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10. 已知 $a,b,c$ 为 $△ ABC$ 的三边长，且 $b,c$ 满足 $\sqrt{b-5}+(c-7)^2 = 0$，$a$ 为方程 $|a-3|=2$ 的解，求 $△ ABC$ 的周长.
答案
10.
∵ √(b-5)+(c-7)² = 0, √(b-5) ≥ 0, (c-7)²≥0,
∴ √(b-5)=(c-7)²=0.
∴ b-5=0,c-7=0.
解得b=5,c=7.
∵ a为方程|a-3|=2的解,
∴ a=5或a=1.
当a=1,b=5,c=7时,1+5＜7,
此时不能组成三角形,故a=1不合题意;
当a=5,b=5时,c=7,5+5＞7,
此时能组成三角形,符合题意.
∴ △ABC的周长=5+5+7=17.
∵ √(b-5)+(c-7)² = 0, √(b-5) ≥ 0, (c-7)²≥0,
∴ √(b-5)=(c-7)²=0.
∴ b-5=0,c-7=0.
解得b=5,c=7.
∵ a为方程|a-3|=2的解,
∴ a=5或a=1.
当a=1,b=5,c=7时,1+5＜7,
此时不能组成三角形,故a=1不合题意;
当a=5,b=5时,c=7,5+5＞7,
此时能组成三角形,符合题意.
∴ △ABC的周长=5+5+7=17.
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式，根号和平方数都具有非负性，两个非负数相加和为0，说明每个非负数都为0，由此先求出b和c的值；接下来解绝对值方程得到a的两个可能取值；最后需要根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断哪个a值符合构成三角形的要求，舍去不符合的取值，再把三边长度相加即可得到三角形周长。
【解析】
∵ $\sqrt{b-5}+(c-7)^2 = 0$，且$\sqrt{b-5} ≥ 0$，$(c-7)^2≥0$，
∴ $\sqrt{b-5}=0$，$(c-7)^2=0$，
∴ $b-5=0$，$c-7=0$，解得$b=5$，$c=7$。
∵ $a$为方程$|a-3|=2$的解，
∴ $a-3=2$或$a-3=-2$，解得$a=5$或$a=1$。
根据三角形三边关系判断：
当$a=1$时，三边长为1、5、7，$\because1+5=6＜7$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，故舍去；
当$a=5$时，三边长为5、5、7，$\because5+5=10＞7$，满足三边关系，可构成三角形。
∴ $△ ABC$的周长为$5+5+7=17$。
【答案】
17
【知识点】
非负数的性质；绝对值方程求解；三角形三边关系
【点评】
本题是三角形边长相关的综合题，解题的关键是牢记非负性的结论以及三角形三边的限制条件，易错点是求出a的两个取值后，忽略验证能否构成三角形，导致得到错误的周长结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知等式，根号和平方数都具有非负性，两个非负数相加和为0，说明每个非负数都为0，由此先求出b和c的值；接下来解绝对值方程得到a的两个可能取值；最后需要根据三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断哪个a值符合构成三角形的要求，舍去不符合的取值，再把三边长度相加即可得到三角形周长。
【解析】
∵ $\sqrt{b-5}+(c-7)^2 = 0$，且$\sqrt{b-5} ≥ 0$，$(c-7)^2≥0$，
∴ $\sqrt{b-5}=0$，$(c-7)^2=0$，
∴ $b-5=0$，$c-7=0$，解得$b=5$，$c=7$。
∵ $a$为方程$|a-3|=2$的解，
∴ $a-3=2$或$a-3=-2$，解得$a=5$或$a=1$。
根据三角形三边关系判断：
当$a=1$时，三边长为1、5、7，$\because1+5=6＜7$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，故舍去；
当$a=5$时，三边长为5、5、7，$\because5+5=10＞7$，满足三边关系，可构成三角形。
∴ $△ ABC$的周长为$5+5+7=17$。
【答案】
17
【知识点】
非负数的性质；绝对值方程求解；三角形三边关系
【点评】
本题是三角形边长相关的综合题，解题的关键是牢记非负性的结论以及三角形三边的限制条件，易错点是求出a的两个取值后，忽略验证能否构成三角形，导致得到错误的周长结果。
【难度系数】
0.7
三、三角形的内角与外角
1. 一副三角板有两个三角形,按如图13-10所示的方式叠放在一起,则$∠α$的度数是 （
A.$120°$
B.$135°$
C.$150°$
D.$165°$
1. 一副三角板有两个三角形,按如图13-10所示的方式叠放在一起,则$∠α$的度数是 （
D
）A.$120°$
B.$135°$
C.$150°$
D.$165°$
答案
1.D
解析
【分析】
首先明确一副三角板的固定角度：含30°角的三角板角度为30°、60°、90°，等腰直角三角板角度为45°、45°、90°。解题时先观察图形中角的位置关系，发现45°角是下方含30°角的小三角形的外角，利用三角形外角的性质求出小三角形中与∠α相邻的内角的度数，再结合平角为180°的性质，即可算出∠α的度数。
