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2. 计算$(\sqrt{27}-\sqrt{12})×\sqrt{\frac{1}{3}}$的结果是（
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$1$
C.$\sqrt{5}$
D.$3$
B
）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$1$
C.$\sqrt{5}$
D.$3$
答案
2.B
解析
【分析】
这是二次根式的混合运算题，解题时有两种常用思路：思路一，利用乘法分配律将括号拆开，分别计算两个二次根式的乘法，再相减；思路二，先将括号内的二次根式化简为最简二次根式，合并同类二次根式后再计算乘法。两种方法都符合二次根式的运算规则，可灵活选择简化计算。
【解析】
方法一：利用乘法分配律计算
根据乘法分配律可得：
$(\sqrt{27}-\sqrt{12})×\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{27}×\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{12}×\sqrt{\frac{1}{3}}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$：
$\sqrt{27}×\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{27×\frac{1}{3}}=\sqrt{9}=3$
$\sqrt{12}×\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{12×\frac{1}{3}}=\sqrt{4}=2$
所以原式$=3-2=1$。
方法二：先化简括号内的二次根式
先将$\sqrt{27}$和$\sqrt{12}$化为最简二次根式：
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
括号内合并同类二次根式：$\sqrt{27}-\sqrt{12}=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$
再计算乘法：$\sqrt{3}×\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3×\frac{1}{3}}=\sqrt{1}=1$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的乘法运算；二次根式的加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，运算时可以灵活运用运算律简化计算步骤，降低计算出错的概率，核心是熟练掌握二次根式的化简规则和运算法则。
【难度系数】
0.8
这是二次根式的混合运算题，解题时有两种常用思路：思路一，利用乘法分配律将括号拆开，分别计算两个二次根式的乘法，再相减；思路二，先将括号内的二次根式化简为最简二次根式，合并同类二次根式后再计算乘法。两种方法都符合二次根式的运算规则，可灵活选择简化计算。
【解析】
方法一：利用乘法分配律计算
根据乘法分配律可得：
$(\sqrt{27}-\sqrt{12})×\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{27}×\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{12}×\sqrt{\frac{1}{3}}$
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$：
$\sqrt{27}×\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{27×\frac{1}{3}}=\sqrt{9}=3$
$\sqrt{12}×\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{12×\frac{1}{3}}=\sqrt{4}=2$
所以原式$=3-2=1$。
方法二：先化简括号内的二次根式
先将$\sqrt{27}$和$\sqrt{12}$化为最简二次根式：
$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
括号内合并同类二次根式：$\sqrt{27}-\sqrt{12}=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$
再计算乘法：$\sqrt{3}×\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3×\frac{1}{3}}=\sqrt{1}=1$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简；二次根式的乘法运算；二次根式的加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，运算时可以灵活运用运算律简化计算步骤，降低计算出错的概率，核心是熟练掌握二次根式的化简规则和运算法则。
【难度系数】
0.8
3. 满足不等式$\sqrt{2}(x-1)＞\sqrt{54}-\sqrt{18}$的最小整数是（
A.2
B.3
C.4
D.5
C
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
3.C
解析
【分析】
本题需要先化简二次根式，再解一元一次不等式，最后结合无理数的估算找到最小整数解。解题思路如下：第一步先化简不等式右侧的两个二次根式，第二步利用不等式的性质求解x的取值范围，第三步估算无理数的大小，确定x的范围后即可得到符合要求的最小整数。
【解析】
1. 化简不等式右侧的二次根式：
$\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=3\sqrt{6}$，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，
