5. (2026·安庆期末)如图是一台手机支架的侧面示意图，AB,BC可分别绕点A,B转动，测量知BC=8 cm,AB=16 cm.当AB,BC转动到∠BAE=60°,∠ABC=50°时，点C到AE的距离为(结果保留小数点后一位,参考数据:$\sin70°\approx0.94,\sqrt{3}\approx1.73$)

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A.13.8 cm
B.7.5 cm
C.6.1 cm
D.6.3 cm

5. D 解析:如图,过点 B,C 分别作 AE 的垂线,垂足分别为M,N,过点 C 作 CD ⊥ BM,垂足为 D.在 Rt△ABM 中,
∵ ∠BAE=60°,AB=16 cm,
∴ BM=sin 60° · AB=√3/2 ×16=8√3(cm),∠ABM = 90° - 60° = 30°. 在 Rt△BCD 中,
∵ ∠DBC=∠ABC-∠ABM=50°-30°=20°,
∴ ∠BCD=90°-20°=70°.又
∵ BC=8 cm,
∴ BD=sin 70°×8≈0.94×8=7.52(cm),
∴ CN=DM=BM-BD=8√3-7.52≈6.3(cm),即点C 到 AE 的距离约为 6.3 cm.

6. 如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4 km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船与观测站之间的距离(即OB的长)为km.

6. (2√3+2) 解析:如图,过点 A 作 AD ⊥ OB 于点 D,由题意得,∠AOB=30°,∠BAC=75°,
∴ ∠B=∠BAC-∠AOB=75°-30°=45°.在 Rt△AOD 中,AD=OAsin∠AOD=4×sin 30°=4×1/2=2( km ), OD=OAcos∠AOD = 4 × cos 30° = 4 × √3/2 = 2√3(km).
∵ AD ⊥ OB,∠B=45°,
∴ ∠BAD=90°-45°=45°,
∴ ∠BAD=∠B=45°,
∴ BD=AD=2 km,
∴ OB=OD+BD=(2√3+2)km.

7. 如图①是两扇推拉门，AB是门槛，AD，BC是可转动门宽，AD=BC，现将两扇门推到如图②所示的位置（平面示意图）。其中$\tan∠ DAB=\dfrac{5}{12}$，$\tan∠ CBA=\dfrac{3}{4}$，测得C，D间的距离为$4\sqrt{130}$ cm，则门槛AB的长为 cm.

7. 260 解析:如图,过点 D 作 DF ⊥ AB 于点 F,过点 C 作 CG ⊥ AB 于点 G,过点 D 作 DE ⊥ CG 于点 E,则四边形 DFGE 为矩形,
∴ DE=FG,EG=DF,∠DEC=90°.设 AD=BC=x cm,则AB=2x cm.
∵ tan∠DAB=5/12,tan∠CBA=3/4,
∴ sin∠DAB=5/13,sin∠CBA=3/5,
∴ DF=5/13 x cm,AF=12/13 x cm,CG=3/5 x cm,BG=4/5 x cm,
∴ CE=CG-EG=CG-DF=3/5 x -5/13 x=14/65 x cm,DE=FG=AB-AF-BG=2x-12/13 x -4/5 x=18/65 x cm.在Rt△CDE 中,DC=4√130 cm,DE²+CE²=DC²,即(18/65 x)² + (14/65 x)²=(4√130)²,解得 x=130(负值舍去),
∴ AB=2x=260 cm.

8. (2026·济南期末)如图,海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向,距离为50海里,在某时刻,哨所A与哨所B同时发现一走私船,其位置C位于哨所A北偏东$53°$的方向上,位于哨所B南偏东$37°$的方向上.
(1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；
(2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/时的速度向正东方向逃窜,并立即派缉私艇沿北偏东$76°$的方向前去拦截,若缉私艇在D处恰好成功拦截,求缉私艇拦截走私船所用时间.
(参考数据:$\sin53°\approx\frac{4}{5}$,$\cos53°\approx\frac{3}{5}$,$\tan53°\approx\frac{4}{3}$,$\tan76°\approx4$)

8. (1)在△ABC 中,
∵ ∠B=37°,∠BAC=53°,
∴ ∠ACB=180°-37°-53°=90°. 在 Rt△ABC 中,cos ∠BAC = AC/AB,
∴ AC=AB · cos 53°≈50×3/5=30(海里),
∴ 观察哨所 A 与走私船所在的位置 C 的距离约为 30 海里.
(2)如图,延长 DC 交 AB 于点 M,由题意得 CM ⊥ AB,在Rt△AMC 中,CM=AC · sin 53°≈30×4/5=24(海里),AM=AC · cos 53°≈30×3/5=18(海里).在 Rt△AMD 中,
∵ tan 76°≈4,
∴ DM=AM · tan 76°≈18×4=72(海里),
∴ CD=DM-CM=72-24=48(海里),
∴ 48÷24=2(小时).
答:缉私艇拦截走私船所用时间是2小时.