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综合练习（一）
一、选择题
1. 若式子$\sqrt{x+1}+x^{-2}$在实数范围内有意义,则$x$的取值范围是（
A.$x＞-1$
B.$x≥ -1$
C.$x≥ -1$且$x≠ 0$
D.$x≤ -1$
一、选择题
1. 若式子$\sqrt{x+1}+x^{-2}$在实数范围内有意义,则$x$的取值范围是（
C
）A.$x＞-1$
B.$x≥ -1$
C.$x≥ -1$且$x≠ 0$
D.$x≤ -1$
答案
1.C
解析
【分析】
要使本题的代数式有意义，需保证式子中每一部分都有意义。式子包含$\sqrt{x+1}$和$x^{-2}$两部分，我们可以分别推导两部分对$x$的取值要求：首先，二次根式的被开方数必须是非负数，据此列出第一个不等式；其次，负整数指数幂本质是正指数幂的倒数，分母不能为0，因此负指数的底数不能为0，得到第二个限制条件；最后取两个条件的公共范围，就是$x$的最终取值范围。
【解析】
要使$\sqrt{x+1}+x^{-2}$在实数范围内有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 对于二次根式$\sqrt{x+1}$，被开方数必须是非负数：
$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 对于负整数指数幂$x^{-2}$，根据负整数指数幂的定义$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得底数$x≠0$；
联立两个条件，$x$的取值范围是$x≥-1$且$x≠0$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 负整数指数幂的定义
【点评】
本题是基础常考题，核心考察代数式有意义的取值范围求解，解题时需逐一梳理式子各部分的限制条件，再取所有条件的公共范围，注意不要遗漏负整数指数幂底数不为0的要求，避免误选B选项。
【难度系数】
0.7
要使本题的代数式有意义，需保证式子中每一部分都有意义。式子包含$\sqrt{x+1}$和$x^{-2}$两部分，我们可以分别推导两部分对$x$的取值要求：首先，二次根式的被开方数必须是非负数，据此列出第一个不等式；其次，负整数指数幂本质是正指数幂的倒数，分母不能为0，因此负指数的底数不能为0，得到第二个限制条件；最后取两个条件的公共范围，就是$x$的最终取值范围。
【解析】
要使$\sqrt{x+1}+x^{-2}$在实数范围内有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 对于二次根式$\sqrt{x+1}$，被开方数必须是非负数：
$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 对于负整数指数幂$x^{-2}$，根据负整数指数幂的定义$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得底数$x≠0$；
联立两个条件，$x$的取值范围是$x≥-1$且$x≠0$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 负整数指数幂的定义
【点评】
本题是基础常考题，核心考察代数式有意义的取值范围求解，解题时需逐一梳理式子各部分的限制条件，再取所有条件的公共范围，注意不要遗漏负整数指数幂底数不为0的要求，避免误选B选项。
【难度系数】
0.7
2. 估计$(2\sqrt{5}+5\sqrt{2})×\sqrt{\frac{1}{5}}$的值应在（
A.4和5之间
B.5和6之间
C.6和7之间
D.7和8之间
B
）A.4和5之间
B.5和6之间
C.6和7之间
D.7和8之间
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先利用乘法分配律将原式展开，再根据二次根式的乘法法则化简每一项，得到最简结果后，通过估算无理数的取值范围，最终确定整个式子的取值范围，对应选项即可得到答案。
【解析】
首先对原式进行化简：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{5}×\sqrt{\frac{1}{5}} + 5\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{5}} \\&=2\sqrt{5×\frac{1}{5}} + 5\sqrt{\frac{2}{5}} \\&=2\sqrt{1} + 5×\frac{\sqrt{10}}{5} \\&=2 + \sqrt{10}\end{aligned}$
接下来估算$\sqrt{10}$的范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$。
不等式两边同时加2，可得：$2+3 ＜ 2+\sqrt{10} ＜ 2+4$，即$5＜2+\sqrt{10}＜6$。
因此原式的值在5和6之间。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算，无理数大小估算
【点评】
本题是二次根式运算与无理数估算结合的基础题型，解题的核心是先将原式化简到最简形式，再利用常见的平方数估算无理数的范围，解题过程需要熟练掌握二次根式的运算法则。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用乘法分配律将原式展开，再根据二次根式的乘法法则化简每一项，得到最简结果后，通过估算无理数的取值范围，最终确定整个式子的取值范围，对应选项即可得到答案。
【解析】
