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4. 若式子$\sqrt{2-x}+\sqrt{x-1}$有意义，则$x$的取值范围是________.
答案
4.1≤x≤2
解析
【分析】
要确定使式子有意义的x的取值范围，首先回忆二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数。本题中式子包含两个二次根式，因此需要让两个被开方数同时满足非负的要求，据此列出一元一次不等式组，再求解不等式组的公共解集，就能得到x的取值范围。
【解析】
解：若二次根式有意义，则被开方数大于等于0，因此可列不等式组：
$\begin{cases}2-x≥0 \\x-1≥0\end{cases}$
解不等式$2-x≥0$，得：$x≤2$；
解不等式$x-1≥0$，得：$x≥1$；
取两个解集的公共部分，可得$1≤ x≤2$。
【答案】
$1≤ x≤2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对二次根式有意义条件的掌握，只要牢记被开方数非负的要求，正确列出并求解不等式组即可得分，难度较低。
【难度系数】
0.9
要确定使式子有意义的x的取值范围，首先回忆二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数。本题中式子包含两个二次根式，因此需要让两个被开方数同时满足非负的要求，据此列出一元一次不等式组，再求解不等式组的公共解集，就能得到x的取值范围。
【解析】
解：若二次根式有意义，则被开方数大于等于0，因此可列不等式组：
$\begin{cases}2-x≥0 \\x-1≥0\end{cases}$
解不等式$2-x≥0$，得：$x≤2$；
解不等式$x-1≥0$，得：$x≥1$；
取两个解集的公共部分，可得$1≤ x≤2$。
【答案】
$1≤ x≤2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查对二次根式有意义条件的掌握，只要牢记被开方数非负的要求，正确列出并求解不等式组即可得分，难度较低。
【难度系数】
0.9
5. 已知 $ x, y $ 为实数, 且 $ y = \sqrt{x^2 - 9} - \sqrt{9 - x^2} + 4 $, 则 $ x - y = $
-1或-7
.答案
5.-1或-7
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确二次根式有意义的前提：被开方数必须是非负数。据此我们可以列出关于x的不等式组，求出x的取值，再将x代入原式求出y的值，最后分情况计算x - y的结果即可。解题时要注意x的取值有正负两种情况，不要漏解。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{x^2 - 9}$和$\sqrt{9 - x^2}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$\begin{cases}x^2 - 9 ≥ 0 \\9 - x^2 ≥ 0\end{cases}$
整理得$x^2 ≥ 9$且$x^2 ≤ 9$，因此$x^2 = 9$，解得$x = 3$或$x = -3$。
将$x^2 = 9$代入$y = \sqrt{x^2 - 9} - \sqrt{9 - x^2} + 4$，得：
$y = \sqrt{0} - \sqrt{0} + 4 = 4$
分两种情况计算$x - y$：
① 当$x = 3$时，$x - y = 3 - 4 = -1$；
② 当$x = -3$时，$x - y = -3 - 4 = -7$。
综上，$x - y$的值为-1或-7。
【答案】
-1或-7
【知识点】
二次根式有意义的条件、代数式求值
【点评】
本题的核心是利用二次根式的被开方数非负性确定x的取值，解题时需注意x有两个互为相反数的解，避免因漏解导致结果不完整。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确二次根式有意义的前提：被开方数必须是非负数。据此我们可以列出关于x的不等式组，求出x的取值，再将x代入原式求出y的值，最后分情况计算x - y的结果即可。解题时要注意x的取值有正负两种情况，不要漏解。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{x^2 - 9}$和$\sqrt{9 - x^2}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$\begin{cases}x^2 - 9 ≥ 0 \\9 - x^2 ≥ 0\end{cases}$
整理得$x^2 ≥ 9$且$x^2 ≤ 9$，因此$x^2 = 9$，解得$x = 3$或$x = -3$。
将$x^2 = 9$代入$y = \sqrt{x^2 - 9} - \sqrt{9 - x^2} + 4$，得：
$y = \sqrt{0} - \sqrt{0} + 4 = 4$
分两种情况计算$x - y$：
① 当$x = 3$时，$x - y = 3 - 4 = -1$；
② 当$x = -3$时，$x - y = -3 - 4 = -7$。
综上，$x - y$的值为-1或-7。
【答案】
-1或-7
【知识点】
二次根式有意义的条件、代数式求值
【点评】
本题的核心是利用二次根式的被开方数非负性确定x的取值，解题时需注意x有两个互为相反数的解，避免因漏解导致结果不完整。
【难度系数】
0.7
6. 已知$|x - 1000| + (\sqrt{998 - x})^2 = 2000$，$y = \sqrt{m + 8} + \sqrt{m - 1} + \sqrt{1 - m}$，求$y - x$的平方根.
