10. 如图 13-17, ∠AOB=90°, 点 C,D 分别在射线 OA,OB 上,CE 是∠ACD 的平分线,CE 的反向延长线与∠CDO 的平分线交于点 F.

图 13-17
(1)当∠OCD=50°时(如图 13-17①),试求∠F 的度数.
(2)当 C,D 在射线 OA,OB 上任意移动时(不与点 O 重合,如图 13-17②),∠F 的度数是否变化? 若变化,请说明理由;若不变化,求出∠F 的度数.

10.(1)
∵ ∠O+∠CDO=∠ACD,
∴ ∠ACD-∠CDO=∠O.
∵ CE,DF分别是∠ACD,∠CDO的平分线,
∴ ∠ECD=1/2∠ACD,∠CDF=1/2∠CDO.
∵ ∠F+∠CDF=∠ECD,
∴ ∠F=∠ECD-∠CDF=1/2∠ACD-1/2∠CDO=1/2(∠ACD-∠CDO)=1/2∠O=1/2×90°=45°.
(2)不变化.与(1)同理,∠F=1/2∠O=1/2×90°=45°.

【分析】
解题可按以下思路推导：(1)先利用三角形外角的性质，得到△OCD的外角∠ACD与内角∠O、∠CDO的关系；再结合角平分线的定义，分别表示出∠ECD和∠CDF；最后再次利用三角形外角的性质，找到∠F与∠ECD、∠CDF的关系，代入计算即可得到∠F的度数。(2)观察(1)的推导过程，整个推导没有用到∠OCD的具体数值，仅用到了固定的∠O=90°，因此可直接判断∠F的度数是否变化，沿用(1)的逻辑推导即可得到结论。
【解析】
(1)
∵ 在△OCD中，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即∠O+∠CDO=∠ACD，
∴ ∠ACD - ∠CDO = ∠O = 90°。
∵ CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，
∴ ∠ECD = $\frac{1}{2}$∠ACD，∠CDF = $\frac{1}{2}$∠CDO。
在△FCD中，根据三角形外角性质可得∠F + ∠CDF = ∠ECD，
∴ ∠F = ∠ECD - ∠CDF = $\frac{1}{2}$∠ACD - $\frac{1}{2}$∠CDO = $\frac{1}{2}$(∠ACD - ∠CDO) = $\frac{1}{2}$∠O = $\frac{1}{2}$×90° = 45°。
(2) ∠F的度数不变化。理由：由(1)的推导可知，∠F = $\frac{1}{2}$∠O的数量关系与∠OCD的度数无关，因此无论C、D如何在射线OA、OB上移动（不与点O重合），都有∠F = $\frac{1}{2}$×90° = 45°。
【答案】
(1) ∠F的度数为45°；(2) ∠F的度数不变化，始终为45°。
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于角度动态探究类问题，解题核心是抓住推导过程中不变的数量关系，将角平分线的性质和三角形外角性质结合即可快速得到结论，能有效锻炼逻辑推理和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.7

四、综合应用
1. 用六根长度相等的火柴棒搭等边三角形,最多搭成 ()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

1.C

【分析】
解题时我们可以分两种情况思考：首先考虑平面内搭建的情况，等边三角形每条边长度等于1根火柴的长度，搭建1个等边三角形需要3根火柴，若要搭建多个，要尽可能共用边节省火柴，平面内每多搭1个等边三角形至少要多用2根火柴，计算可知6根火柴在平面内最多只能搭2个等边三角形，还剩1根火柴无法利用。接下来我们要打破平面思维的限制，考虑空间搭建的情况：正四面体（三棱锥）的6条棱长度相等，且4个面都是全等的等边三角形，刚好可以用6根等长火柴作为棱搭建，得到的等边三角形数量更多，对比即可得出最大值。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 平面搭建：搭建第1个等边三角形需要3根火柴，之后每新增1个等边三角形，至少需要和已有三角形共用1条边，因此新增1个需要额外2根火柴。6根火柴减去搭建第一个用的3根后还剩3根，最多只能再新增1个等边三角形，即平面内最多搭2个等边三角形，剩余1根火柴无法使用。
2. 空间搭建：搭建正四面体（三棱锥），正四面体共有6条棱，且所有棱长相等，4个面均为全等的等边三角形，刚好可用6根等长火柴作为棱搭建，此时可得到4个等边三角形。
对比两种情况，最多能搭成4个等边三角形，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的特征，立体图形构造，图形拼接
【点评】
本题容易受思维定式影响仅考虑平面拼接的情况，解题时要发散思维，兼顾平面和空间两种构造方式，才能找到最优解。
【难度系数】
0.3

2. 把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段(这些线段不在多边形内部相交)划分为若干个三角形,叫作“多边形的三角剖分”. 如图 13-18 所示,凸四边形ABCD有两种剖分方法:20世纪,数学家乌尔班发现并证明了下面的公式:$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}$($D_n$表示凸$n$边形的三角剖分数).
请你用上面的公式$D_6=$.

2.14

【分析】
解题首先要理解给出的递推公式的含义，题目已经告知凸四边形（n=4）的三角剖分数$D_4=2$，我们只需要依次将n=4、n=5代入递推公式$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}$，逐步计算出$D_5$、$D_6$即可。每一步代入对应n值求出比值后，乘前一个n对应的剖分数就能得到下一个剖分数。
【解析】
已知凸四边形的三角剖分数$D_4=2$，根据递推公式$\frac{D_{n+1}}{D_n}=\frac{4n-6}{n}$：
1. 计算$D_5$：当$n=4$时，$\frac{D_5}{D_4}=\frac{4×4 -6}{4}=\frac{16-6}{4}=\frac{5}{2}$，则$D_5=\frac{5}{2}× D_4=\frac{5}{2}×2=5$；
2. 计算$D_6$：当$n=5$时，$\frac{D_6}{D_5}=\frac{4×5 -6}{5}=\frac{20-6}{5}=\frac{14}{5}$，则$D_6=\frac{14}{5}× D_5=\frac{14}{5}×5=14$。
【答案】
14
【知识点】
递推计算、有理数运算、新定义理解
【点评】
本题属于新定义类计算题，核心是正确理解递推公式的对应关系，代入对应数值逐步计算即可，计算过程中注意分数乘法的约分，能简化运算提高正确率。
【难度系数】
0.7