首先对原式进行化简：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{5}×\sqrt{\frac{1}{5}} + 5\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{5}} \\&=2\sqrt{5×\frac{1}{5}} + 5\sqrt{\frac{2}{5}} \\&=2\sqrt{1} + 5×\frac{\sqrt{10}}{5} \\&=2 + \sqrt{10}\end{aligned}$
接下来估算$\sqrt{10}$的范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$。
不等式两边同时加2，可得：$2+3 ＜ 2+\sqrt{10} ＜ 2+4$，即$5＜2+\sqrt{10}＜6$。
因此原式的值在5和6之间。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算，无理数大小估算
【点评】
本题是二次根式运算与无理数估算结合的基础题型，解题的核心是先将原式化简到最简形式，再利用常见的平方数估算无理数的范围，解题过程需要熟练掌握二次根式的运算法则。
【难度系数】
0.7
3. 下列各数与$2+\sqrt{3}$的积是有理数的是 （
A.$2+\sqrt{3}$
B.$2$
C.$\sqrt{3}$
D.$2-\sqrt{3}$
D
）A.$2+\sqrt{3}$
B.$2$
C.$\sqrt{3}$
D.$2-\sqrt{3}$
答案
3.D
解析
【分析】
要解这道题，首先明确目标是找到与$2+\sqrt{3}$相乘后结果为有理数的选项。有理数不含无限不循环部分，而$2+\sqrt{3}$是带根号的无理数，要让乘积消去根号，可利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，$a+\sqrt{b}$的有理化因式就是$a-\sqrt{b}$；也可以逐一计算每个选项和$2+\sqrt{3}$的乘积，判断结果是否为有理数。
【解析】
我们逐个计算各选项与$2+\sqrt{3}$的乘积：
A. $(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=(2+\sqrt{3})^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3}$，结果含$\sqrt{3}$，是无理数，不符合要求；
B. $2×(2+\sqrt{3})=4+2\sqrt{3}$，结果含$\sqrt{3}$，是无理数，不符合要求；
C. $\sqrt{3}×(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3$，结果含$\sqrt{3}$，是无理数，不符合要求；
D. 根据平方差公式：$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$，1是有理数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式运算，平方差公式，有理化因式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，既可以通过寻找有理化因式快速得出答案，也可以通过逐一计算验证选项，掌握平方差公式在二次根式有理化中的应用是解题核心。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先明确目标是找到与$2+\sqrt{3}$相乘后结果为有理数的选项。有理数不含无限不循环部分，而$2+\sqrt{3}$是带根号的无理数，要让乘积消去根号，可利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，$a+\sqrt{b}$的有理化因式就是$a-\sqrt{b}$；也可以逐一计算每个选项和$2+\sqrt{3}$的乘积，判断结果是否为有理数。
【解析】
我们逐个计算各选项与$2+\sqrt{3}$的乘积：
A. $(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=(2+\sqrt{3})^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3}$，结果含$\sqrt{3}$，是无理数，不符合要求；
B. $2×(2+\sqrt{3})=4+2\sqrt{3}$，结果含$\sqrt{3}$，是无理数，不符合要求；
C. $\sqrt{3}×(2+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+3$，结果含$\sqrt{3}$，是无理数，不符合要求；
D. 根据平方差公式：$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$，1是有理数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式运算，平方差公式，有理化因式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，既可以通过寻找有理化因式快速得出答案，也可以通过逐一计算验证选项，掌握平方差公式在二次根式有理化中的应用是解题核心。
【难度系数】
0.8
4. 若2,5,m是某三角形三边的长，则$\sqrt{(m-3)^2}+\sqrt{(m-7)^2}$等于（
A.$2m-10$
B.$10-2m$
C.$10$
D.$4$
D
）A.$2m-10$
B.$10-2m$
C.$10$
D.$4$
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先利用三角形三边关系求出m的取值范围，再结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式转化为绝对值的和，最后根据m的范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值后化简即可得到结果。
【解析】
第一步：根据三角形三边关系确定m的取值范围