【解析】
设下方小三角形中与∠α相邻的内角为∠1。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠1 + 30° = 45°$
解得$∠1 = 45° - 30° = 15°$
因为∠α与∠1组成平角，即$∠α + ∠1 = 180°$，所以：
$∠α = 180° - 15° = 165°$
【答案】
D
【知识点】
三角形外角性质，平角的定义
【点评】
本题结合三角板叠放的场景考查角度计算，解题关键是熟悉三角板的固定角度，准确识别图形中外角与内角的位置关系，只要找准角的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先明确一副三角板的固定角度：含30°角的三角板角度为30°、60°、90°，等腰直角三角板角度为45°、45°、90°。解题时先观察图形中角的位置关系，发现45°角是下方含30°角的小三角形的外角，利用三角形外角的性质求出小三角形中与∠α相邻的内角的度数，再结合平角为180°的性质，即可算出∠α的度数。
【解析】
设下方小三角形中与∠α相邻的内角为∠1。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠1 + 30° = 45°$
解得$∠1 = 45° - 30° = 15°$
因为∠α与∠1组成平角，即$∠α + ∠1 = 180°$，所以：
$∠α = 180° - 15° = 165°$
【答案】
D
【知识点】
三角形外角性质，平角的定义
【点评】
本题结合三角板叠放的场景考查角度计算，解题关键是熟悉三角板的固定角度，准确识别图形中外角与内角的位置关系，只要找准角的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图13-11，$△ ABC$为直角三角形，$∠ C=90°$，若沿图中虚线剪去$∠ C$，则$∠ 1+∠ 2$等于（
图13-11
A.$90°$
B.$135°$
C.$150°$
D.$270°$
D
）图13-11
A.$90°$
B.$135°$
C.$150°$
D.$270°$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先观察图形，剪去∠C后原三角形剩余部分为四边形ABDE。第一步先利用三角形内角和定理，求出∠A与∠B的度数和；第二步回忆四边形内角和为360°，用四边形内角和减去∠A和∠B的和，即可求出∠1+∠2的数值。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ C = 180° - 90° = 90°$
沿虚线剪去∠C后，剩余图形是四边形ABDE，根据多边形内角和公式，四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$，即：
$∠ A + ∠ B + ∠ 1 + ∠ 2 = 360°$
将$∠ A + ∠ B=90°$代入上式可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 360° - (∠ A + ∠ B) = 360° - 90° = 270°$
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；四边形内角和；多边形内角和公式
【点评】
本题是三角形与多边形内角和的综合基础题，解题的核心是明确剪去角后得到的图形形状，结合已知角的关系推导未知角的和，熟练掌握多边形内角和公式是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，剪去∠C后原三角形剩余部分为四边形ABDE。第一步先利用三角形内角和定理，求出∠A与∠B的度数和；第二步回忆四边形内角和为360°，用四边形内角和减去∠A和∠B的和，即可求出∠1+∠2的数值。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ C = 180° - 90° = 90°$
沿虚线剪去∠C后，剩余图形是四边形ABDE，根据多边形内角和公式，四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$，即：
$∠ A + ∠ B + ∠ 1 + ∠ 2 = 360°$
将$∠ A + ∠ B=90°$代入上式可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 360° - (∠ A + ∠ B) = 360° - 90° = 270°$
因此本题选D选项。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；四边形内角和；多边形内角和公式
【点评】
本题是三角形与多边形内角和的综合基础题，解题的核心是明确剪去角后得到的图形形状，结合已知角的关系推导未知角的和，熟练掌握多边形内角和公式是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 满足下列条件的$△ ABC$中,不是直角三角形的是 (
