3. 如图 13 - 19, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ ACB=90°, ∠ A = 40°, △ ABC$ 的外角 $∠ CBD$ 的平分线 $BE$ 交 $AC$ 的延长线于点 $E$.
(1)求 $∠ CBE$ 的度数;
(2)过点 $D$ 作 $DF // BE$, 交 $AC$ 的延长线于点 $F$, 求 $∠ F$ 的度数.

图13-19

3.(1)
∵ 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,
∴ ∠ABC=90°-∠A=50°.
∴ ∠CBD=130°.
∵ BE是∠CBD的平分线,
∴ ∠CBE=1/2∠CBD=65°.
(2)
∵ ∠ACB=90°,∠CBE=65°,
∴ ∠CEB=90°-65°=25°.
∵ DF//BE,
∴ ∠F=∠CEB=25°.

【分析】
(1) 求∠CBE的度数时，首先利用直角三角形两锐角互余的性质算出∠ABC的度数，再根据邻补角和为180°得到外角∠CBD的度数，最后结合角平分线的定义，即可求出∠CBE的大小。
(2) 求∠F的度数时，首先在Rt△BCE中，利用直角三角形两锐角互余算出∠CEB的度数，再根据平行线同位角相等的性质，即可得到∠F与∠CEB相等，从而求出∠F的度数。
【解析】
(1)
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=40°$，
∴ $∠ ABC=90°-∠ A=90°-40°=50°$，
∵ $∠ CBD$与$∠ ABC$互为邻补角，
∴ $∠ CBD=180°-∠ ABC=180°-50°=130°$，
∵ $BE$是$∠ CBD$的平分线，
∴ $∠ CBE=\frac{1}{2}∠ CBD=\frac{1}{2}×130°=65°$。
(2)
∵ $∠ ACB=90°$，$∠ ACB+∠ ECB=180°$，
∴ $∠ ECB=90°$，即$△ BCE$为直角三角形，
∴ $∠ CEB=90°-∠ CBE=90°-65°=25°$，
∵ $DF// BE$，
∴ $∠ F=∠ CEB=25°$（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{65°}$；(2) $\boldsymbol{25°}$
【知识点】
直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的性质
【点评】
本题属于三角形与平行线的基础综合题，解题核心是理清角之间的和差、位置关系，按逻辑逐步推导即可，侧重考查基础性质的应用。
【难度系数】
0.7

4. 如图13-20,在$△ ABC$中,BE是角平分线,点D在边AB上(不与点A,B重合),CD与BE交于点O.

图13-20
(1)若CD是中线,$BC=3$,$AC=2$,则$△ BCD$与$△ ACD$的周长差为________;
(2)若CD是高,$∠ ABC = 62°$,求$∠ BOC$的度数;
(3)若CD是角平分线,$∠ A = 78°$,求$∠ BOC$的度数.

4.(1)1
(2)
∵ BE是∠ABC的平分线,∠ABC=62°,
∴ ∠ABE=1/2∠ABC=1/2×62°=31°.
∵ CD是△ABC的高,
∴ ∠CDB=90°.
∴ ∠BOC=∠CDB+∠ABE=90°+31°=121°.
(3)在△ABC中,∠A=78°,
∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=102°.
∵ BE是∠ABC的平分线,CD是∠ACB的平分线,
∴ ∠OBC=1/2∠ABC,∠OCB=1/2∠ACB.
∴ ∠OBC+∠OCB=1/2(∠ABC+∠ACB)=1/2×102°=51°.
∴ ∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-51°=129°.

【分析】
(1) 求两个三角形的周长差时，先分别列出两个三角形的周长组成：△BCD的周长为BC+BD+CD，△ACD的周长为AC+AD+CD。因为CD是公共边，且CD是中线可得AD=BD，因此周长差可简化为BC与AC的差，代入数值计算即可。
(2) 求∠BOC的度数时，可观察到∠BOC是△BDO的外角，等于不相邻的两个内角∠BDC与∠DBO的和。先利用角平分线的性质求出∠DBO的度数，再结合CD是高得到∠BDC=90°，二者相加即可得到结果。
(3) 求∠BOC的度数时，先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ABC+∠ACB的和，再结合BE、CD是角平分线，得到∠OBC与∠OCB的和是∠ABC+∠ACB和的一半，最后在△BOC中再次运用内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
(1)
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=BD。
△BCD的周长为$BC+BD+CD$，△ACD的周长为$AC+AD+CD$，
二者周长差为：$(BC+BD+CD)-(AC+AD+CD)=BC-AC=3-2=1$。
(2)
∵BE是∠ABC的平分线，$∠ ABC=62°$，
∴$∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×62°=31°$。
∵CD是△ABC的高，
∴$∠ CDB=90°$。
∵∠BOC是△BDO的外角，
∴$∠ BOC=∠ CDB+∠ ABE=90°+31°=121°$。
(3) 在△ABC中，$∠ A=78°$，
∴$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-78°=102°$。
∵BE是∠ABC的平分线，CD是∠ACB的平分线，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×102°=51°$。
在△BOC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-51°=129°$。
【答案】
(1)1；(2)$121°$；(3)$129°$
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形内角和定理
【点评】
本题围绕三角形的中线、高、角平分线三类重要线段设置问题，基础且有一定综合性，既考查了周长的计算，也考查了角度的推导，解题关键是熟练掌握相关线段的性质，理清角与边之间的数量关系。
【难度系数】
0.7