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知三边长为2、5、m，因此：
$5-2 ＜ m ＜ 5+2$，即$3 ＜ m ＜7$。
第二步：利用二次根式的性质化简原式
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(m-3)^2}+\sqrt{(m-7)^2}=|m-3|+|m-7|$
第三步：去绝对值并化简
因为$3＜m＜7$，所以$m-3＞0$，$m-7＜0$，因此：
$|m-3|=m-3$，$|m-7|=7-m$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(m-3)+(7-m)\\&=m-3+7-m\\&=4\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是基础综合题，将三角形三边关系和二次根式的化简结合考查，解题核心是先确定m的取值范围，再正确去绝对值计算，是代数与几何结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用三角形三边关系求出m的取值范围，再结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式转化为绝对值的和，最后根据m的范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值后化简即可得到结果。
【解析】
第一步：根据三角形三边关系确定m的取值范围
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知三边长为2、5、m，因此：
$5-2 ＜ m ＜ 5+2$，即$3 ＜ m ＜7$。
第二步：利用二次根式的性质化简原式
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(m-3)^2}+\sqrt{(m-7)^2}=|m-3|+|m-7|$
第三步：去绝对值并化简
因为$3＜m＜7$，所以$m-3＞0$，$m-7＜0$，因此：
$|m-3|=m-3$，$|m-7|=7-m$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(m-3)+(7-m)\\&=m-3+7-m\\&=4\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是基础综合题，将三角形三边关系和二次根式的化简结合考查，解题核心是先确定m的取值范围，再正确去绝对值计算，是代数与几何结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
5. 已知 $ a = \sqrt{2} - 1 $，$ b = \sqrt{3} - \sqrt{2} $，$ c = \sqrt{6} - 2 $，那么 $ a,b,c $ 的大小关系是 （
A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ a ＜ c ＜ b $
C.$ b ＜ a ＜ c $
D.$ b ＜ c ＜ a $
C
）A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ a ＜ c ＜ b $
C.$ b ＜ a ＜ c $
D.$ b ＜ c ＜ a $
答案
5.C 提示:$\because\ \ \dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1,\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2},\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{\sqrt{6}-2}=\dfrac{\sqrt{6}+2}{6-4}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}+1=\sqrt{\dfrac{3}{2}}+1,\therefore\ \ \sqrt{\dfrac{3}{2}}+1＜\sqrt{2}+1＜\sqrt{2}+\sqrt{3}.\therefore\ \ 0＜\dfrac{1}{c}＜\dfrac{1}{a}＜\dfrac{1}{b}.\therefore\ \ b＜a＜c.$
解析
【分析】
观察a、b、c的形式，均为两个正二次根式相减的结果，且三个数都为正数。如果直接计算近似值比较容易出错，我们可以利用“正数的倒数越大，原数越小”的性质，先对三个数求倒数，再通过分母有理化将倒数转化为二次根式相加的形式，更便于比较大小，最后根据倒数的大小关系反推原数的大小即可。
【解析】
第一步：判断三个数的正负性
$\because \sqrt{2}＞1，\sqrt{3}＞\sqrt{2}，\sqrt{6}＞2$
$\therefore a=\sqrt{2}-1＞0，b=\sqrt{3}-\sqrt{2}＞0，c=\sqrt{6}-2＞0$，三个数均为正数。
第二步：分别求三个数的倒数并分母有理化
$\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1$
$\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
$\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{\sqrt{6}-2}=\dfrac{\sqrt{6}+2}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)}=\dfrac{\sqrt{6}+2}{6-4}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}+1=\sqrt{\dfrac{3}{2}}+1$
第三步：比较倒数的大小
$\because \sqrt{\dfrac{3}{2}}＜\sqrt{2}＜\sqrt{3}$