原不等式可变形为：$\sqrt{2}(x-1) ＞ 3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}$。
2. 求解不等式：
不等式两边同时除以$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}＞0$，不等号方向不变），得：
$x-1 ＞ \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{2}} - \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$，
化简右侧：$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$，因此右侧为$3\sqrt{3}-3$，
移项得：$x ＞ 3\sqrt{3} - 3 +1$，即$x＞3\sqrt{3}-2$。
3. 估算无理数确定最小整数解：
已知$\sqrt{3}\approx1.732$，代入得$3\sqrt{3}-2\approx3×1.732 -2=3.196$，
大于3.196的最小整数是4。
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简；一元一次不等式求解；无理数估算
【点评】
本题属于基础综合题，将二次根式运算和不等式求解结合考查，解题的核心是熟练掌握二次根式的化简规则和不等式的性质，同时要准确估算常见无理数的近似值。
【难度系数】
0.7
本题需要先化简二次根式，再解一元一次不等式，最后结合无理数的估算找到最小整数解。解题思路如下：第一步先化简不等式右侧的两个二次根式，第二步利用不等式的性质求解x的取值范围，第三步估算无理数的大小，确定x的范围后即可得到符合要求的最小整数。
【解析】
1. 化简不等式右侧的二次根式：
$\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=3\sqrt{6}$，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，
原不等式可变形为：$\sqrt{2}(x-1) ＞ 3\sqrt{6} - 3\sqrt{2}$。
2. 求解不等式：
不等式两边同时除以$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}＞0$，不等号方向不变），得：
$x-1 ＞ \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{2}} - \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$，
化简右侧：$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$，因此右侧为$3\sqrt{3}-3$，
移项得：$x ＞ 3\sqrt{3} - 3 +1$，即$x＞3\sqrt{3}-2$。
3. 估算无理数确定最小整数解：
已知$\sqrt{3}\approx1.732$，代入得$3\sqrt{3}-2\approx3×1.732 -2=3.196$，
大于3.196的最小整数是4。
【答案】
C
【知识点】
二次根式化简；一元一次不等式求解；无理数估算
【点评】
本题属于基础综合题，将二次根式运算和不等式求解结合考查，解题的核心是熟练掌握二次根式的化简规则和不等式的性质，同时要准确估算常见无理数的近似值。
【难度系数】
0.7
4. 已知某三角形三条边的长分别为$\sqrt{27}\ \mathrm{cm},\sqrt{12}\ \mathrm{cm},\sqrt{48}\ \mathrm{cm}$,则它的周长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}.$
答案
4.$9\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求三角形的周长，只需将三条边的长度相加即可。解题时首先需要把三个非最简二次根式化简为最简二次根式，再合并同类二次根式就能得到最终结果。
【解析】
三角形的周长等于三条边长之和，因此：
$\begin{aligned}\mathrm{周长}&=\sqrt{27}+\sqrt{12}+\sqrt{48}\\&=\sqrt{9×3}+\sqrt{4×3}+\sqrt{16×3}\\&=3\sqrt{3}+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\\&=(3+2+4)\sqrt{3}\\&=9\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})\end{aligned}$
【答案】
$9\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的化简与合并运算，解题的关键是先将各二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要求三角形的周长，只需将三条边的长度相加即可。解题时首先需要把三个非最简二次根式化简为最简二次根式，再合并同类二次根式就能得到最终结果。
【解析】
三角形的周长等于三条边长之和，因此：
$\begin{aligned}\mathrm{周长}&=\sqrt{27}+\sqrt{12}+\sqrt{48}\\&=\sqrt{9×3}+\sqrt{4×3}+\sqrt{16×3}\\&=3\sqrt{3}+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\\&=(3+2+4)\sqrt{3}\\&=9\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})\end{aligned}$
【答案】
$9\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的化简与合并运算，解题的关键是先将各二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
5. 若实数 $ x,y $ 满足 $ \sqrt{x-3} + (y-12)^2 = 0 $，则 $ \sqrt{x} + \sqrt{y} = \underline{\hspace{5cm}} $.