答案
6.由题意,得998-x≥0,m-1≥0,1-m≥0,解得x≤998,m=1,所以1000-x+(√998-x)²=2000,y=3.所以998-x=1000+x,解得x=-1,则y-x=4.因为4的平方根是±2,所以y-x的平方根是±2.
解析
【分析】
解题突破口是二次根式有意义的隐含条件（被开方数为非负数）。首先观察含x的等式，其中$\sqrt{998-x}$有意义，可得$998-x≥0$，即$x≤998$，据此可去掉$|x-1000|$的绝对值符号，再结合$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$化简方程即可求出x的值；再观察含y的式子，$\sqrt{m-1}$和$\sqrt{1-m}$同时有意义，可得$m-1≥0$且$1-m≥0$，即可求出m的值，代入得到y的值；最后计算$y-x$，根据平方根的定义求结果即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
1. 确定未知数取值范围：
根据二次根式被开方数非负的要求，可得：
$\begin{cases}998-x≥0 \\m-1≥0 \\1-m≥0 \end{cases}$，解得$x≤998$，$m=1$。
2. 求x的值：
因为$x≤998$，所以$x-1000＜0$，则$|x-1000|=1000-x$，且$(\sqrt{998-x})^2=998-x$，代入原等式得：
$1000-x + 998 -x =2000$
化简得：$1998-2x=2000$
移项计算得：$-2x=2$，即$x=-1$。
3. 求y的值：
将$m=1$代入y的表达式得：
$y=\sqrt{1+8}+\sqrt{1-1}+\sqrt{1-1}=3+0+0=3$。
4. 求$y-x$的平方根：
$y-x=3-(-1)=4$，因为$(±2)^2=4$，所以4的平方根为$±2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的化简；平方根的定义
【点评】
本题重点考察二次根式隐含条件的应用，解题关键是先通过被开方数非负确定未知数的取值范围，再对含绝对值、二次根式的式子化简求解，最后求平方根时要注意区分平方根和算术平方根，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7
解题突破口是二次根式有意义的隐含条件（被开方数为非负数）。首先观察含x的等式，其中$\sqrt{998-x}$有意义，可得$998-x≥0$，即$x≤998$，据此可去掉$|x-1000|$的绝对值符号，再结合$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$化简方程即可求出x的值；再观察含y的式子，$\sqrt{m-1}$和$\sqrt{1-m}$同时有意义，可得$m-1≥0$且$1-m≥0$，即可求出m的值，代入得到y的值；最后计算$y-x$，根据平方根的定义求结果即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
【解析】
1. 确定未知数取值范围：
根据二次根式被开方数非负的要求，可得：
$\begin{cases}998-x≥0 \\m-1≥0 \\1-m≥0 \end{cases}$，解得$x≤998$，$m=1$。
2. 求x的值：
因为$x≤998$，所以$x-1000＜0$，则$|x-1000|=1000-x$，且$(\sqrt{998-x})^2=998-x$，代入原等式得：
$1000-x + 998 -x =2000$
化简得：$1998-2x=2000$
移项计算得：$-2x=2$，即$x=-1$。
3. 求y的值：
将$m=1$代入y的表达式得：
$y=\sqrt{1+8}+\sqrt{1-1}+\sqrt{1-1}=3+0+0=3$。
4. 求$y-x$的平方根：
$y-x=3-(-1)=4$，因为$(±2)^2=4$，所以4的平方根为$±2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；绝对值的化简；平方根的定义
【点评】
本题重点考察二次根式隐含条件的应用，解题关键是先通过被开方数非负确定未知数的取值范围，再对含绝对值、二次根式的式子化简求解，最后求平方根时要注意区分平方根和算术平方根，避免漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7
二、二次根式的乘法与除法
1. 下列运算正确的是 （
A.$\sqrt{4+9}=2+3$
B.$\sqrt{4×9}=2×3$
C.$\sqrt{9^4}=3^2$
D.$\sqrt{4.9}=0.7$
1. 下列运算正确的是 （
B
）A.$\sqrt{4+9}=2+3$
B.$\sqrt{4×9}=2×3$
C.$\sqrt{9^4}=3^2$
D.$\sqrt{4.9}=0.7$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关运算，解题时需先回忆二次根式的运算法则和性质，再逐一验证每个选项的运算是否符合规则即可。解题思路为：先明确二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，注意根号下的加法不能直接拆分运算，再分别计算每个选项左右两边的结果，对比是否相等即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：左边$\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$，右边$2+3=5$，$\sqrt{13}≠5$，运算错误；
