们可以依据这个规则逐一验证每个选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$都是最简二次根式，被开方数分别为2和3，不属于同类二次根式，不能直接相加合并，因此$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，A错误。
选项B：2是整数，$\sqrt{2}$是最简二次根式，二者不属于同类二次根式，不能直接合并，因此$2+\sqrt{2}≠2\sqrt{2}$，B错误。
选项C：$3\sqrt{2}$和$\sqrt{2}$是同类二次根式，合并时系数相减，被开方数不变，即$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}$，C正确。
选项D：先化简分子中的$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，代入原式得$\frac{\sqrt{12}-\sqrt{10}}{2}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{10}}{2}=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{10}}{2}≠\sqrt{6}-\sqrt{5}$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减法则，同类二次根式，最简二次根式化简
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础考查题，解题的关键是牢记二次根式加减的运算规则，避免出现非同类二次根式随意合并、除法运算时错误拆分根号的常见失误。
【难度系数】
0.8
