登录
18. （11 分）如图，已知点 $ O $ 为直线 $ AB $ 上的一点，$ ∠ AOC = 50^{\circ} $，$ ∠ DOE = 90^{\circ} $，$ OD $ 平分 $ ∠ AOC $。
（1）求 $ ∠ BOD $ 的度数；
（2）判断 $ OE $ 是否平分 $ ∠ BOC $，并说明理由。
（1）求 $ ∠ BOD $ 的度数；
（2）判断 $ OE $ 是否平分 $ ∠ BOC $，并说明理由。
答案
18. 解：(1)因为 $ ∠ AOC = 50^{\circ} $，$ OD $ 平分 $ ∠ AOC $，
所以 $ ∠ AOD = \dfrac{1}{2}∠ AOC = \dfrac{1}{2} × 50^{\circ} = 25^{\circ} $。
所以 $ ∠ BOD = 180^{\circ} - ∠ AOD = 180^{\circ} - 25^{\circ} = 155^{\circ} $。
(2)$ OE $ 平分 $ ∠ BOC $。理由如下：
因为 $ ∠ AOC = 50^{\circ} $，
所以 $ ∠ BOC = 180^{\circ} - ∠ AOC = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ} $。
因为 $ ∠ AOD = 25^{\circ} $，$ ∠ DOE = 90^{\circ} $，
所以 $ ∠ BOE = 180^{\circ} - ∠ AOD - ∠ DOE = 180^{\circ} - 25^{\circ} - 90^{\circ} = 65^{\circ} $，
所以 $ ∠ BOE = \dfrac{1}{2}∠ BOC $，所以 $ OE $ 平分 $ ∠ BOC $。
所以 $ ∠ AOD = \dfrac{1}{2}∠ AOC = \dfrac{1}{2} × 50^{\circ} = 25^{\circ} $。
所以 $ ∠ BOD = 180^{\circ} - ∠ AOD = 180^{\circ} - 25^{\circ} = 155^{\circ} $。
(2)$ OE $ 平分 $ ∠ BOC $。理由如下：
因为 $ ∠ AOC = 50^{\circ} $，
所以 $ ∠ BOC = 180^{\circ} - ∠ AOC = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ} $。
因为 $ ∠ AOD = 25^{\circ} $，$ ∠ DOE = 90^{\circ} $，
所以 $ ∠ BOE = 180^{\circ} - ∠ AOD - ∠ DOE = 180^{\circ} - 25^{\circ} - 90^{\circ} = 65^{\circ} $，
所以 $ ∠ BOE = \dfrac{1}{2}∠ BOC $，所以 $ OE $ 平分 $ ∠ BOC $。
解析
【分析】
要解决本题，需利用角平分线的定义、平角的性质，结合角的和差关系计算角度。第一问先通过角平分线求出∠AOD，再用平角180°减去∠AOD得到∠BOD；第二问先算出∠BOC，再通过角的和差求出∠BOE和∠EOC，比较两者是否相等，判断OE是否平分∠BOC。
【解析】
(1) 因为OD平分∠AOC，∠AOC=50°，根据角平分线的定义，得：
∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×50° = 25°。
又因为点O在直线AB上，∠AOB=180°，所以：
∠BOD = 180° - ∠AOD = 180° - 25° = 155°。
(2) OE平分∠BOC，理由如下：
因为∠AOC=50°，所以∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 50° = 130°。
已知∠DOE=90°，∠AOD=25°，所以：
∠BOE = 180° - ∠AOD - ∠DOE = 180° - 25° - 90° = 65°。
又因为∠COD=∠AOD=25°，所以∠EOC = ∠DOE - ∠COD = 90° - 25° = 65°。
因此∠BOE=∠EOC=65°，即OE平分∠BOC。
【答案】
(1) ∠BOD的度数为155°；(2) OE平分∠BOC。
【知识点】
角平分线定义，平角性质，角的和差计算
【点评】
本题考查角平分线的应用与角度计算，属于基础题型，解题关键是熟练运用角平分线的性质和平角的度数，难度较低，适合学生巩固基础。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需利用角平分线的定义、平角的性质，结合角的和差关系计算角度。第一问先通过角平分线求出∠AOD，再用平角180°减去∠AOD得到∠BOD；第二问先算出∠BOC，再通过角的和差求出∠BOE和∠EOC，比较两者是否相等，判断OE是否平分∠BOC。
【解析】
(1) 因为OD平分∠AOC，∠AOC=50°，根据角平分线的定义，得：
∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×50° = 25°。
又因为点O在直线AB上，∠AOB=180°，所以：
∠BOD = 180° - ∠AOD = 180° - 25° = 155°。
