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21. （14 分）如图，点 $ E $，$ F $，$ G $ 分别在直线 $ CD $，$ AB $，$ AD $ 上，$ BE $ 交 $ AD $ 于点 $ H $。已知 $ ∠ GAF = ∠ HDE $，$ ∠ CEB = ∠ BFG $。
（1）$ FG $ 与 $ BE $ 平行吗？为什么？
（2）若 $ ∠ DHE = 105^{\circ} $，求 $ ∠ FGD $ 的度数。
（1）$ FG $ 与 $ BE $ 平行吗？为什么？
（2）若 $ ∠ DHE = 105^{\circ} $，求 $ ∠ FGD $ 的度数。
答案
21. 解：(1)$ FG // BE $。理由如下：
因为 $ ∠ GAF = ∠ HDE $，所以 $ AB // CD $，
所以 $ ∠ CEB + ∠ FBE = 180^{\circ} $。
因为 $ ∠ CEB = ∠ BFG $，
所以 $ ∠ BFG + ∠ FBE = 180^{\circ} $，所以 $ FG // BE $。
(2)由(1)知，$ FG // BE $，
所以 $ ∠ BHG + ∠ FGD = 180^{\circ} $。
因为 $ ∠ DHE = 105^{\circ} $，
所以 $ ∠ BHG = ∠ DHE = 105^{\circ} $，
所以 $ ∠ FGD = 180^{\circ} - ∠ BHG = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ} $。
因为 $ ∠ GAF = ∠ HDE $，所以 $ AB // CD $，
所以 $ ∠ CEB + ∠ FBE = 180^{\circ} $。
因为 $ ∠ CEB = ∠ BFG $，
所以 $ ∠ BFG + ∠ FBE = 180^{\circ} $，所以 $ FG // BE $。
(2)由(1)知，$ FG // BE $，
所以 $ ∠ BHG + ∠ FGD = 180^{\circ} $。
因为 $ ∠ DHE = 105^{\circ} $，
所以 $ ∠ BHG = ∠ DHE = 105^{\circ} $，
所以 $ ∠ FGD = 180^{\circ} - ∠ BHG = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ} $。
解析
【分析】
要判断FG与BE是否平行，需利用平行线的判定定理，先通过已知角相等推出AB//CD，再结合角的等量代换得到同旁内角互补，从而判定FG//BE；求∠FGD的度数时，利用平行线的性质和对顶角相等即可计算。
【解析】
(1) $FG // BE$，理由如下：
$\because ∠GAF = ∠HDE$，
$\therefore AB // CD$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠CEB + ∠FBE = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又$\because ∠CEB = ∠BFG$，
$\therefore ∠BFG + ∠FBE = 180°$，
$\therefore FG // BE$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 由(1)知$FG // BE$，
$\therefore ∠BHG + ∠FGD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because ∠DHE = 105°$，且$∠BHG = ∠DHE$（对顶角相等），
$\therefore ∠BHG = 105°$，
$\therefore ∠FGD = 180° - ∠BHG = 180° - 105° = 75°$。
【答案】
(1) $FG // BE$，理由见解析；(2) $75°$
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、对顶角相等
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，解题核心是熟练运用平行线的判定定理和性质定理，结合角的等量关系推导，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6
要判断FG与BE是否平行，需利用平行线的判定定理，先通过已知角相等推出AB//CD，再结合角的等量代换得到同旁内角互补，从而判定FG//BE；求∠FGD的度数时，利用平行线的性质和对顶角相等即可计算。
【解析】
(1) $FG // BE$，理由如下：
$\because ∠GAF = ∠HDE$，
$\therefore AB // CD$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠CEB + ∠FBE = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又$\because ∠CEB = ∠BFG$，
$\therefore ∠BFG + ∠FBE = 180°$，
$\therefore FG // BE$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 由(1)知$FG // BE$，
$\therefore ∠BHG + ∠FGD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because ∠DHE = 105°$，且$∠BHG = ∠DHE$（对顶角相等），
$\therefore ∠BHG = 105°$，
$\therefore ∠FGD = 180° - ∠BHG = 180° - 105° = 75°$。