$\therefore \sqrt{\dfrac{3}{2}}+1＜\sqrt{2}+1＜\sqrt{2}+\sqrt{3}$，即$0＜\dfrac{1}{c}＜\dfrac{1}{a}＜\dfrac{1}{b}$
第四步：根据倒数性质推导原数大小
正数中倒数越大，原数越小，因此可得$b＜a＜c$。
【答案】
C
【知识点】
1. 分母有理化
2. 实数大小比较
3. 二次根式运算
【点评】
本题是二次根式大小比较的典型题型，解题的核心是根据数字的结构特征选择合适的比较方法，对于两个二次根式相减的形式，采用倒数法结合分母有理化能有效简化计算，避免直接估算产生的误差，要熟练掌握这类解题技巧。
【难度系数】
0.65
观察a、b、c的形式，均为两个正二次根式相减的结果，且三个数都为正数。如果直接计算近似值比较容易出错，我们可以利用“正数的倒数越大，原数越小”的性质，先对三个数求倒数，再通过分母有理化将倒数转化为二次根式相加的形式，更便于比较大小，最后根据倒数的大小关系反推原数的大小即可。
【解析】
第一步：判断三个数的正负性
$\because \sqrt{2}＞1，\sqrt{3}＞\sqrt{2}，\sqrt{6}＞2$
$\therefore a=\sqrt{2}-1＞0，b=\sqrt{3}-\sqrt{2}＞0，c=\sqrt{6}-2＞0$，三个数均为正数。
第二步：分别求三个数的倒数并分母有理化
$\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1$
$\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
$\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{\sqrt{6}-2}=\dfrac{\sqrt{6}+2}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)}=\dfrac{\sqrt{6}+2}{6-4}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}+1=\sqrt{\dfrac{3}{2}}+1$
第三步：比较倒数的大小
$\because \sqrt{\dfrac{3}{2}}＜\sqrt{2}＜\sqrt{3}$
$\therefore \sqrt{\dfrac{3}{2}}+1＜\sqrt{2}+1＜\sqrt{2}+\sqrt{3}$，即$0＜\dfrac{1}{c}＜\dfrac{1}{a}＜\dfrac{1}{b}$
第四步：根据倒数性质推导原数大小
正数中倒数越大，原数越小，因此可得$b＜a＜c$。
【答案】
C
【知识点】
1. 分母有理化
2. 实数大小比较
3. 二次根式运算
【点评】
本题是二次根式大小比较的典型题型，解题的核心是根据数字的结构特征选择合适的比较方法，对于两个二次根式相减的形式，采用倒数法结合分母有理化能有效简化计算，避免直接估算产生的误差，要熟练掌握这类解题技巧。
【难度系数】
0.65
6. 比较大小：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ______（填“＞”“＜”或“=”）$\frac{1}{2}$.
答案
6.＞
解析
【分析】
观察要比较的两个分数，分母均为2且都是正数，根据同分母正数比较大小的规则，只需比较分子的大小即可判断整体的大小关系。接下来估算$\sqrt{5}$的取值范围，利用$\sqrt{4}=2$的已知结论，可推出$\sqrt{5}$和2的大小关系，进一步推导就能得到两个分数的大小结果。
【解析】
解：两个分数分母相同且为正数，只需比较分子$\sqrt{5}-1$和$1$的大小：
∵ $5＞4$，
∴ $\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，
不等式两边同时减1，不等号方向不变，可得$\sqrt{5}-1＞2-1$，即$\sqrt{5}-1＞1$，
不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，可得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较；二次根式估值
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，解题时可以通过转化问题简化运算，除了同分母比较分子的方法外，也可用作差法等其他方法验证结果，解题思路灵活，难度较低。
【难度系数】
0.8
观察要比较的两个分数，分母均为2且都是正数，根据同分母正数比较大小的规则，只需比较分子的大小即可判断整体的大小关系。接下来估算$\sqrt{5}$的取值范围，利用$\sqrt{4}=2$的已知结论，可推出$\sqrt{5}$和2的大小关系，进一步推导就能得到两个分数的大小结果。
【解析】
解：两个分数分母相同且为正数，只需比较分子$\sqrt{5}-1$和$1$的大小：
∵ $5＞4$，
∴ $\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，
不等式两边同时减1，不等号方向不变，可得$\sqrt{5}-1＞2-1$，即$\sqrt{5}-1＞1$，
不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，可得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
【答案】
＞
【知识点】
实数大小比较；二次根式估值
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，解题时可以通过转化问题简化运算，除了同分母比较分子的方法外，也可用作差法等其他方法验证结果，解题思路灵活，难度较低。
【难度系数】
0.8
7. 计算：$\sqrt{63} ÷ \sqrt{7} - |-4| = \_\_\_\_\_\_$.