答案
5.$3\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题可根据非负数的性质求解：算术平方根、平方数都属于非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，据此先求出x、y的值，再代入所求式子，将二次根式化为最简后合并即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x-3} ≥ 0$，$(y-12)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{x-3} + (y-12)^2 = 0$
∴$\begin{cases}\sqrt{x-3}=0\\(y-12)^2=0\end{cases}$
即$\begin{cases}x-3=0\\y-12=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=3\\y=12\end{cases}$
将$x=3$，$y=12$代入$\sqrt{x}+\sqrt{y}$得：
$\sqrt{3}+\sqrt{12}=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
非负数的性质；二次根式化简；二次根式运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考点是算术平方根与偶次幂的非负性，解题关键是熟练掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质，计算时注意先将二次根式化为最简二次根式再合并，避免化简错误。
【难度系数】
0.8
本题可根据非负数的性质求解：算术平方根、平方数都属于非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，据此先求出x、y的值，再代入所求式子，将二次根式化为最简后合并即可得到结果。
【解析】
解：
∵$\sqrt{x-3} ≥ 0$，$(y-12)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{x-3} + (y-12)^2 = 0$
∴$\begin{cases}\sqrt{x-3}=0\\(y-12)^2=0\end{cases}$
即$\begin{cases}x-3=0\\y-12=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=3\\y=12\end{cases}$
将$x=3$，$y=12$代入$\sqrt{x}+\sqrt{y}$得：
$\sqrt{3}+\sqrt{12}=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
【答案】
$3\sqrt{3}$
【知识点】
非负数的性质；二次根式化简；二次根式运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考点是算术平方根与偶次幂的非负性，解题关键是熟练掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”的性质，计算时注意先将二次根式化为最简二次根式再合并，避免化简错误。
【难度系数】
0.8
6. 若 $ m = \frac{2025}{\sqrt{2026} - 1} $，则 $ m^5 - 2m^4 - 2025m^3 $ 的值是 ______。
答案
6.0
解析
【分析】
遇到此类给定含二次根式的参数、求高次多项式值的题目，直接代入计算计算量过大，应先对参数进行分母有理化化简，再通过变形得到参数满足的整式关系，最后对所求多项式因式分解，整体代入求值即可。第一步先对m分母有理化，得到m的最简形式；第二步对m的表达式变形、平方，得到关于m的二次整式等式；第三步对所求多项式提取公因式，将得到的二次整式关系整体代入计算。
【解析】
第一步：化简m
对m进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2026}+1$：
$m=\frac{2025}{\sqrt{2026}-1}=\frac{2025(\sqrt{2026}+1)}{(\sqrt{2026}-1)(\sqrt{2026}+1)}$
由平方差公式计算分母：$(\sqrt{2026})^2 - 1^2=2026-1=2025$
因此$m=\frac{2025(\sqrt{2026}+1)}{2025}=\sqrt{2026}+1$
第二步：推导m满足的整式关系
移项得$m-1=\sqrt{2026}$，两边同时平方：
$(m-1)^2=(\sqrt{2026})^2$
展开左边得$m^2-2m+1=2026$，整理得$m^2-2m=2025$，即$m^2-2m-2025=0$
第三步：化简所求多项式并代入
对$m^5 - 2m^4 - 2025m^3$提取公因式$m^3$：
$m^5 - 2m^4 - 2025m^3=m^3(m^2-2m-2025)$
将$m^2-2m-2025=0$代入上式，得原式$=m^3×0=0$
【答案】
0
【知识点】
1. 分母有理化
2. 因式分解
3. 整体代入求值
【点评】
本题是二次根式与整式运算的综合题型，解题关键是先对含二次根式的参数化简变形，得到参数对应的整式恒等式，再通过因式分解将高次多项式转化为可整体代入的形式，避免了高次运算的繁琐，很好地考察了转化思想和整体代入思想。
【难度系数】
