6. 在$△ ABC$中，$AD$为边$BC$上的高，$∠ ABC = 30°$，$∠ CAD = 20°$，则$∠ BAC$是度.

6.80或40

【分析】
本题未明确△ABC的形状，BC边上的高AD可能在三角形内部，也可能在三角形外部，需分两种情况讨论求解。首先根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，再结合∠CAD的度数，分别计算两种情况下∠BAC的度数即可。
【解析】
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，∠ABC=30°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠BAD=90°-∠ABC=90°-30°=60°。
分两种情况讨论：
①当高AD在△ABC内部时：
∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°；
②当高AD在△ABC外部时（此时∠ACB为钝角，点D在BC的延长线上）：
∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40°。
综上，∠BAC的度数为80或40度。
【答案】
80或40
【知识点】
直角三角形的性质；三角形高的定义；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略高在三角形外部的情况，导致漏解。解题时要结合三角形高的特征，全面考虑所有可能的位置情况，避免思维定式。
【难度系数】
0.6

7. 如图 13-14, $∠A=70°, ∠B=26°$, $∠C=20°$, 则 $∠BDC$ 的度数为________.

7.116° 提示:延长BD交AC于点H,
则∠AHB=180°-(∠A+∠B)=180°-96°=84°.
又
∵ ∠C=20°,
∴ ∠CDH=84°-20°=64°,
∴ ∠BDC=180°-∠CDH=116°.

【分析】
本题要求∠BDC的度数，仅依靠已知条件无法直接求解，因此需要通过作辅助线构造关联的三角形，将已知角和未知角建立联系。我们可以延长BD交AC于点H，先利用三角形内角和定理求出△ABH中∠AHB的度数，再结合三角形外角的性质求出∠HDC的度数，最后根据邻补角的性质即可算出∠BDC的度数。
【解析】
解：延长BD交AC于点H。
在△ABH中，三角形内角和为180°，因此：
$∠ AHB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 70° - 26° = 84°$
$∠ AHB$是$△ CDH$的外角，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”，可得：
$∠ AHB = ∠ C + ∠ HDC$
因此$∠ HDC = ∠ AHB - ∠ C = 84° - 20° = 64°$
又因为$∠ BDC$与$∠ HDC$互为邻补角，和为$180°$，所以：
$∠ BDC = 180° - ∠ HDC = 180° - 64° = 116°$
【答案】
$116°$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；邻补角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，解题核心是合理作出辅助线，将分散的已知角和未知角放到有联系的三角形中，结合三角形内角和、外角性质进行推导计算，掌握常用的辅助线作法可以有效提升解题效率。
【难度系数】
0.6

8. 如图 13-15, 在 $△ ABC$ 中, $BE ⊥ AC$ 于点 $E, AF$ 是 $∠ CAB$ 的平分线, 交 $BE$ 于点 $F, ∠ C=78°, ∠ CBA=38°$, 求 $∠ AFB$ 的度数.

图13-15

8.
∵ ∠C=78°,∠CBA=38°,
∴ ∠CAB=180°-∠C-∠CBA=180°-78°-38°=64°.
∵ AF是∠CAB的平分线,
∴ ∠EAF=∠FAB=1/2∠CAB=32°.
∵ BE⊥AC,
∴ ∠AEB=90°.
∴ ∠AFB=∠EAF+∠AEB=32°+90°=122°.

【分析】
要求∠AFB的度数，可按以下步骤思考：首先利用三角形内角和为180°，结合已知△ABC的两个内角度数，先求出∠CAB的度数；再根据角平分线的定义，求出∠EAF的度数；最后观察图形可知∠AFB是△AEF的外角，结合BE⊥AC得到∠AEB=90°，利用三角形外角的性质即可计算出∠AFB的度数。
【解析】
解：在△ABC中，
∵ ∠C=78°，∠CBA=38°，
∴ ∠CAB=180°-∠C-∠CBA=180°-78°-38°=64°。
∵ AF是∠CAB的平分线，
∴ ∠EAF=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$×64°=32°。
∵ BE⊥AC，
∴ ∠AEB=90°。
∵ ∠AFB是△AEF的外角，
∴ ∠AFB=∠EAF+∠AEB=32°+90°=122°。
【答案】
122°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形性质的基础综合题，解题关键是先求出∠CAB的度数，再结合角平分线的性质和三角形外角的性质求解，解题时要注意梳理图形中角的位置关系。
【难度系数】
0.8

9. 如图13-16,已知点O是△ABC的两条角平分线的交点.
(1)若∠A=30°,则∠BOC的度数是.
(2)若∠A=60°,则∠BOC的度数是.
(3)若∠A=n°,则∠BOC的度数是多少?试用学过的知识说明理由.

图13-16

9.(1)105° (2)120°
(3)∠BOC=1/2 n°+90°.
理由如下:在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°.在△BOC中,∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°.
∵ BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,
∴ ∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB.
∴ ∠BOC+1/2∠ABC+1/2∠ACB=180°.
又
∵ 在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴ 1/2∠ABC+1/2∠ACB=90°-1/2∠A.
∴ ∠BOC=1/2∠A+90°.
∴ 若∠A=n°,则∠BOC=1/2 n°+90°.

【分析】
解题时我们按照如下思路推导：首先明确O是△ABC两条角平分线的交点，可得BO平分∠ABC、CO平分∠ACB，可利用角平分线的定义得到角的倍分关系；其次结合三角形内角和为180°的性质，先在△ABC中求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分线的倍分关系得到△BOC中两个底角的和，最后在△BOC中利用内角和定理求出∠BOC的度数，从特殊角度的计算可推广得到一般角度的通用结论。
【解析】
(1) 当∠A=30°时：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 30° = 150°$。
∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$，
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2} × 150° = 75°$。
在△BOC中，$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 75° = 105°$。
(2) 当∠A=60°时：
同理可得$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 60° = 120°$，
$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2} × 120° = 60°$，
$∠ BOC = 180° - 60° = 120°$。
(3) 当∠A=n°时：
在△ABC中，$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，即$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - n°$。
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$，
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}(180° - n°) = 90° - \frac{1}{2}n°$。
在△BOC中，$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - (90° - \frac{1}{2}n°) = 90° + \frac{1}{2}n°$。
【答案】
(1) $105°$；(2) $120°$；(3) $∠ BOC = \frac{1}{2}n° + 90°$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内角和与角平分线定义的综合应用题，推导得到的三角形两个内角平分线的夹角与第三个内角的数量关系是常考结论，熟练掌握该结论可快速解决同类型角度计算问题。
【难度系数】
0.7