B选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{4×9}=\sqrt{4}×\sqrt{9}=2×3$，左右两边相等，运算正确；
C选项：左边$\sqrt{9^4}=\sqrt{(9^2)^2}=9^2=81$，右边$3^2=9$，$81≠9$，运算错误；
D选项：$0.7^2=0.49≠4.9$，因此$\sqrt{4.9}≠0.7$，运算错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法法则；二次根式的性质；算术平方根运算
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是区分二次根式加法和乘法的运算规则，切记根号下的加法不能直接拆分为两个根式的和，只有乘法满足拆分运算的规则，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的相关运算，解题时需先回忆二次根式的运算法则和性质，再逐一验证每个选项的运算是否符合规则即可。解题思路为：先明确二次根式乘法法则$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，注意根号下的加法不能直接拆分运算，再分别计算每个选项左右两边的结果，对比是否相等即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：左边$\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$，右边$2+3=5$，$\sqrt{13}≠5$，运算错误；
B选项：根据二次根式乘法法则，$\sqrt{4×9}=\sqrt{4}×\sqrt{9}=2×3$，左右两边相等，运算正确；
C选项：左边$\sqrt{9^4}=\sqrt{(9^2)^2}=9^2=81$，右边$3^2=9$，$81≠9$，运算错误；
D选项：$0.7^2=0.49≠4.9$，因此$\sqrt{4.9}≠0.7$，运算错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法法则；二次根式的性质；算术平方根运算
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是区分二次根式加法和乘法的运算规则，切记根号下的加法不能直接拆分为两个根式的和，只有乘法满足拆分运算的规则，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 下列运算正确的是 （
A.$\sqrt{2} · \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$9\sqrt{3} × \sqrt{\dfrac{1}{27}} = \sqrt{3}$
C.$\sqrt{6} × \sqrt{2} = 12$
D.$\sqrt{24} · \sqrt{\dfrac{3}{2}} = 6$
D
）A.$\sqrt{2} · \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$9\sqrt{3} × \sqrt{\dfrac{1}{27}} = \sqrt{3}$
C.$\sqrt{6} × \sqrt{2} = 12$
D.$\sqrt{24} · \sqrt{\dfrac{3}{2}} = 6$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题核心是熟练掌握二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），解题时只需逐一计算每个选项的运算结果，将计算结果与选项给出的结果对比，即可判断对错。
【解析】
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{2} · \sqrt{3} = \sqrt{2 × 3} = \sqrt{6} ≠ \sqrt{5}$，运算错误；
选项B：$9\sqrt{3} × \sqrt{\dfrac{1}{27}} = 9 × \sqrt{3 × \dfrac{1}{27}} = 9 × \sqrt{\dfrac{1}{9}} = 9 × \dfrac{1}{3} = 3 ≠ \sqrt{3}$，运算错误；
选项C：$\sqrt{6} × \sqrt{2} = \sqrt{6 × 2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ≠ 12$，运算错误；
选项D：$\sqrt{24} · \sqrt{\dfrac{3}{2}} = \sqrt{24 × \dfrac{3}{2}} = \sqrt{36} = 6$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法运算，二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式乘法法则的应用能力，计算时注意将系数和被开方数分别运算，最终结果要化为最简形式，细心计算即可避免出错。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的乘法运算，解题核心是熟练掌握二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），解题时只需逐一计算每个选项的运算结果，将计算结果与选项给出的结果对比，即可判断对错。