0.7
遇到此类给定含二次根式的参数、求高次多项式值的题目，直接代入计算计算量过大，应先对参数进行分母有理化化简，再通过变形得到参数满足的整式关系，最后对所求多项式因式分解，整体代入求值即可。第一步先对m分母有理化，得到m的最简形式；第二步对m的表达式变形、平方，得到关于m的二次整式等式；第三步对所求多项式提取公因式，将得到的二次整式关系整体代入计算。
【解析】
第一步：化简m
对m进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2026}+1$：
$m=\frac{2025}{\sqrt{2026}-1}=\frac{2025(\sqrt{2026}+1)}{(\sqrt{2026}-1)(\sqrt{2026}+1)}$
由平方差公式计算分母：$(\sqrt{2026})^2 - 1^2=2026-1=2025$
因此$m=\frac{2025(\sqrt{2026}+1)}{2025}=\sqrt{2026}+1$
第二步：推导m满足的整式关系
移项得$m-1=\sqrt{2026}$，两边同时平方：
$(m-1)^2=(\sqrt{2026})^2$
展开左边得$m^2-2m+1=2026$，整理得$m^2-2m=2025$，即$m^2-2m-2025=0$
第三步：化简所求多项式并代入
对$m^5 - 2m^4 - 2025m^3$提取公因式$m^3$：
$m^5 - 2m^4 - 2025m^3=m^3(m^2-2m-2025)$
将$m^2-2m-2025=0$代入上式，得原式$=m^3×0=0$
【答案】
0
【知识点】
1. 分母有理化
2. 因式分解
3. 整体代入求值
【点评】
本题是二次根式与整式运算的综合题型，解题关键是先对含二次根式的参数化简变形，得到参数对应的整式恒等式，再通过因式分解将高次多项式转化为可整体代入的形式，避免了高次运算的繁琐，很好地考察了转化思想和整体代入思想。
【难度系数】
0.7
7. 已知 $a=2+\sqrt{5}, b=2-\sqrt{5}$ , 求代数式 $a^2b+ab^2$ 的值.
答案
7.$\because\ \ a=2+\sqrt{5},b=2-\sqrt{5},$
$\therefore\ \ a^2b+ab^2=ab(a+b)=(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5})=(4-5)×4=(-1)×4=-4.$
$\therefore\ \ a^2b+ab^2=ab(a+b)=(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5})=(4-5)×4=(-1)×4=-4.$
解析
【分析】
首先观察所求代数式$a^2b+ab^2$的结构，发现两项都含有公因式$ab$，因此可以先通过提公因式法对代数式因式分解，转化为$ab(a+b)$的形式。此时无需分别计算$a^2$、$b^2$的值，只需要先算出$a+b$和$ab$的结果，再整体代入计算即可，这种方法比直接代入原式计算更简便，还能降低运算出错的概率。计算$a+b$时含根号的项会相互抵消，计算$ab$时可以利用平方差公式快速得出结果。
【解析】
$\because\ \ a=2+\sqrt{5},b=2-\sqrt{5},$
$\therefore\ \ a^2b+ab^2=ab(a+b)$
分别计算$ab$和$a+b$的值：
$ab=(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=2^2-(\sqrt{5})^2=4-5=-1$
$a+b=(2+\sqrt{5})+(2-\sqrt{5})=4$
代入得：
原式$=(-1)×4=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，解题核心是先对目标代数式变形，再整体代入计算，能有效简化运算过程，避免复杂的乘方运算，需要学会根据代数式的结构选择更简便的计算方法。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式$a^2b+ab^2$的结构，发现两项都含有公因式$ab$，因此可以先通过提公因式法对代数式因式分解，转化为$ab(a+b)$的形式。此时无需分别计算$a^2$、$b^2$的值，只需要先算出$a+b$和$ab$的结果，再整体代入计算即可，这种方法比直接代入原式计算更简便，还能降低运算出错的概率。计算$a+b$时含根号的项会相互抵消，计算$ab$时可以利用平方差公式快速得出结果。
【解析】
$\because\ \ a=2+\sqrt{5},b=2-\sqrt{5},$
$\therefore\ \ a^2b+ab^2=ab(a+b)$
分别计算$ab$和$a+b$的值：
$ab=(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=2^2-(\sqrt{5})^2=4-5=-1$
$a+b=(2+\sqrt{5})+(2-\sqrt{5})=4$
代入得：
原式$=(-1)×4=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，解题核心是先对目标代数式变形，再整体代入计算，能有效简化运算过程，避免复杂的乘方运算，需要学会根据代数式的结构选择更简便的计算方法。
【难度系数】
0.8
8. 已知两个最简二次根式$\sqrt[y-2x]{3x-y}$和$\sqrt{2x+y-19}$可以合并，试解决下面的问题：
(1) 求$x,y$的值.