答案
7.-1
解析
【分析】
本题属于实数混合运算类题目，解题时遵循先算乘除、再算加减的运算顺序即可：首先回忆二次根式的除法法则，计算二次根式的除法部分；再根据绝对值的性质化简绝对值；最后将两部分的结果相减就能得到最终答案。
【解析】
解：按照实数运算规则分步计算：
1. 计算二次根式除法：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得$\sqrt{63}÷\sqrt{7}=\sqrt{63÷7}=\sqrt{9}=3$；
2. 化简绝对值：负数的绝对值是它的相反数，因此$|-4|=4$；
3. 计算减法：$3-4=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二次根式的除法运算；绝对值的化简；实数的混合运算
【点评】
本题是基础运算题，主要考查对基础运算法则的掌握情况，只要牢记二次根式除法规则和绝对值的性质，严格按运算顺序计算，即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
本题属于实数混合运算类题目，解题时遵循先算乘除、再算加减的运算顺序即可：首先回忆二次根式的除法法则，计算二次根式的除法部分；再根据绝对值的性质化简绝对值；最后将两部分的结果相减就能得到最终答案。
【解析】
解：按照实数运算规则分步计算：
1. 计算二次根式除法：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得$\sqrt{63}÷\sqrt{7}=\sqrt{63÷7}=\sqrt{9}=3$；
2. 化简绝对值：负数的绝对值是它的相反数，因此$|-4|=4$；
3. 计算减法：$3-4=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二次根式的除法运算；绝对值的化简；实数的混合运算
【点评】
本题是基础运算题，主要考查对基础运算法则的掌握情况，只要牢记二次根式除法规则和绝对值的性质，严格按运算顺序计算，即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
8. 已知 $ a = 3 + 2\sqrt{2} $，$ b = 3 - 2\sqrt{2} $，则 $ a^2b - ab^2 = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
8.$4\sqrt{2}$
解析
【分析】
遇到此类代数式求值问题，不要直接代入a、b的值计算，避免复杂的二次根式乘方运算。首先观察代数式结构，a²b - ab²含有公因式ab，先提取公因式将其化简为ab(a - b)，再分别计算ab和a-b的值：a、b的形式符合平方差公式的结构，计算ab时可直接用平方差公式快速得出结果，最后代入化简后的式子计算即可。
【解析】
步骤1：对所求代数式因式分解
$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
步骤2：计算$ab$的值
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，代入a、b的值得：
$ab=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=3^2-(2\sqrt{2})^2=9-8=1$
步骤3：计算$a-b$的值
$a-b=(3+2\sqrt{2})-(3-2\sqrt{2})=3+2\sqrt{2}-3+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
步骤4：代入化简后的式子求值
$ab(a - b)=1×4\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
因式分解；平方差公式；二次根式运算
【点评】
本题核心考查先化简再求值的解题思路，通过因式分解和平方差公式的运用，能大幅降低计算量，减少运算出错的概率。
【难度系数】
0.7
遇到此类代数式求值问题，不要直接代入a、b的值计算，避免复杂的二次根式乘方运算。首先观察代数式结构，a²b - ab²含有公因式ab，先提取公因式将其化简为ab(a - b)，再分别计算ab和a-b的值：a、b的形式符合平方差公式的结构，计算ab时可直接用平方差公式快速得出结果，最后代入化简后的式子计算即可。
【解析】
步骤1：对所求代数式因式分解
$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
步骤2：计算$ab$的值
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，代入a、b的值得：
$ab=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=3^2-(2\sqrt{2})^2=9-8=1$
步骤3：计算$a-b$的值
$a-b=(3+2\sqrt{2})-(3-2\sqrt{2})=3+2\sqrt{2}-3+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
步骤4：代入化简后的式子求值
$ab(a - b)=1×4\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
