联想拓展
我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例. 如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了$(a+b)^n$（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律. 例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$展开式中的系数等.

（1）根据上面的规律，写出$(a+b)^5$的展开式.
（2）利用上面的规律计算：$2^5 -5×2^4 +10×2^3 -10×2^2 +5×2 -1$.

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（1）如图，则$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5.$
（2）$2^5-5×2^4+10×2^3-10×2^2+5×2-1=2^5+5×2^4×(-1)+10×2^3×(-1)^2+10×2^2×(-1)^3+5×2×(-1)^4+(-1)^5=(2-1)^5=1.$

【分析】
（1）要写出$(a+b)^5$的展开式，首先利用杨辉三角的构造规律：每行首尾都是1，中间每个数等于它上方左右两个数的和。已知$(a+b)^n$对应的展开式系数就是杨辉三角第$n+1$行的数，先推算出$n=5$对应的行的系数，再按a的次数从高到低、b的次数从低到高排列即可得到展开式。
（2）观察所求式子的系数绝对值：1、5、10、10、5、1，正好和$(a+b)^5$的系数一致，且符号正负交替，说明原式是将$(a+b)^5$中的$a$替换为2、$b$替换为-1得到的，代入公式即可简化计算，无需硬算。
【解析】
（1）根据杨辉三角的规律，我们依次推导各行系数：
对应$n=1$的系数：1、1
对应$n=2$的系数：1、2、1
对应$n=3$的系数：1、3、3、1
对应$n=4$的系数：1、4、6、4、1
那么对应$n=5$的系数，由上一行相邻两数相加可得：1、$1+4=5$、$4+6=10$、$6+4=10$、$4+1=5$、1
按照a降幂、b升幂的规则写出展开式：
$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$
（2）先把原式变形，将减号转化为加负数的乘方形式：
$2^5 -5×2^4 +10×2^3 -10×2^2 +5×2 -1$
$=2^5 + 5×2^4×(-1) + 10×2^3×(-1)^2 + 10×2^2×(-1)^3 + 5×2×(-1)^4 + (-1)^5$
对比$(a+b)^5$的展开式，可知该式是$a=2$、$b=-1$时的展开式，因此：
原式$=(2 + (-1))^5=(2-1)^5=1^5=1$
【答案】

（1）$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$
（2）$\boxed{1}$
【知识点】
杨辉三角规律，多项式乘方，代数式巧算
【点评】
本题结合我国古代优秀数学成果“杨辉三角”命题，既考查了学生观察、归纳规律的能力，也考查了规律的迁移应用能力，第二问需要学生灵活匹配式子和乘方展开式的对应关系，能有效锻炼学生的逻辑思维和变通意识。
【难度系数】
0.7