4. 在括号内填入适当的整式：$(2a+b)(\_\_\_\_\_\_)=b^2-4a^2.$

4. $b-2a$

【分析】
解题时首先观察等式右侧的代数式$b^2-4a^2$，其结构符合平方差公式的展开形式，因此可以先逆用平方差公式对右侧进行因式分解，再将分解结果和左侧已知的因式$(2a+b)$对比，即可得到括号内应填的整式。
【解析】
根据平方差公式：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，对等式右侧因式分解：
$b^2-4a^2 = b^2 - (2a)^2 = (b + 2a)(b - 2a)$
又因为加法交换律可得$2a+b = b+2a$，对比左侧$(2a+b)×(\_\_\_\_\_\_) = b^2-4a^2$，可知括号内应填的整式为$b-2a$。
【答案】
$b-2a$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查平方差公式的逆用，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，准确识别两个平方项对应的底数，属于基础考点，掌握公式结构即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5. 计算：$2020^2 - 2019 × 2021 =$ .

5. 1

【分析】
观察算式中的数字特征，2019和2021分别是2020相邻的两个数，可转化为2020-1和2020+1的形式，此时乘积2019×2021符合平方差公式的结构，利用平方差公式展开计算即可简化运算，不需要直接计算大数乘积。
【解析】
解：$\begin{aligned}原式&=2020^2 - (2020-1)×(2020+1)\\&=2020^2 - (2020^2 - 1^2) \quad \mathrm{（利用平方差公式：}(a-b)(a+b)=a^2-b^2\mathrm{）}\\&=2020^2 - 2020^2 + 1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
平方差公式，有理数简便运算
【点评】
本题是乘法公式的基础应用题型，解题关键是识别出相邻数字的和差特征，灵活套用平方差公式简化运算，规避大数直接相乘的计算失误。
【难度系数】
0.8

6. 先化简，再求值.
$(5x+2y)(5x-2y)-(3x+2y)^2$，其中$x=-1$，$y=\frac{1}{3}$.

6. 化简结果为$16x^2-12xy-8y^2$，代入$x=-1$，$y=\frac{1}{3}$得值为$19\frac{1}{9}$

【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步化简，观察式子结构，$(5x+2y)(5x-2y)$符合平方差公式的形式，$(3x+2y)^2$符合完全平方和公式的形式，先分别用两个乘法公式展开，再去括号、合并同类项得到最简整式；第二步代值计算，将x、y的取值代入最简式，按照有理数运算规则计算出最终结果即可。注意去括号时，如果括号前是负号，括号内每一项都要变号，避免符号错误。
【解析】
解：先利用乘法公式展开：
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得：
$(5x+2y)(5x-2y)=(5x)^2-(2y)^2=25x^2-4y^2$
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得：
$(3x+2y)^2=(3x)^2+2·3x·2y+(2y)^2=9x^2+12xy+4y^2$
代入原式去括号合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=25x^2-4y^2-(9x^2+12xy+4y^2)\\&=25x^2-4y^2-9x^2-12xy-4y^2\\&=16x^2-12xy-8y^2\end{aligned}$
再代入$x=-1$，$y=\frac{1}{3}$计算：
$\begin{aligned}原式&=16×(-1)^2 -12×(-1)×\frac{1}{3} -8×(\frac{1}{3})^2\\&=16×1 + 12×\frac{1}{3} -8×\frac{1}{9}\\&=16 +4 - \frac{8}{9}\\&=20-\frac{8}{9}\\&=19\frac{1}{9}\end{aligned}$
【答案】
化简结果为$16x^2-12xy-8y^2$，值为$19\frac{1}{9}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活应用，解题时要先识别式子对应的公式结构，能简化计算过程，需格外注意去括号的符号变化以及代入数值后的运算顺序，避免低级错误。
【难度系数】
0.7

7. 若等式$x^2 + ax + 19 = (x - 5)^2 - b$成立，则$a + b$的值为（）

A.16
B.$-16$
C.4
D.$-4$

7. D

【分析】
要解决这道题，首先利用完全平方公式将等式右侧的$(x-5)^2$展开，把右侧整理成和左侧结构一致的二次三项式，再根据两个整式恒等时，对应次数的项的系数、常数项分别相等的性质，求出a和b的值，最后计算$a+b$即可。
【解析】
首先展开等式右侧的完全平方：
根据完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，得$(x-5)^2=x^2-10x+25$
因此等式右侧可整理为：
$(x-5)^2 - b = x^2 -10x +25 - b$
已知$x^2 + ax +19 = (x-5)^2 - b$，即左右两边的整式恒等，所以对应项系数相等：
一次项系数：$a = -10$
常数项：$19 = 25 - b$，解得$b = 25 - 19 = 6$
因此$a + b = -10 + 6 = -4$
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；整式恒等变形；代数式求值
【点评】
本题重点考查完全平方公式的掌握和整式恒等性质的应用，解题的核心是正确展开完全平方式，找准对应项的等量关系，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8

8. 计算$(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$的结果是（）

A.$x^{16}-y^{16}$
B.$x^8-y^8$
C.$x^7-y^7$
D.$x^6-y^6$

8. B

【分析】
本题可通过观察式子结构，发现每两个因式相乘都符合平方差公式的特征，因此可以依次运用平方差公式逐步化简计算，最终得到结果。平方差公式为$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，我们从左到右依次两两结合计算即可。
【解析】
我们分步利用平方差公式计算：
1. 先计算前两个因式的乘积：
$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$，此时原式变为$(x^2-y^2)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$；
2. 再计算前两个新因式的乘积：
$(x^2-y^2)(x^2+y^2)=(x^2)^2-(y^2)^2=x^4-y^4$，此时原式变为$(x^4-y^4)(x^4+y^4)$；
3. 最后计算剩余两个因式的乘积：
$(x^4-y^4)(x^4+y^4)=(x^4)^2-(y^4)^2=x^8-y^8$。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、幂的乘方运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的连续运用，解题的核心是准确识别平方差公式的结构特征，逐步计算即可，注意幂的乘方运算时底数不变、指数相乘，避免指数计算错误。
【难度系数】
0.8

9. (1) 已知$(x+y)^2=25$，$(x-y)^2=9$，求$xy$和$x^2+y^2$的值.
(2) 若$a^2+b^2=15$，$(a-b)^2=3$，求$ab$和$(a+b)^2$的值.