【解析】
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{2} · \sqrt{3} = \sqrt{2 × 3} = \sqrt{6} ≠ \sqrt{5}$，运算错误；
选项B：$9\sqrt{3} × \sqrt{\dfrac{1}{27}} = 9 × \sqrt{3 × \dfrac{1}{27}} = 9 × \sqrt{\dfrac{1}{9}} = 9 × \dfrac{1}{3} = 3 ≠ \sqrt{3}$，运算错误；
选项C：$\sqrt{6} × \sqrt{2} = \sqrt{6 × 2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ≠ 12$，运算错误；
选项D：$\sqrt{24} · \sqrt{\dfrac{3}{2}} = \sqrt{24 × \dfrac{3}{2}} = \sqrt{36} = 6$，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法运算，二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查对二次根式乘法法则的应用能力，计算时注意将系数和被开方数分别运算，最终结果要化为最简形式，细心计算即可避免出错。
【难度系数】
0.8
3. 若一个直角三角形两条直角边的边长分别为$\sqrt{15}\ \mathrm{cm}$和$\sqrt{12}\ \mathrm{cm}$，则此直角三角形的斜边长是（
A.$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
B.$3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C.$9\ \mathrm{cm}$
D.$27\ \mathrm{cm}$
B
）A.$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
B.$3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C.$9\ \mathrm{cm}$
D.$27\ \mathrm{cm}$
答案
3.B
解析
【分析】
本题是求直角三角形的斜边长，解题核心是运用勾股定理。首先回忆勾股定理内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。我们可以先将两条直角边的长度代入公式求出斜边的平方，再对结果开平方，最后化简二次根式得到斜边长度，匹配对应选项即可。
【解析】
设该直角三角形的斜边长为$c$，两条直角边分别为$a=\sqrt{15}\mathrm{cm}$，$b=\sqrt{12}\mathrm{cm}$。
根据勾股定理可得：
$c^2=a^2+b^2$
代入数值计算：
$c^2=(\sqrt{15})^2 + (\sqrt{12})^2 = 15 + 12 = 27$
边长为正数，因此取算术平方根：
$c=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\mathrm{cm}$
因此斜边长为$3\sqrt{3}\mathrm{cm}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理在直角三角形边长计算中的应用，同时涉及二次根式的简单化简运算，熟练掌握勾股定理内容和二次根式化简方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题是求直角三角形的斜边长，解题核心是运用勾股定理。首先回忆勾股定理内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。我们可以先将两条直角边的长度代入公式求出斜边的平方，再对结果开平方，最后化简二次根式得到斜边长度，匹配对应选项即可。
【解析】
设该直角三角形的斜边长为$c$，两条直角边分别为$a=\sqrt{15}\mathrm{cm}$，$b=\sqrt{12}\mathrm{cm}$。
根据勾股定理可得：
$c^2=a^2+b^2$
代入数值计算：
$c^2=(\sqrt{15})^2 + (\sqrt{12})^2 = 15 + 12 = 27$
边长为正数，因此取算术平方根：
$c=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\mathrm{cm}$
因此斜边长为$3\sqrt{3}\mathrm{cm}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；二次根式化简
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理在直角三角形边长计算中的应用，同时涉及二次根式的简单化简运算，熟练掌握勾股定理内容和二次根式化简方法即可快速作答。
【难度系数】
0.8
4. 计算：$2^{-1}+\sqrt{20}÷\sqrt{5}=$ ______.