(2) 求$\sqrt{x^2+y^2}$的值.
(1) 求$x,y$的值.
(2) 求$\sqrt{x^2+y^2}$的值.
答案
8.(1)因为两个最简二次根式$\sqrt[y-2x]{3x-y}$和$\sqrt{2x+y-19}$可以合并,所以
$\begin{cases} y-2x=2, \\ 3x-y=2x+y-19. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=5, \\ y=12. \end{cases}$
(2) $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13.$
$\begin{cases} y-2x=2, \\ 3x-y=2x+y-19. \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=5, \\ y=12. \end{cases}$
(2) $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13.$
解析
【分析】
解题首先要明确：两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式。同类二次根式需满足两个核心条件：①根指数均为2；②被开方数相等。我们可以根据这两个条件列关于x、y的二元一次方程组，求解得到x、y的值；第二问只需将求出的x、y代入式子，计算算术平方根即可。
【解析】
(1) 因为两个最简二次根式$\sqrt[y-2x]{3x-y}$和$\sqrt{2x+y-19}$可以合并，所以二者是同类二次根式，可列方程组：
$\begin{cases} y-2x=2, \\ 3x-y=2x+y-19. \end{cases}$
整理第二个方程得$x-2y=-19$，将$y=2x+2$（由第一个方程变形得到）代入$x-2y=-19$：
$x-2(2x+2)=-19$，解得$x=5$，
把$x=5$代入$y=2x+2$，得$y=12$，
即方程组的解为$\begin{cases} x=5, \\ y=12. \end{cases}$
(2) 将$x=5$，$y=12$代入$\sqrt{x^2+y^2}$：
$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=5 \\ y=12 \end{cases}$
(2) $13$
【知识点】
同类二次根式的定义；二元一次方程组的解法；二次根式求值
【点评】
本题侧重基础概念的应用，解题关键是掌握可合并的最简二次根式为同类二次根式的性质，既考察对概念的理解，也考察基本运算能力。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确：两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式。同类二次根式需满足两个核心条件：①根指数均为2；②被开方数相等。我们可以根据这两个条件列关于x、y的二元一次方程组，求解得到x、y的值；第二问只需将求出的x、y代入式子，计算算术平方根即可。
【解析】
(1) 因为两个最简二次根式$\sqrt[y-2x]{3x-y}$和$\sqrt{2x+y-19}$可以合并，所以二者是同类二次根式，可列方程组：
$\begin{cases} y-2x=2, \\ 3x-y=2x+y-19. \end{cases}$
整理第二个方程得$x-2y=-19$，将$y=2x+2$（由第一个方程变形得到）代入$x-2y=-19$：
$x-2(2x+2)=-19$，解得$x=5$，
把$x=5$代入$y=2x+2$，得$y=12$，
即方程组的解为$\begin{cases} x=5, \\ y=12. \end{cases}$
(2) 将$x=5$，$y=12$代入$\sqrt{x^2+y^2}$：
$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=5 \\ y=12 \end{cases}$
(2) $13$
【知识点】
同类二次根式的定义；二元一次方程组的解法；二次根式求值
【点评】
本题侧重基础概念的应用，解题关键是掌握可合并的最简二次根式为同类二次根式的性质，既考察对概念的理解，也考察基本运算能力。
【难度系数】
0.8