(2) OE平分∠BOC，理由如下：
因为∠AOC=50°，所以∠BOC = 180° - ∠AOC = 180° - 50° = 130°。
已知∠DOE=90°，∠AOD=25°，所以：
∠BOE = 180° - ∠AOD - ∠DOE = 180° - 25° - 90° = 65°。
又因为∠COD=∠AOD=25°，所以∠EOC = ∠DOE - ∠COD = 90° - 25° = 65°。
因此∠BOE=∠EOC=65°，即OE平分∠BOC。
【答案】
(1) ∠BOD的度数为155°；(2) OE平分∠BOC。
【知识点】
角平分线定义，平角性质，角的和差计算
【点评】
本题考查角平分线的应用与角度计算，属于基础题型，解题关键是熟练运用角平分线的性质和平角的度数，难度较低，适合学生巩固基础。
【难度系数】
0.7
19. （12 分）解下列方程：
（1）$ 2(3x - 5) = 2 + 3(x + 6) $；
（2）$ \frac{x + 1}{3} = 1 - \frac{2x - 1}{2} $。
（1）$ 2(3x - 5) = 2 + 3(x + 6) $；
（2）$ \frac{x + 1}{3} = 1 - \frac{2x - 1}{2} $。
答案
19. (1)$ x = 10 $。 (2)$ x = \dfrac{7}{8} $。
解析
（1）解：$2(3x - 5) = 2 + 3(x + 6)$
$6x - 10 = 2 + 3x + 18$
$6x - 3x = 2 + 18 + 10$
$3x = 30$
$x = 10$
（2）解：$\frac{x + 1}{3} = 1 - \frac{2x - 1}{2}$
$2(x + 1) = 6 - 3(2x - 1)$
$2x + 2 = 6 - 6x + 3$
$2x + 6x = 6 + 3 - 2$
$8x = 7$
$x = \frac{7}{8}$
$6x - 10 = 2 + 3x + 18$
$6x - 3x = 2 + 18 + 10$
$3x = 30$
$x = 10$
（2）解：$\frac{x + 1}{3} = 1 - \frac{2x - 1}{2}$
$2(x + 1) = 6 - 3(2x - 1)$
$2x + 2 = 6 - 6x + 3$
$2x + 6x = 6 + 3 - 2$
$8x = 7$
$x = \frac{7}{8}$
20. （12 分）如图，$ AF $ 与 $ BD $ 相交于点 $ C $，$ ∠ B = ∠ ACB $，$ AB // CE $，试说明：$ CD $ 平分 $ ∠ ECF $。
答案
20. 解：因为 $ AB // CE $，所以 $ ∠ B = ∠ ECD $。
又因为 $ ∠ B = ∠ ACB $，
所以 $ ∠ ECD = ∠ ACB $。
又因为 $ ∠ ACB = ∠ FCD $，
所以 $ ∠ ECD = ∠ FCD $，
所以 $ CD $ 平分 $ ∠ ECF $。
又因为 $ ∠ B = ∠ ACB $，
所以 $ ∠ ECD = ∠ ACB $。
又因为 $ ∠ ACB = ∠ FCD $，
所以 $ ∠ ECD = ∠ FCD $，
所以 $ CD $ 平分 $ ∠ ECF $。
解析
【分析】要证明CD平分∠ECF，需推导∠ECD=∠FCD。首先利用AB//CE的平行线性质得到∠B=∠ECD，结合已知∠B=∠ACB推出∠ECD=∠ACB；再根据对顶角相等，∠ACB=∠FCD，最终得到∠ECD=∠FCD，即可完成证明。
【解析】因为 $ AB // CE $（已知），根据“两直线平行，同位角相等”，所以 $ ∠ B = ∠ ECD $。又因为 $ ∠ B = ∠ ACB $（已知），通过等量代换可得 $ ∠ ECD = ∠ ACB $。由于 $ ∠ ACB $ 与 $ ∠ FCD $ 是对顶角，根据“对顶角相等”，所以 $ ∠ ACB = ∠ FCD $。再次等量代换，得到 $ ∠ ECD = ∠ FCD $，根据角平分线的定义，可知 $ CD $ 平分 $ ∠ ECF $。
【答案】CD平分∠ECF
【知识点】平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义
【点评】本题综合考查平行线性质、对顶角性质及角平分线定义的应用，核心是通过角的等量代换完成证明，属于基础几何证明题，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】因为 $ AB // CE $（已知），根据“两直线平行，同位角相等”，所以 $ ∠ B = ∠ ECD $。又因为 $ ∠ B = ∠ ACB $（已知），通过等量代换可得 $ ∠ ECD = ∠ ACB $。由于 $ ∠ ACB $ 与 $ ∠ FCD $ 是对顶角，根据“对顶角相等”，所以 $ ∠ ACB = ∠ FCD $。再次等量代换，得到 $ ∠ ECD = ∠ FCD $，根据角平分线的定义，可知 $ CD $ 平分 $ ∠ ECF $。
【答案】CD平分∠ECF
【知识点】平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义
【点评】本题综合考查平行线性质、对顶角性质及角平分线定义的应用，核心是通过角的等量代换完成证明，属于基础几何证明题，难度适中。
【难度系数】0.5