答案
4.$\dfrac{5}{2}$
解析
【分析】
本题属于实数混合运算题，解题思路是按照先算乘除、后算加减的顺序分步计算：首先回忆负整数指数幂的运算法则计算$2^{-1}$，再根据二次根式的除法法则计算$\sqrt{20}÷\sqrt{5}$，最后将两个结果相加即可得到最终答案。
【解析】
解：按照实数混合运算顺序分步计算：
1. 计算负整数指数幂：根据运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$；
2. 计算二次根式除法：根据运算法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），可得$\sqrt{20}÷\sqrt{5}=\sqrt{20÷5}=\sqrt{4}=2$；
3. 求和得到结果：$\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$。
即原式$=\frac{1}{2}+\sqrt{20÷5}=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
负整数指数幂运算；二次根式除法运算；实数混合运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查对负整数指数幂、二次根式除法两个运算法则的掌握程度，运算量小，只要牢记法则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题属于实数混合运算题，解题思路是按照先算乘除、后算加减的顺序分步计算：首先回忆负整数指数幂的运算法则计算$2^{-1}$，再根据二次根式的除法法则计算$\sqrt{20}÷\sqrt{5}$，最后将两个结果相加即可得到最终答案。
【解析】
解：按照实数混合运算顺序分步计算：
1. 计算负整数指数幂：根据运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$；
2. 计算二次根式除法：根据运算法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），可得$\sqrt{20}÷\sqrt{5}=\sqrt{20÷5}=\sqrt{4}=2$；
3. 求和得到结果：$\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$。
即原式$=\frac{1}{2}+\sqrt{20÷5}=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
负整数指数幂运算；二次根式除法运算；实数混合运算
【点评】
本题是基础运算类题目，核心考查对负整数指数幂、二次根式除法两个运算法则的掌握程度，运算量小，只要牢记法则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
5. 化简$\sqrt{24} × \sqrt{\dfrac{1}{3}} - 4 × \sqrt{\dfrac{1}{8}} × (1 - \sqrt{2})^0$的结果是$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
5.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
这道题属于二次根式的混合运算，解题时需遵循实数运算顺序：先算乘方（即零指数幂运算），再算二次根式的乘法运算，最后算减法。需用到的核心知识点：①非零数的零次幂等于1；②二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a≥0,b≥0)$；③最终结果要化为最简二次根式。解题步骤为：先计算零指数幂，再分别计算两处二次根式的乘法并化简，最后合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
解：按照运算顺序逐步计算：
1. 计算零指数幂：
$\because 1-\sqrt{2} ≠ 0$，$\therefore (1-\sqrt{2})^0 = 1$
2. 计算第一部分二次根式乘法：
$\sqrt{24} × \sqrt{\dfrac{1}{3}} = \sqrt{24 × \dfrac{1}{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
3. 计算第二部分乘法：
$4 × \sqrt{\dfrac{1}{8}} × (1-\sqrt{2})^0 = 4 × \dfrac{\sqrt{2}}{4} × 1 = \sqrt{2}$
4. 计算最终减法：
原式$= 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的运算，零指数幂的性质，二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算题，重点考察二次根式运算规则和零指数幂的性质，运算时要先明确运算顺序，再逐步计算，二次根式的结果需化为最简形式，注意避免计算细节失误。
【难度系数】
0.8
这道题属于二次根式的混合运算，解题时需遵循实数运算顺序：先算乘方（即零指数幂运算），再算二次根式的乘法运算，最后算减法。需用到的核心知识点：①非零数的零次幂等于1；②二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a≥0,b≥0)$；③最终结果要化为最简二次根式。解题步骤为：先计算零指数幂，再分别计算两处二次根式的乘法并化简，最后合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
解：按照运算顺序逐步计算：
1. 计算零指数幂：
$\because 1-\sqrt{2} ≠ 0$，$\therefore (1-\sqrt{2})^0 = 1$
2. 计算第一部分二次根式乘法：
$\sqrt{24} × \sqrt{\dfrac{1}{3}} = \sqrt{24 × \dfrac{1}{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
3. 计算第二部分乘法：
$4 × \sqrt{\dfrac{1}{8}} × (1-\sqrt{2})^0 = 4 × \dfrac{\sqrt{2}}{4} × 1 = \sqrt{2}$
4. 计算最终减法：
原式$= 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的运算，零指数幂的性质，二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算题，重点考察二次根式运算规则和零指数幂的性质，运算时要先明确运算顺序，再逐步计算，二次根式的结果需化为最简形式，注意避免计算细节失误。
【难度系数】
0.8
6. 计算:
(1)$2\sqrt{8}÷\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{18}$;
(2)$(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})$;
(3)$(\dfrac{1}{2})^{-2}-\sqrt{24}×\sqrt{6}$.