因式分解；平方差公式；二次根式运算
【点评】
本题核心考查先化简再求值的解题思路，通过因式分解和平方差公式的运用，能大幅降低计算量，减少运算出错的概率。
【难度系数】
0.7
9. 在数轴上表示实数$ a $的点如图19-2所示，则化简$\sqrt{(a-5)^2} + |a - 2|$的结果为
3
。答案
9.3
解析
【分析】
首先观察数轴得到实数a的取值范围为2＜a＜5，再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$将待化简式中的二次根式转化为绝对值形式，接下来分别判断两个绝对值内代数式的正负性，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可得$2 ＜ a ＜ 5$，
因此$a-5 ＜ 0$，$a-2 ＞ 0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，得：
$\sqrt{(a-5)^2}=|a-5|=5-a$，
根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，得：
$|a-2|=a-2$，
将上述结果代入原式计算：
$\sqrt{(a-5)^2} + |a - 2|=(5-a)+(a-2)=5-a+a-2=3$。
【答案】
3
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题属于基础化简类题型，考查数轴、二次根式、绝对值的综合应用，解题核心是先通过数轴确定未知数的取值范围，再结合相关性质去掉绝对值符号计算，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
首先观察数轴得到实数a的取值范围为2＜a＜5，再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$将待化简式中的二次根式转化为绝对值形式，接下来分别判断两个绝对值内代数式的正负性，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可得$2 ＜ a ＜ 5$，
因此$a-5 ＜ 0$，$a-2 ＞ 0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，得：
$\sqrt{(a-5)^2}=|a-5|=5-a$，
根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，得：
$|a-2|=a-2$，
将上述结果代入原式计算：
$\sqrt{(a-5)^2} + |a - 2|=(5-a)+(a-2)=5-a+a-2=3$。
【答案】
3
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题属于基础化简类题型，考查数轴、二次根式、绝对值的综合应用，解题核心是先通过数轴确定未知数的取值范围，再结合相关性质去掉绝对值符号计算，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
10. 已知$\sqrt{a}(a-\sqrt{3})＜0$，若$b=2-a$，则$b$的取值范围是$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
10.$2-\sqrt{3}＜b＜2$ 提示:$\because\ \ \sqrt{a}(a-\sqrt{3})＜0,\therefore\ \ \sqrt{a}＞0,a-\sqrt{3}＜0.$ 解得$a＞0$且$a＜\sqrt{3}.\therefore\ \ 0＜a＜\sqrt{3}.\therefore\ \ -\sqrt{3}＜-a＜0.\therefore\ \ 2-\sqrt{3}＜2-a＜2,$即$2-\sqrt{3}＜b＜2.$
解析
【分析】
要确定b的取值范围，首先需要先求出a的取值范围：首先观察不等式$\sqrt{a}(a-\sqrt{3})＜0$，根据二次根式的定义，$\sqrt{a}$有意义时a≥0，且两个数的乘积为负，说明两个数异号。因为$\sqrt{a}$不可能为负数，所以只能是$\sqrt{a}＞0$且$(a-\sqrt{3})＜0$，由此解出a的范围后，再结合$b=2-a$，利用不等式的基本性质对a的范围变形，即可得到b的取值范围。
【解析】
$\because \sqrt{a}(a-\sqrt{3})＜0$，
根据二次根式的非负性可知$\sqrt{a}≥0$，且$\sqrt{a}$不能为0（若$\sqrt{a}=0$则乘积为0，不符合小于0的条件），
$\therefore \sqrt{a}＞0$，$a-\sqrt{3}＜0$，
解得$a＞0$且$a＜\sqrt{3}$，即$0＜a＜\sqrt{3}$，
根据不等式的性质，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$-\sqrt{3}＜-a＜0$，
不等式三边同时加2，得：
$2-\sqrt{3}＜2-a＜2$，
又$\because b=2-a$，
$\therefore 2-\sqrt{3}＜b＜2$。
【答案】
$2-\sqrt{3}＜b＜2$
【知识点】