【答案】
(1) $FG // BE$，理由见解析；(2) $75°$
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、对顶角相等
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，解题核心是熟练运用平行线的判定定理和性质定理，结合角的等量关系推导，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6
22. （14 分）某商店用 $ 70000 $ 元购进 $ A $，$ B $ 两种商品共 $ 600 $ 件。这两种商品的进价与标价见下表：
（1）分别求购进 $ A $，$ B $ 两种商品的数量。
（2）该商店为了促销，决定推出优惠活动：$ A $ 种商品在标价的基础上打八折，$ B $ 种商品在标价的基础上也打折。当这 $ 600 $ 件商品全部销售完时，该商店获得的利润为 $ 19200 $ 元，求 $ B $ 种商品在标价的基础上打几折。
（1）分别求购进 $ A $，$ B $ 两种商品的数量。
（2）该商店为了促销，决定推出优惠活动：$ A $ 种商品在标价的基础上打八折，$ B $ 种商品在标价的基础上也打折。当这 $ 600 $ 件商品全部销售完时，该商店获得的利润为 $ 19200 $ 元，求 $ B $ 种商品在标价的基础上打几折。
答案
22. 解：(1)设购进 $ A $ 种商品 $ x $ 件，则购进 $ B $ 种商品 $ (600 - x) $ 件。
根据题意，得 $ 150x + 100(600 - x) = 70000 $。
解这个方程，得 $ x = 200 $。
$ 600 - x = 600 - 200 = 400 $。
因此，购进 $ A $ 种商品 $ 200 $ 件，购进 $ B $ 种商品 $ 400$ 件。
(2)设 $ B $ 种商品在标价的基础上打 $ y $ 折。
根据题意，得 $ 220 × \dfrac{8}{10} × 200 + 150 × \dfrac{y}{10} × 400 - 70000 = 19200 $。
解这个方程，得 $ y = 9 $。
因此，$ B $ 种商品在标价的基础上打九折。
根据题意，得 $ 150x + 100(600 - x) = 70000 $。
解这个方程，得 $ x = 200 $。
$ 600 - x = 600 - 200 = 400 $。
因此，购进 $ A $ 种商品 $ 200 $ 件，购进 $ B $ 种商品 $ 400$ 件。
(2)设 $ B $ 种商品在标价的基础上打 $ y $ 折。
根据题意，得 $ 220 × \dfrac{8}{10} × 200 + 150 × \dfrac{y}{10} × 400 - 70000 = 19200 $。
解这个方程，得 $ y = 9 $。
因此，$ B $ 种商品在标价的基础上打九折。
解析
【分析】
本题是商品利润相关的方程应用题，分两小问求解。第（1）问利用“购进A、B两种商品总进价为70000元”的等量关系，设未知数后列一元一次方程，即可求出两种商品的购进数量；第（2）问利用“总利润=总售价-总进价”的等量关系，结合A、B的折扣情况，设B的折扣为未知数，列方程求解即可。
【解析】
(1) 设购进A种商品$ x $件，则购进B种商品$ (600 - x) $件。
根据总进价为70000元，列方程：
$ 150x + 100(600 - x) = 70000 $
展开并整理得：$ 50x = 10000 $
解得：$ x = 200 $
则B种商品数量为：$ 600 - 200 = 400 $（件）
(2) 设B种商品在标价的基础上打$ y $折。
根据总利润为19200元，列方程：
$ 220 × \dfrac{8}{10} × 200 + 150 × \dfrac{y}{10} × 400 - 70000 = 19200 $
计算并整理得：$ 6000y = 54000 $
解得：$ y = 9 $
【答案】
(1) 购进A种商品200件，购进B种商品400件；
(2) B种商品在标价的基础上打九折。
【知识点】
一元一次方程应用、利润折扣问题
【点评】
本题为典型的商品销售类方程应用题，通过设未知数建立等量关系求解，考查学生对一元一次方程在实际问题中的应用能力，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是商品利润相关的方程应用题，分两小问求解。第（1）问利用“购进A、B两种商品总进价为70000元”的等量关系，设未知数后列一元一次方程，即可求出两种商品的购进数量；第（2）问利用“总利润=总售价-总进价”的等量关系，结合A、B的折扣情况，设B的折扣为未知数，列方程求解即可。
【解析】
(1) 设购进A种商品$ x $件，则购进B种商品$ (600 - x) $件。
根据总进价为70000元，列方程：
$ 150x + 100(600 - x) = 70000 $
展开并整理得：$ 50x = 10000 $
解得：$ x = 200 $
则B种商品数量为：$ 600 - 200 = 400 $（件）
(2) 设B种商品在标价的基础上打$ y $折。
根据总利润为19200元，列方程：
$ 220 × \dfrac{8}{10} × 200 + 150 × \dfrac{y}{10} × 400 - 70000 = 19200 $
计算并整理得：$ 6000y = 54000 $
解得：$ y = 9 $
【答案】
(1) 购进A种商品200件，购进B种商品400件；
(2) B种商品在标价的基础上打九折。
【知识点】
一元一次方程应用、利润折扣问题
【点评】
本题为典型的商品销售类方程应用题，通过设未知数建立等量关系求解，考查学生对一元一次方程在实际问题中的应用能力，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