9. (1) $\because (x+y)^2=25$，$(x-y)^2=9$，
$\therefore x^2+2xy+y^2=25$，①
$x^2-2xy+y^2=9$，②
$\therefore ①+②$，得$2(x^2+y^2)=34$，
$\therefore x^2+y^2=17$，$\therefore 17+2xy=25$，
$\therefore xy=4.$
(2) $\because (a-b)^2=3$，
$\therefore a^2-2ab+b^2=3.$
又$\because a^2+b^2=15$，$\therefore 15-2ab=3$，
$\therefore -2ab=-12$，$\therefore ab=6.$
又$\because a^2+b^2=15$，
$\therefore a^2+2ab+b^2=15+12$，
即$(a+b)^2=27.$

【分析】
这两道题均围绕完全平方公式的变形应用展开，解题思路如下：遇到已知两数和的平方、差的平方的条件时，先将两个完全平方式展开，再通过两个展开式的加减运算消去不需要的项，即可求出目标代数式。第(1)问中，两个展开式相加可消去xy，先求出x²+y²的值，再代入展开式就能求出xy；第(2)问先展开(a-b)²，代入已知的a²+b²的值求出ab，再代入(a+b)²的展开式即可求解。
【解析】
(1) $\because (x+y)^2=25$，$(x-y)^2=9$，
$\therefore x^2+2xy+y^2=25$，①
$x^2-2xy+y^2=9$，②
$\therefore ①+②$，得$2(x^2+y^2)=34$，
$\therefore x^2+y^2=17$，
将$x^2+y^2=17$代入①，得$17+2xy=25$，
$\therefore xy=4$。
(2) $\because (a-b)^2=3$，
$\therefore a^2-2ab+b^2=3$，
又$\because a^2+b^2=15$，
$\therefore 15-2ab=3$，
$\therefore -2ab=-12$，
$\therefore ab=6$，
又$\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
代入$a^2+b^2=15$、$ab=6$得：
$(a+b)^2=15+2×6=27$。
【答案】
(1) $xy=4$，$x^2+y^2=17$；(2) $ab=6$，$(a+b)^2=27$
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，整式恒等变形
【点评】
本题是乘法公式应用的基础常考题，重点考查完全平方公式的变形能力，只要熟练掌握和的平方、差的平方的展开式结构，灵活运用加减消元的方法就能快速解题。
【难度系数】
0.8

10. 甲、乙两个长方形的边长如图所示（$m$为正整数），其面积分别为$S_1$，$S_2$.
（1）请比较$S_1$和$S_2$的大小.
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，求该正方形的面积（用含$m$的代数式表示）.

10. (1) $S_1=(m+1)(m+5)=m^2+6m+5$，$S_2=(m+2)(m+4)=m^2+6m+8$，
$\because S_1-S_2=m^2+6m+5-(m^2+6m+8)=-3＜0$，$\therefore S_1＜S_2$。即甲的面积小于乙的面积；
(2) 甲乙两个长方形的周长和为：$2(m+1+m+5+m+4+m+2)=8m+24$，正方形的边长为：$(8m+24)÷4=2m+6$。该正方形的面积为：$(2m+6)^2=4m^2+24m+36.$

【分析】
（1）要比较两个长方形面积的大小，首先根据长方形面积公式分别求出$S_1$和$S_2$的代数式，再用作差法计算$S_1-S_2$的结果，根据结果的正负即可判断大小：若差为负，则被减数更小；若差为正，则被减数更大。
（2）先根据长方形周长公式分别计算甲、乙的周长，求和得到正方形的周长，再用周长除以4得到正方形的边长，最后根据正方形面积公式结合完全平方公式计算面积即可。
【解析】
（1）计算两个长方形的面积：
$S_1=(m+1)(m+5)=m^2+5m+m+5=m^2+6m+5$，
$S_2=(m+2)(m+4)=m^2+4m+2m+8=m^2+6m+8$，
作差比较：
$S_1-S_2=(m^2+6m+5)-(m^2+6m+8)=-3＜0$，
因此$S_1＜S_2$。
（2）计算两个长方形的周长之和：
甲的周长：$2[(m+1)+(m+5)]=2(2m+6)=4m+12$，
乙的周长：$2[(m+2)+(m+4)]=2(2m+6)=4m+12$，
周长和为：$4m+12+4m+12=8m+24$，
正方形的边长为：$(8m+24)÷4=2m+6$，
正方形的面积为：$(2m+6)^2=4m^2+24m+36$。
【答案】
(1) $S_1＜S_2$；
(2) $4m^2+24m+36$
【知识点】
多项式乘多项式，作差法比较大小，完全平方公式
【点评】
本题是整式运算与几何图形的结合题型，解题关键是熟练掌握长方形、正方形的周长和面积公式，灵活运用整式运算法则计算，作差法是比较代数式大小的常用方法，整体难度较低，掌握基础运算规则即可完成解答。
【难度系数】
0.8