A.$∠ C - ∠ A = ∠ B$
B.$∠ A: ∠ B: ∠ C = 2:3:5$
C.$∠ A = ∠ B = 3∠ C$
D.一个外角等于和它相邻的一个内角
C
)A.$∠ C - ∠ A = ∠ B$
B.$∠ A: ∠ B: ∠ C = 2:3:5$
C.$∠ A = ∠ B = 3∠ C$
D.一个外角等于和它相邻的一个内角
答案
3.C
解析
【分析】
要判断三角形是否为直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°，且直角三角形有一个内角等于90°。解题时逐个分析每个选项，结合内角和定理计算各角的度数，验证是否存在90°的内角即可。涉及外角的选项，可利用邻补角和为180°的性质判断。
【解析】
根据三角形内角和定理：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐一分析选项：
选项A：已知$∠ C - ∠ A = ∠ B$，移项得$∠ C = ∠ A + ∠ B$，代入内角和公式得$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，是直角三角形，不符合题意。
选项B：设$∠ A=2x$，$∠ B=3x$，$∠ C=5x$，则$2x+3x+5x=180°$，解得$x=18°$，最大角$∠ C=5×18°=90°$，是直角三角形，不符合题意。
选项C：设$∠ C=x$，则$∠ A=∠ B=3x$，代入内角和公式得$3x+3x+x=180°$，解得$x=\frac{180°}{7}\approx25.7°$，三个角均小于90°，不是直角三角形，符合题意。
选项D：外角与相邻内角是邻补角，和为$180°$，若二者相等，则该内角为$180°÷2=90°$，是直角三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对三角形内角和定理的运用，解题时通过设未知数计算各角度数的方法清晰直观，熟练掌握该方法可快速判断三角形的形状。
【难度系数】
0.8
要判断三角形是否为直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°，且直角三角形有一个内角等于90°。解题时逐个分析每个选项，结合内角和定理计算各角的度数，验证是否存在90°的内角即可。涉及外角的选项，可利用邻补角和为180°的性质判断。
【解析】
根据三角形内角和定理：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐一分析选项：
选项A：已知$∠ C - ∠ A = ∠ B$，移项得$∠ C = ∠ A + ∠ B$，代入内角和公式得$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，是直角三角形，不符合题意。
选项B：设$∠ A=2x$，$∠ B=3x$，$∠ C=5x$，则$2x+3x+5x=180°$，解得$x=18°$，最大角$∠ C=5×18°=90°$，是直角三角形，不符合题意。
选项C：设$∠ C=x$，则$∠ A=∠ B=3x$，代入内角和公式得$3x+3x+x=180°$，解得$x=\frac{180°}{7}\approx25.7°$，三个角均小于90°，不是直角三角形，符合题意。
选项D：外角与相邻内角是邻补角，和为$180°$，若二者相等，则该内角为$180°÷2=90°$，是直角三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定；邻补角的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对三角形内角和定理的运用，解题时通过设未知数计算各角度数的方法清晰直观，熟练掌握该方法可快速判断三角形的形状。
【难度系数】
0.8
4. 在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AD$是$BC$边上的高，$E$是$BC$的中点，连接$AE$，则图13-12中的直角三角形共有（
图13-12
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
）图13-12
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
4.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆直角三角形的判定标准：有一个内角是90°的三角形就是直角三角形。解题时先从已知条件中找出所有的直角，再逐一对应每个直角所属的三角形，计数时注意不要漏数也不要多数。首先已知∠BAC=90°，对应一个直角三角形；其次AD是BC边上的高，说明AD垂直BC，因此D点处AD和BC形成的角都是90°，再分别看这些直角分别属于哪些独立的三角形即可。
【解析】
根据直角三角形的定义（有一个角为直角的三角形是直角三角形），逐一计数：
1. 已知$∠ BAC=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形；
2. AD是BC边上的高，因此$AD⊥ BC$，可得$∠ ADB=∠ ADE=∠ ADC=90°$：