(1)$2\sqrt{8}÷\sqrt{\dfrac{1}{2}}×\sqrt{18}$;
(2)$(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})$;
(3)$(\dfrac{1}{2})^{-2}-\sqrt{24}×\sqrt{6}$.
答案
6.(1)原式$=4\sqrt{2}÷\dfrac{1}{\sqrt{2}}×3\sqrt{2}=8×3\sqrt{2}=24\sqrt{2}.$
(2)原式$=(\sqrt{10})^2-(\sqrt{7})^2=10-7=3.$
(3)原式$=4-2\sqrt{6}×\sqrt{6}=4-12=-8.$
(2)原式$=(\sqrt{10})^2-(\sqrt{7})^2=10-7=3.$
(3)原式$=4-2\sqrt{6}×\sqrt{6}=4-12=-8.$
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题思路如下：
(1) 二次根式的乘除属于同级运算，先将每个二次根式化为最简二次根式，再按照从左到右的顺序依次计算即可；
(2) 观察算式结构符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，直接套用平方差公式计算，可简化运算步骤；
(3) 按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，先分别计算负整数指数幂和二次根式的乘法，再计算减法即可。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$2\sqrt{8}=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{2}÷\dfrac{1}{\sqrt{2}}×3\sqrt{2}\\&=4\sqrt{2}×\sqrt{2}×3\sqrt{2}\\&=8×3\sqrt{2}\\&=24\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 利用平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{10})^2-(\sqrt{7})^2\\&=10-7\\&=3\end{aligned}$
(3) 先计算负整数指数幂和二次根式乘法：
$(\dfrac{1}{2})^{-2}=\dfrac{1}{(\dfrac{1}{2})^2}=4$，$\sqrt{24}×\sqrt{6}=\sqrt{24×6}=\sqrt{144}=12$
$\begin{aligned}原式&=4-12\\&=-8\end{aligned}$
【答案】
(1) $24\sqrt{2}$；(2) $3$；(3) $-8$
【知识点】
二次根式乘除运算，平方差公式，负整数指数幂运算
【点评】
本题是二次根式混合运算的基础题型，主要考查相关运算法则和公式的应用能力，运算时注意遵循运算顺序，细心化简就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的混合运算，解题思路如下：
(1) 二次根式的乘除属于同级运算，先将每个二次根式化为最简二次根式，再按照从左到右的顺序依次计算即可；
(2) 观察算式结构符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，直接套用平方差公式计算，可简化运算步骤；
(3) 按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，先分别计算负整数指数幂和二次根式的乘法，再计算减法即可。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$2\sqrt{8}=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
$\begin{aligned}原式&=4\sqrt{2}÷\dfrac{1}{\sqrt{2}}×3\sqrt{2}\\&=4\sqrt{2}×\sqrt{2}×3\sqrt{2}\\&=8×3\sqrt{2}\\&=24\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 利用平方差公式计算：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{10})^2-(\sqrt{7})^2\\&=10-7\\&=3\end{aligned}$
(3) 先计算负整数指数幂和二次根式乘法：
$(\dfrac{1}{2})^{-2}=\dfrac{1}{(\dfrac{1}{2})^2}=4$，$\sqrt{24}×\sqrt{6}=\sqrt{24×6}=\sqrt{144}=12$
$\begin{aligned}原式&=4-12\\&=-8\end{aligned}$
【答案】
(1) $24\sqrt{2}$；(2) $3$；(3) $-8$
【知识点】
二次根式乘除运算，平方差公式，负整数指数幂运算
【点评】
本题是二次根式混合运算的基础题型，主要考查相关运算法则和公式的应用能力，运算时注意遵循运算顺序，细心化简就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
