1. 如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东$65°$方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东$45°$方向上的B处,则这时海轮所在的B处距离灯塔P的距离是 ()


A.$80\sqrt{2}\sin25°$海里
B.$40\sqrt{2}\sin25°$海里
C.$80\sqrt{2}\cos25°$海里
D.$40\sqrt{2}\cos25°$海里

1. C 解析:如图,过点 P 作 PD ⊥ AB 于点 D,由题意知∠DBP=∠DPB = 45°.在 Rt △PBD 中,cos ∠DPB = PD/PB,即cos45°=PD/PB=√2/2,
∴ PB=√2 PD.
∵ 点 A 在点 P 的北偏东 65°方向上,
∴ ∠APD=25°.在 Rt△PAD 中,cos 25°=PD/PA,
∴ PD=PA · cos 25°=80cos 25°海里,
∴ PB=80√2 cos 25°海里.

2. (2026·上海期末)如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图,汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米,小汽车车门宽AO为1.2米,当车门打开角度$∠ AOB$为$40°$时,车门碰到墙.(填“会”或“不会”)(参考数据:$\sin 40° \approx 0.64, \cos 40° \approx 0.77, \tan 40° \approx 0.84$)

2. 不会 解析:如图,过点 A 作 AC ⊥ OB,垂足为 C,车门端点 A到 OB 的距离为 1.2sin 40°≈1.2×0.64= 0.768(米).
∵ 0.768＜0.8,
∴ 车门不会碰到墙.

3. (2026·成都模拟)如图,海岛B在海岛A的北偏东$30°$方向,且与海岛A相距20海里,一艘渔船从海岛B出发,以5海里/时的速度沿北偏东$75°$方向航行,同时一艘快艇从海岛A出发,向正东方向航行2小时后,快艇到达C处,此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处.
(1)求$∠ ABE$的度数;
(2)求C,E之间的距离.
(参考数据:$\sin 15° \approx 0.26$, $\cos 15° \approx 0.97$, $\tan 15° \approx 0.27$, $\sqrt{3} \approx 1.73$)

3. (1)如图,作 BF ⊥ AC 于点 F,作 BG ⊥ CE 于点 G,则四边形BFCG 是矩形,
∴ ∠FBG = 90°,由题意得 ∠BAF = 60°,∠ABF=30°,∠EBG=90°-75°=15°,
∴ ∠ABE=30°+90°+15°=135°.
(2)在 Rt△ABF 中,AB=20 海里,∠ABF=30°,
∴ AF=1/2 AB=10 海里,BF=√(AB²-AF²)=10√3 海里,
∴ CG=BF=10√3 海里.在 Rt△BGE 中,BE=5×2=10(海里),∠EBG=15°,
∴ EG=BE · sin 15°≈10×0.26=2.6(海里),
∴ CE=EG+CG=2.6+10√3≈19.9(海里).
答:C,E之间的距离为19.9海里.

4. (达州中考)莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一,里面的秋千深受孩子们喜爱.如图所示,秋千链子的长度为3 m,当摆角∠BOC恰为26°时,座板离地面的高度BM为0.9 m,当摆动至最高位置时,摆角∠AOC为50°,求座板距地面的最大高度为多少米.(结果精确到0.1 m;参考数据:sin 26°≈0.44,cos 26°≈0.90,tan 26°≈0.49,sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.20)

4. 过 B 作 BT ⊥ ON 于 T,过 A 作 AK ⊥ ON 于 K,如图.在Rt△OBT 中,OT=OB · cos 26°≈3×0.90=2.7(m).
∵ ∠BMN=∠MNT=∠BTN=90°,
∴ 四边形 BMNT 是矩形,
∴ TN=BM=0.9 m,
∴ ON=OT+TN=2.7+0.9=3.6(m).在 Rt△AOK 中,OK=OA · cos 50°≈3×0.64=1.92(m),
∴ KN=ON-OK=3.6-1.92≈1.7(m),
∴ 座板距地面的最大高度为 1.7 m.