$∠ ADB=90°$，因此$△ ABD$是直角三角形；
$∠ ADE=90°$，因此$△ ADE$是直角三角形；
$∠ ADC=90°$，因此$△ ADC$是直角三角形。
综上，图中共有4个直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的定义；三角形的高的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形的识别，解题的核心是先定位图中所有的直角，再对应所属三角形计数，避免漏数或多数没有直角的三角形。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆直角三角形的判定标准：有一个内角是90°的三角形就是直角三角形。解题时先从已知条件中找出所有的直角，再逐一对应每个直角所属的三角形，计数时注意不要漏数也不要多数。首先已知∠BAC=90°，对应一个直角三角形；其次AD是BC边上的高，说明AD垂直BC，因此D点处AD和BC形成的角都是90°，再分别看这些直角分别属于哪些独立的三角形即可。
【解析】
根据直角三角形的定义（有一个角为直角的三角形是直角三角形），逐一计数：
1. 已知$∠ BAC=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形；
2. AD是BC边上的高，因此$AD⊥ BC$，可得$∠ ADB=∠ ADE=∠ ADC=90°$：
$∠ ADB=90°$，因此$△ ABD$是直角三角形；
$∠ ADE=90°$，因此$△ ADE$是直角三角形；
$∠ ADC=90°$，因此$△ ADC$是直角三角形。
综上，图中共有4个直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的定义；三角形的高的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形的识别，解题的核心是先定位图中所有的直角，再对应所属三角形计数，避免漏数或多数没有直角的三角形。
【难度系数】
0.8
5. 如图13-13,在$△ ABC$中,$∠ BCD=30°$,$∠ ACB=80°$,$CD$是边$AB$上的高,$AE$是$∠ CAB$的平分线,则$∠ AEB$的度数是________.
图13-13
图13-13
答案
5.100°
解析
【分析】
解题可按以下步骤思考：①先利用三角形高的性质得到Rt△BCD中∠CDB=90°，结合已知∠BCD=30°，用三角形内角和求出∠B的度数；②在△ABC中，已知∠ACB和已求的∠B，再次用三角形内角和求出∠CAB的度数；③根据角平分线的定义，求出∠EAB的度数；④最后在△AEB中，用三角形内角和即可算出∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDB=90°，
在△BCD中，∠B=180°-∠CDB-∠BCD=180°-90°-30°=60°，
在△ABC中，∠CAB=180°-∠ACB-∠B=180°-80°-60°=40°，
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
在△AEB中，∠AEB=180°-∠EAB-∠B=180°-20°-60°=100°。
【答案】
100°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形高的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，需要熟练运用三角形的相关性质逐步推导角度关系，计算时注意角度加减不要出错，理清各角的所属三角形即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题可按以下步骤思考：①先利用三角形高的性质得到Rt△BCD中∠CDB=90°，结合已知∠BCD=30°，用三角形内角和求出∠B的度数；②在△ABC中，已知∠ACB和已求的∠B，再次用三角形内角和求出∠CAB的度数；③根据角平分线的定义，求出∠EAB的度数；④最后在△AEB中，用三角形内角和即可算出∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDB=90°，
在△BCD中，∠B=180°-∠CDB-∠BCD=180°-90°-30°=60°，
在△ABC中，∠CAB=180°-∠ACB-∠B=180°-80°-60°=40°，
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
在△AEB中，∠AEB=180°-∠EAB-∠B=180°-20°-60°=100°。
【答案】
100°
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形高的定义
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，需要熟练运用三角形的相关性质逐步推导角度关系，计算时注意角度加减不要出错，理清各角的所属三角形即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