二次根式的非负性；不等式的基本性质；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是二次根式与不等式的基础综合题，解题的关键是先根据乘法的符号规律和二次根式的性质确定a的取值范围，再对不等式进行变形，变形时要注意不等式两边乘负数时不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.7
要确定b的取值范围，首先需要先求出a的取值范围：首先观察不等式$\sqrt{a}(a-\sqrt{3})＜0$，根据二次根式的定义，$\sqrt{a}$有意义时a≥0，且两个数的乘积为负，说明两个数异号。因为$\sqrt{a}$不可能为负数，所以只能是$\sqrt{a}＞0$且$(a-\sqrt{3})＜0$，由此解出a的范围后，再结合$b=2-a$，利用不等式的基本性质对a的范围变形，即可得到b的取值范围。
【解析】
$\because \sqrt{a}(a-\sqrt{3})＜0$，
根据二次根式的非负性可知$\sqrt{a}≥0$，且$\sqrt{a}$不能为0（若$\sqrt{a}=0$则乘积为0，不符合小于0的条件），
$\therefore \sqrt{a}＞0$，$a-\sqrt{3}＜0$，
解得$a＞0$且$a＜\sqrt{3}$，即$0＜a＜\sqrt{3}$，
根据不等式的性质，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$-\sqrt{3}＜-a＜0$，
不等式三边同时加2，得：
$2-\sqrt{3}＜2-a＜2$，
又$\because b=2-a$，
$\therefore 2-\sqrt{3}＜b＜2$。
【答案】
$2-\sqrt{3}＜b＜2$
【知识点】
二次根式的非负性；不等式的基本性质；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是二次根式与不等式的基础综合题，解题的关键是先根据乘法的符号规律和二次根式的性质确定a的取值范围，再对不等式进行变形，变形时要注意不等式两边乘负数时不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 计算：
(1) $\sqrt{12} + 4\sqrt{0.5} - \frac{2}{3}\sqrt{18} + 3\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(2) $(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3) - (\sqrt{3} - 1)^2$；
(3) $(2 - \sqrt{3})^{2025} · (2 + \sqrt{3})^{2026} - 2 × \left| -\frac{\sqrt{3}}{2} \right| - (-\sqrt{3})^0$。
11. 计算：
(1) $\sqrt{12} + 4\sqrt{0.5} - \frac{2}{3}\sqrt{18} + 3\sqrt{\frac{1}{3}}$；
(2) $(\sqrt{5} + 3)(\sqrt{5} - 3) - (\sqrt{3} - 1)^2$；
(3) $(2 - \sqrt{3})^{2025} · (2 + \sqrt{3})^{2026} - 2 × \left| -\frac{\sqrt{3}}{2} \right| - (-\sqrt{3})^0$。
答案
11.(1)原式$=2\sqrt{3}+4×\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2}{3}×3\sqrt{2}+3×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}.$
(2)原式$=5-9-(3-2\sqrt{3}+1)=-4-4+2\sqrt{3}=-8+2\sqrt{3}.$
(3)原式$=(2-\sqrt{3})^{2025}·(2+\sqrt{3})^{2025}·(2+\sqrt{3})-2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1=[(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})]^{2025}·(2+\sqrt{3})-\sqrt{3}-1=2+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1=1.$
(2)原式$=5-9-(3-2\sqrt{3}+1)=-4-4+2\sqrt{3}=-8+2\sqrt{3}.$
(3)原式$=(2-\sqrt{3})^{2025}·(2+\sqrt{3})^{2025}·(2+\sqrt{3})-2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1=[(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})]^{2025}·(2+\sqrt{3})-\sqrt{3}-1=2+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1=1.$
解析
【分析】
这三道题均属于二次根式的混合运算类题目，解题思路如下：
(1) 先将每个二次根式化为最简二次根式，再识别并合并同类二次根式即可，注意只有被开方数相同的最简二次根式才能合并；
