13. (连云港中考)如图①,水坝的横截面是梯形$ABCD$,$∠ ABC=37°$,坝顶$DC=3\ \mathrm{m}$,背水坡$AD$的坡度$i$(即$\tan∠ DAB$)为$1:0.5$,坝底$AB=14\ \mathrm{m}$.
(1)求坝高;
(2)如图②,为了提高堤坝的防洪抗洪能力,防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固,使得$AE=2DF$,$EF ⊥ BF$,求$DF$的长.
(参考数据:$\sin 37° \approx \dfrac{3}{5}$, $\cos 37° \approx \dfrac{4}{5}$, $\tan 37° \approx \dfrac{3}{4}$)

13. (1)如图①,过点 D 作 DM ⊥ AB 于点 M,过点 C 作 CN ⊥ AB 于点 N.
∵ 背水坡 AD 的坡度 i = 1 : 0.5,
∴ tan∠DAB = $\dfrac{DM}{AM}$ = 2,设 AM = x m, 则 DM = 2x m.
∵ 四边形 DMNC 是矩形,
∴ DM = CN = 2x m. 在 Rt △NBC 中, tan∠ABC = tan 37° = $\dfrac{CN}{BN}$ = $\dfrac{2x}{BN}$ ≈ $\dfrac{3}{4}$,
∴ BN ≈ $\dfrac{8}{3}x$ m.
∵ AB = x + 3 + $\dfrac{8}{3}x$ = 14 m,
∴ x = 3,
∴ DM = 6 m, 即坝高为 6 m.
(2)如图②,过点 F 作 FH ⊥ AB 于点 H,过点 D 作 DM ⊥ AB 于点 M,由(1)知 AM = 3 m, 设 DF = y m, 则 AE = 2y m,
∴ EH = 3 + 2y - y = (3+y) m, BH = 14 + 2y - (3+y) = (11+y) m. 由 FH ⊥ BE,EF ⊥ BF,易得△EFH∽△FBH,
∴ $\dfrac{HF}{EH}$ = $\dfrac{EH}{FH}$, 即 $\dfrac{6}{11+y}$ = $\dfrac{3+y}{6}$, 解得 y = -7 + 2√13 或 y = -7 - 2√13 (舍去).故 DF 的长为$(2\sqrt{13} -7)$ m.

14. (2026·无锡模拟)某校数学研究性学习小组以“利用斜坡观测实物高度”为主题分组开展综合与实践活动.
【活动准备】查找资料,准备好卷尺、标杆等测量工具.
【活动地点】图①是该校附近斜坡的横断面示意图.测得该斜坡坡度$i=1:2.4$,BM段为水平路面,点B位置设有指示牌BP,它与地面垂直.
【活动过程】
活动1:如图①所示,学习小组测得斜坡AB长为39米.
(1)求斜坡AB的高度.
活动2:如图②所示,当学习小组的指导老师李老师驾驶一辆小轿车在斜坡上点D处,他的眼睛到斜坡的距离FD为1.2米.李老师平视前方(视线与斜坡AB平行),他刚巧能观测到指示路牌的牌杆顶端Q点.
(2)求指示牌牌杆BQ的高度.
活动3:如图③,矩形ECKG为一辆大巴车的侧面示意图,CK长为10米,EC长为3.2米.李老师利用大巴车停在该斜坡上的机会再次进行观测,如图④,此时大巴车的前下端点K与点B重合.李老师发现当他位于点D与大巴车车尾点C相距15米时,他透过点E刚巧能看到指示路牌的顶端P点.
(3)求指示牌BP的高度.

14. (1)如图①,延长 PB 交斜坡底面水平线于点 G,由题意得 ∠AGB=90°,
∵ 该斜坡坡度 i = 1 : 2.4,
∴ $\dfrac{BG}{AG}$ = $\dfrac{1}{2.4}$,设 BG = x 米,则 AG = 2.4x 米,在 Rt△ABG 中,AB = 39 米,
∴ AB² = BG² + AG²,即 39² = x² + (2.4x)²,解得 x = 15 (负值舍去),即 BG = 15 米,
∴ 斜坡 AB 的高度为 15 米.
(2)如图②,过点 B 作 BH ⊥ FQ 于点 H,延长 PB 交斜坡底面水平线于点 G,则 ∠BHF = 90°, 由题意得 FQ // BD,
∴ ∠HBD = 180° - ∠BHF = 90°,
∴ ∠FDB = ∠HBD = ∠BHF = 90°,
∴ 四边形 BHFD 是矩形,
∴ BH = DF = 1.2 米.
∵ ∠QBH + ∠ABG = ∠ABG + ∠A = 90°,
∴ ∠QBH = ∠A, 由(1)知 BG = 15 米, 则 AG = 36 米,
∴ cos∠QBH = $\dfrac{BH}{BQ}$ = cos A = $\dfrac{AG}{AB}$ = $\dfrac{36}{39}$ = $\dfrac{12}{13}$,
∴ BQ = 1.3 米,
∴ 指示牌牌杆 BQ 的高度为 1.3 米.
(3)如图③,作 PO ⊥ DB 交 DB 延长线于点 O,作 FQ ⊥ PO 于点 Q,交 CE 于点 R,延长 PB 交斜坡底面水平线于点 H.
则四边形 CRQO 为矩形,四边形 FDCR 为矩形,
∴ RQ = CO, FR = DC = 15 米, FD = CR = OQ = 1.2 米,
∴ ER = 3.2 - 1.2 = 2(米),由(1)得 BH = 15 米,则 AH = 36 米.
∵ ∠ABH = ∠PBO, ∠O = ∠H = 90°,
∴ tan∠PBO = $\dfrac{PO}{BO}$ = tan∠ABH = $\dfrac{AH}{BH}$ = $\dfrac{36}{15}$ = $\dfrac{12}{5}$,
∴ BO = $\dfrac{5}{12}PO$.
∵ EC ⊥ AB,PQ ⊥ AB,
∴ ER // PQ,
∴ △FER ∽ △FPQ,
∴ $\dfrac{ER}{PQ}$ = $\dfrac{FR}{FQ}$,
∴ $\dfrac{ER}{PQ}$ = $\dfrac{FR}{DO}$,
∴ $\dfrac{ER}{PO-OQ}$ = $\dfrac{FR}{DC+CK+BO}$,
∴ $\dfrac{2}{PO-1.2}$ = $\dfrac{15}{15+10+BO}$, 即 50 + 2BO = 15PO - 18,
∴ 50 + 2×$\dfrac{5}{12}PO$ = 15PO - 18,
∴ PO = 4.8 米.
∵ ∠ABH = ∠PBO, ∠O = ∠H = 90°,
∴ sin∠PBO = $\dfrac{PO}{BP}$ = sin∠ABH = $\dfrac{AH}{AB}$ = $\dfrac{36}{39}$ = $\dfrac{12}{13}$,
∴ $\dfrac{PO}{BP}$ = $\dfrac{12}{13}$,
∴ BP = 5.2 米,
∴ 指示牌 BP 的高度为 5.2 米.