(2) 观察式子结构，前半部分符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，后半部分符合完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的形式，先利用公式展开，再去括号合并同类项即可；
(3) 对于高次幂的乘积项，逆用积的乘方运算法则$a^n·b^n=(ab)^n$，将指数相同的部分合并计算，再分别计算绝对值、零指数幂，最后合并结果，注意任何非零数的0次幂等于1。
【解析】
(1) 化简各二次根式后合并：
原式$=2\sqrt{3}+4×\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2}{3}×3\sqrt{2}+3×\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{3}$
$=3\sqrt{3}$
(2) 利用乘法公式展开后计算：
原式$=(\sqrt{5})^2-3^2-(3-2\sqrt{3}+1)$
$=5-9-4+2\sqrt{3}$
$=-8+2\sqrt{3}$
(3) 逆用积的乘方运算后合并：
原式$=(2-\sqrt{3})^{2025}·(2+\sqrt{3})^{2025}·(2+\sqrt{3})-2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1$
$=[(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})]^{2025}·(2+\sqrt{3})-\sqrt{3}-1$
$=1^{2025}·(2+\sqrt{3})-\sqrt{3}-1$
$=2+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1$
$=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3\sqrt{3}}$；(2) $\boldsymbol{-8+2\sqrt{3}}$；(3) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
1. 二次根式混合运算
2. 整式乘法公式
3. 幂的运算与零指数幂
【点评】
本题侧重考察代数基础运算能力，覆盖了二次根式化简、同类二次根式合并、乘法公式运用、幂的运算性质、绝对值和零指数幂计算等多个基础考点，运算过程中注意公式的正确套用和符号判断，即可避免失分。
【难度系数】
0.7
这三道题均属于二次根式的混合运算类题目，解题思路如下：
(1) 先将每个二次根式化为最简二次根式，再识别并合并同类二次根式即可，注意只有被开方数相同的最简二次根式才能合并；
(2) 观察式子结构，前半部分符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，后半部分符合完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的形式，先利用公式展开，再去括号合并同类项即可；
(3) 对于高次幂的乘积项，逆用积的乘方运算法则$a^n·b^n=(ab)^n$，将指数相同的部分合并计算，再分别计算绝对值、零指数幂，最后合并结果，注意任何非零数的0次幂等于1。
【解析】
(1) 化简各二次根式后合并：
原式$=2\sqrt{3}+4×\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{2}{3}×3\sqrt{2}+3×\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$=2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{3}$
$=3\sqrt{3}$
(2) 利用乘法公式展开后计算：
原式$=(\sqrt{5})^2-3^2-(3-2\sqrt{3}+1)$
$=5-9-4+2\sqrt{3}$
$=-8+2\sqrt{3}$
(3) 逆用积的乘方运算后合并：
原式$=(2-\sqrt{3})^{2025}·(2+\sqrt{3})^{2025}·(2+\sqrt{3})-2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}-1$
$=[(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})]^{2025}·(2+\sqrt{3})-\sqrt{3}-1$
$=1^{2025}·(2+\sqrt{3})-\sqrt{3}-1$
$=2+\sqrt{3}-\sqrt{3}-1$
$=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3\sqrt{3}}$；(2) $\boldsymbol{-8+2\sqrt{3}}$；(3) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
1. 二次根式混合运算
2. 整式乘法公式
3. 幂的运算与零指数幂
【点评】
本题侧重考察代数基础运算能力，覆盖了二次根式化简、同类二次根式合并、乘法公式运用、幂的运算性质、绝对值和零指数幂计算等多个基础考点，运算过程中注意公式的正确套用和符号判断，即可避免失分。
【难度系数】
0.7
